代数命题逻辑（四）

令\ bl为第5节中讨论的逻辑之一。令\ bk为我们在那里考虑的代数类别的相应类别类别，让\ delta（p）\ of cout \ of varepsilon（p）是一个涉及的方程健全和完整定理。为了证明完整定理，一个人进行如下。给定任何一组公式\ gamma：

理论c _ {\ bl}（\ gamma）= \ {\ phi：\ gamma \ vdash _ {\ bl} \ phi \} \ gamma的the \ phi \}，我们用t表示，二进制关系\ theta（t）（t）（t）在公式集上使用公式p \ leftrightarrow q定义：\ langle \ phi，\ psi \ rangle \ in \ theta（t）\ txtiff \ phi \ phi \ leftrightArrow \ psi \ in T。

结果表明，\ theta（t）是\ bfm_l的一致关系。 \ theta（t）与公式\ phi相关的公式的集合[\ phi]称为\ phi的等价类。

一个新的矩阵\ langle \ bfm/\ theta（t），t/\ theta（t）\ rangle是通过识别\ theta（t）相关的公式而获得的，即\ bfm/\ theta（t）是\ bfm modulo \ theta（t）和t/\ theta（t）的商代数是T的元素的一组等效类别。商代数由： * ^{\ bfm/\ theta（t）}（[\ phi_1]，\ ldots，[\ phi_n]）= [ * \ phi_1 \ ldots \ ldots \ phi_n] \ phi_n] \; \; \; \; \; \ text {and} \; \; \; \匕首^{\ bfm/\ theta（t）} = [\ Dagger]

结果表明，\ theta（t）是与t兼容的关系，即，如果\ langle \ phi，\ psi \ rangle \ in \ theta（t）（t）和\ phi \ in t in t，则是\ psi \ in t。这意味着\ phi \在t \ txtiff [\ phi] \ subseteq t \ txtiff [\ phi] \ in t/\ theta（t）中。

事实证明，矩阵\ langle \ bfm/\ theta（t），t/\ theta（t）\ rangle减少了，\ bfm/\ theta（t）属于\ bk，t/\ theta（t/\ theta） ）是\ bfm/\ theta（t）的元素集，它满足了\ bfm/\ theta（t）中的方程\ delta（p）\ oft \ varepsilon（p）。

然后，完整定理的证明如下进行。 （4）和（5）表示，对于每个公式\ psi，\ gamma \ vdash _ {\ bl} \ psi，并且仅当[\ psi]满足方程\ delta（p）\ oft \ varepsilon（p）代数\ bfm/\ theta（t）。因此，考虑到每个变量p的估值ID映射到其等价类别[p]，其扩展\ boldsymbol {id}到所有公式的集合中都如此，以至于\ boldsymbol {id}（\ phi）= [\ phi] = [\ phi] = [\ phi]公式\ phi，我们都有每个公式\ psi，

\ gamma \ vdash _ {\ bl} \ psi \ txtiff \ boldsymbol {id}（\ psi）在\ bfm/\ theta（t）中满足方程\ delta（p）\ oft \ varepsilon（p）。

因此，由于（5），\ bfm/\ theta（t）\在\ bk中，因此，如果\ gamma \ not \ vdash _ {\ bl} \ phi，那么就有一个代数\ ba \ in \ bk（in \ bk（in \ bk（即\ bfm/\ theta（t））和估值V（即ID），使得\ bv [\ gamma]的元素满足\ ba上的方程，但是\ bv（\ phi）确实满足 不是。

成功的Lindenbaum-Tarski方法在成功时表明，代数\ {\ bfm/\ theta（t）：t是\ bl \}的理论是\ delta（p）\ oft \ varepsilon（p） - \ bl的代数语义。 因此，它还表明，每类代数 \bK 是 \delta(p) \approx \varepsilon(p) - \bL 的声音，并且包括集合 \{\bFm/\theta(T)：T 是以下理论\bL\} 也是 \bL 的 \delta(p) \approx \varepsilon(p) 代数语义。

让我们对刚刚描述的 Lindenbaum-Tarski 方法做一些评论。第一个对于导致与逻辑相关的代数类的概括很重要。其他，获取可代数逻辑概念定义中的条件。

条件(4)和(5)意味着θ(T)实际上是\langle \bFm_L, T \rangle的莱布尼茨同余。

当 Lindenbaum-Tarski 方法成功时，通常认为在每个代数 \bA \in \bK 中，由方程 \delta(p \leftrightarrow q) \approx \varepsilon(p \leftrightarrow q) 定义的关系，即将 \delta(p) \approx \varepsilon(p) 中的字母 p 替换为定义理论同余关系的公式 p \leftrightarrow q 的结果是恒等式A 上的关系。

对于每个公式 \phi，公式 \delta(p/\phi) \leftrightarrow \varepsilon(p/\phi) 和 \phi 在 \bL 中是可互导的（即 \phi \vdash_{\bL } \delta(p/ \phi) \leftrightarrow \varepsilon(p/\phi) 和 \delta(p/\phi) \leftrightarrow \varepsilon(p/\phi) \vdash_{\bL}\phi)。

Blok 和 Pigozzi 引入的可代数逻辑的概念（我们将在第 9 节中讨论）可以粗略地描述为：逻辑 \bL 是可代数的，如果它具有代数语义 (\bK, \iEq)，使得 (1) \bK 包含在与 \bL 相关的自然代数类 \bAlg^*\bL 中，并且 (2) (\bK, \iEq) 是一个代数语义可以通过稍微推广的Lindenbaum-Tarski 方法来证明。

8.逻辑系统的代数自然类

我们现在将讨论两个被认为提供与逻辑 \bL 相关的代数自然类的定义。这两个定义都可以看作是从 Lindenbaum-Tarski 方法的抽象中产生的，我们按照这个路径来介绍它们。这些抽象的共同特征是，它们忽略了 Lindenbaum-Tarski 方法中定义关系 θ(T) 的具体方式。

必须指出的是，尽管如此，对于许多逻辑来说，这两个定义都会导致同一个类。从这两个定义获得的类已在许多特定逻辑（对于某些逻辑是一种，对于其他逻辑是另一种）的代数研究中被视为值得研究的自然类。

当我们证明每个逻辑都具有简化的矩阵语义时，我们已经在第 6 节中遇到了第一个概括。它导致代数类 \bAlg^*\bL。它的定义是 Lindenbaum-Tarski 方法的推广，来自于这样的认识：与 \bL 理论相关的关系 \theta(T)，在使用 Lindenbaum-Tarski 方法的文献中的不同完整性证明中定义为事实上矩阵 \langle \bFm_L, T \rangle 的莱布尼兹同余，因此矩阵 \langle \bFm/\theta(T)， T/\theta(T) \rangle 是它的约简。正如我们在第 6 节中提到的，对于每个逻辑 \bL，每个 \bL 声音类矩阵 \bM 包含所有矩阵 \langle \bFm/\bOmega_{\bFm_L }(T), T/ \bOmega_{\bFm_L }(T) \rangle，其中 T 是 \bL 的理论，是 \bL 的完整简化矩阵语义。从这个角度来看，矩阵的莱布尼兹同余的概念可以被视为对来自林登鲍姆-塔斯基证明完整性过程的思想的任意矩阵的推广。按照这个推理过程，逻辑 \bL 的简化矩阵模型的代数类 \bAlg^*\bL 是与 \bL 关联的非常自然的代数类。这是班级

\{\bA/\bOmega_{\bA }(F)：\bA 是 \bL 代数，F 是 \bA\} 的 \bL 滤波器。

推广 Lindenbaum-Tarski 方法的第二种方法使用了不同的事实，即在第 3 节讨论的示例中，关系 \theta(T) 也是关系 \bOmega^{\sim}_{\bFm_L }(T)由条件定义

\begin{align*} \langle \phi , \psi \rangle \in \bOmega^{\sim}_{\bFm_L }(T)\txtiff & \forall T' \in \tTH(\bL),\\ & \forall p \in V, \\ &\forall \gamma(p) \in \bFm_L (T \subseteq T' \Rightarrow (\gamma(p/\phi) \in T' \Leftrightarrow \gamma(p/\psi) \in T'))。 \结束{对齐*}

对于每个逻辑 \bL 和每个 \bL-理论 T，以这种方式定义的关系 \bOmega^{\sim}_{\bFm_L }(T) 是与扩展 T 的所有 \bL-理论兼容的最大同余。因此，则成立 \bOmega^{\sim}_{\bFm_L }(T) = \bigcap_{T' \in \tTH(\bL)^T} \bOmega_{\bFm_L }(T')，其中 \tTH(\bL)^T = \{T' \in \tTH(\bL)：T \subseteq T'\}。关系 \bOmega^{\sim}_{\bFm_L }(T) 被称为 T 的 Suszko 同余（w.r.t. \bL）。 Suszko 在 1977 年以同样的方式定义了它。

对于每个逻辑 \bL，Suszko 同余的概念可以扩展到其矩阵模型。矩阵模型 \langle \bA、\bL 的 D \rangle (w.r.t. \bL) 的 Suszko 同余是 \bA 与包含 D 的 \bA 的每个 \bL 滤波器兼容的最大同余，即，它是由 {\bOmega^{\sim}_{\bA}}^{\bL}(D) = \bigcap_{D' \in 给出的关系\tFi_{\bL}(\bA)^D} \bOmega_{\bA}(D') 其中 \tFi_{\bL}(\bA)^D = \{D': D' 是 \bL 滤波器\bA 和 D \subseteq D'\}。请注意，与莱布尼兹同余的内在概念不同，\bL 矩阵模型的 Suszko 同余并不是矩阵的固有概念：它在本质上取决于所考虑的逻辑。矩阵 Suszko 同余理论由 Czelakowski 2003 年提出，并在 Albuquerque & Font & Jansana 2016 年继续发展。

正如莱布尼茨同余的概念引出了约简矩阵的概念一样，苏斯科同余的概念引出了苏斯科约简矩阵的概念。如果 \bL 的 Suszko 同余是恒等式，则 \bL 的矩阵模型是 Suszko 约化的。那么逻辑 \bL 的 Suszko 简化矩阵模型的代数类是另一类代数，它被视为与 \bL 关联的自然代数类。这是班级

\bAlg\bL = \{\bA / {\bOmega^{\sim}_{\bA}}^{\bL}(F): \bA 是 \bL 代数，F 是 \bL 滤波器\bA\}。

如今，该类在抽象代数逻辑中被视为与 \bL 相关联的代数的自然类，并称为其代数对应物。

对于任意逻辑 \bL，类 \bAlg\bL 和 \bAlg^*\bL 之间的关系是 \bAlg\bL 是 \bAlg^*\bL 在子直积下的闭包，特别是 \bAlg^*\ bL \subseteq \bAlg\bL。一般来说，两个类可能不同。例如，如果 \bL 是经典命题逻辑的 (\wedge , \vee) 片段，则 \bAlg\bL 是各种分配格（该类始终被认为是与 \ 相关的代数自然类） bL) 而 \bAlg^*\bL 正确地包含在其中 - 事实上 \bAlg^*\bL 不是准品种。尽管如此，对于许多逻辑 \bL，特别是对于下一节中要讨论的可代数逻辑和原代数逻辑，以及当 \bAlg^*\bL 是变体时，类 \bAlg\bL 和 \bAlg^*\ bL 相等。这一事实可以解释为什么在 20 世纪 80 年代，在非原代数逻辑的代数研究被认为值得追求之前，两个定义之间的概念差异是不需要的，因此没有考虑（甚至没有发现）。

9. 当一个逻辑是可代数的时，这意味着什么？

可代数逻辑据称是与其代数对应物具有最强可能联系的逻辑。这一要求要求逻辑的代数对应物应该是代数语义，但需要逻辑和代数对应物之间有比这更稳健的连接。这种更稳健的连接存在于已知的最佳表现的特定逻辑中。可代数逻辑的数学精确概念表征了这种类型的链接。 Blok 和 Pigozzi 在 Blok & Pigozzi 1989 中引入了这个基本概念，它的引入可以被认为是 20 世纪 80 年代抽象代数逻辑领域统一和发展的起点。布洛克和皮戈齐仅为有限逻辑定义了可代数逻辑的概念。后来，切拉科夫斯基和赫尔曼将其推广到任意逻辑，并弱化了定义中的一些条件。我们在这里提出广义的概念。

我们在第 7 节中说过，粗略地说，当 1）它具有代数语义时，逻辑 \bL 是可代数的，即一类代数 \bK 和一组方程 \iEq(p) 使得 \bK 是一个 \ \bL 的 iEq 代数语义，2) 这个事实可以通过使用稍微概括的 Lindenbaum-Tarski 方法来证明，而且，3) \bK \subseteq \bAlg^*\bL。 Lindenbaum-Tarski 方法的推广（正如我们在第 7 节中所描述的）在于允许在步骤 (5) 中（如代数语义的定义中已经完成的那样）在一个变量中使用一组方程 \iEq(p)，而不是单个方程 \delta(p) \approx \varepsilon(p) 并以类似的方式允许最多两个变量中的一组公式 \Delta(p, q) 发挥公式 p 的作用\leftrightarrow q 在理论同余的定义中。然后，给定理论 T，关系 θ(T) 必须是与 T 兼容的公式代数上的最大同余（即 T 的莱布尼茨同余），定义为

\langle \phi , \psi \rangle \in \theta(T) \txtiff \Delta(p/\phi , q/\psi) \subseteq T。

在进行可代数逻辑的精确定义之前，我们需要一些符号约定。给定一个变量中的一组方程 \iEq(p) 和一个公式 \phi，令 \iEq(\phi) 为通过用 \phi 替换 \iEq 中所有方程中的变量 p 所获得的方程组。如果 \Gamma 是一组公式，令

\iEq(\Gamma) := \bigcup_{\phi \in \Gamma}\iEq(\phi)。

类似地，给定两个变量 \Delta(p, q) 和方程 \delta \approx \varepsilon 的一组公式，让 \Delta(\delta , \varepsilon) 表示用 \delta 替换 p 得到的公式集，在 Delta 中的所有公式中，q 乘以 varepsilon。此外，如果 \iEq 是一组方程，令

\Delta(\iEq) = \bigcup_{\delta \approx \varepsilon \in \iEq} \Delta(\delta , \varepsilon)。

给定两个变量的一组方程 \iEq(p, q)，该方程组在每个代数 \bA 上定义一个二元关系，即 A 的元素对 \langle a, b\rangle 的集合，满足 \bA 所有\iEq(p, q) 中的方程。在标准模型理论符号中，该集合是关系

\{\langle a, b \rangle : a, b \in A \textrm{ 和 } \bA \vDash \iEq(p, q)[a, b]\}。

可代数逻辑的正式定义如下。如果存在一类代数 \bK、一个变量中的一组方程 \iEq(p) 以及两个变量中的一组公式 \Delta(p, q)，则逻辑 \bL 是可代数的，使得

\bK 是 \bL 的 \iEq 代数语义，即

\Gamma \vdash_{\bL } \phi\txtiff 对于 \bK 中的每个 \bA \ 和 \bA 上的每个估值 v，如果 \bv[\Gamma] \subseteq \tEq(\bA)，则 \bv(\phi ) \in \tEq(\bA)。

对于 \bK 中的每个 \bA \，由两个变量 \iEq(\Delta(p, q)) 中的方程组定义的关系是 A 上的恒等关系。

一类代数 \bK 的集合 \iEq(p) 和 \Delta(p, q) 具有这两个属性，被认为是 \bL 的等价代数语义。公式集 \Delta 称为等价公式集，方程组 \iEq 称为定义方程组。

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