代数命题逻辑（五）

定义的条件意味着：

p 在 \bL 中与公式集 \Delta(\iEq) 互导，即 \Delta(\iEq) \vdash_{\bL } p \textrm{ 和 } p \vdash_{\bL } \Delta( \iEq）。

对于每个 \bL-理论 T，\langle \bFm_L 的莱布尼茨同余，T\rangle 是由 \Delta(p, q) 定义的关系，即 \langle \phi , \psi \rangle \in \bOmega_{\bFm }(T)\txtiff\Delta(p/\phi , q/\psi) \subseteq T。

如果\Delta和\Delta '是两组等价公式，则\Delta \vdash_{\bL } \Delta '和\Delta ' \vdash_{\bL } \Delta。类似地，如果 \iEq(p) 和 \iEq'(p) 是两组定义方程，则对于每个代数 \bA \in \bK，\iEq(\bA) = \iEq'(\bA)。

代数类 \bAlg^*\bL 也满足条件 (1) 和 (2)，因此它是 \bL 的等价代数语义。此外，它是一个 SP 类，并且包括与 \bL 等效的代数语义的所有其他代数类。因此，它被称为\bL的最大等价代数语义。

对于\bAlg^*\bL 中的每个\bA \bL 滤波器F 恰好有一个\bL 滤波器F，使得矩阵\langle \bA, F\rangle 被减少，并且该滤波器是集合\iEq(\bA)。或者，换句话说，\bL 的简化矩阵模型的类是 \{\langle \bA, \iEq(\bA) \rangle : \bA \in \bAlg^*\bL\}。

Blok 和 Pigozzi 在 Blok & Pigozzi 1989 中对可代数逻辑的定义仅针对有限逻辑给出，而且，他们强加定义方程组和等价公式的集合应该是有限的。今天，如果等价公式 Delta 的集合和定义方程组 iEq 的集合都可以取为有限的，那么可代数逻辑就是有限代数的。如果一个逻辑是有限且有限代数的，我们就说它是 Blok-Pigozzi 可代数的（BP-代数化的）。

如果 \bL 是有限且有限可代数的，则 \bAlg^*\bL 不仅是一个 SP 类，而且是一个拟变量，并且它是任何代数类 \bK 生成的准变量，它是 \bL 的等价代数语义。

我们刚刚看到，在可代数逻辑中，代数类 \bAlg^*\bL 起着突出的作用。此外，在这些逻辑中，通过推广 Lindenbaum-Tarski 方法的两种方式获得的代数类是一致的，即 \bAlg^*\bL = \bAlg\bL ——这是因为对于任何可代数逻辑 \ bL, \bAlg^*\bL 在子直接乘积下是封闭的。因此，对于每个可代数逻辑 \bL ，其代数对应项 \bAlg\bL 是其最大的等价代数语义，无论从什么角度看待 Lindenbaum-Tarski 方法的推广。

可代数逻辑定义的条件 (1) 和 (2)（实例化为 \bAlg^*\bL）编码了这样一个事实：可代数逻辑 \bL 与其代数类 \bAlg\bL 之间存在非常强的联系，使得此类代数通过\bAlg\bL 的代数性质反映\bL 的元逻辑性质，反之亦然。

可代数逻辑的定义可以等价地用逻辑和等式结果关系 \vDash_{\bK} 之间的转换来表述，该等式结果关系 \vDash_{\bK} 与它的任何等效代数语义 \bK 相关联——无论如何，这都是相同的关系我们选择等效的代数语义。

一类代数 \bK 的方程结果 \vDash_{\bK} 定义如下。

\{\phi_i \approx \psi_i: i \in I\} \vDash_{\bK } \phi \approx \psi \txtiff 对于每个 \bA \in \bK 和 \bA 上的每个估值 v，如果 \bv(\phi_i ) = \bv(\psi_i)，对于所有 i \in I，则 \bv(\phi) = \bv(\psi)。

所需的翻译由一组定义方程和一组等价公式给出。一个变量中的一组方程 \iEq(p) 定义了从公式到方程组的转换：每个公式都转换为方程组 \iEq(\phi)。类似地，两个变量中的一组公式 \Delta(p, q) 定义了从方程到公式集的转换：每个方程 \phi \approx \psi 被转换为公式集 \Delta(\phi , \psi) 。

可代数逻辑定义中的条件 (1) 可以重新表述为 \Gamma \vdash_{\bL } \phi\txtiff \iEq(\Gamma) \vDash_{\bK } \iEq(\phi) 和条件 (2) 为p \approx q \vDash_{\bK } \iEq(\Delta(p, q)) \textrm{ 和 } \iEq(\Delta(p, q)) \vDash_{\bK } p \大约 q。

这两个条件意味着

\{\phi_i \approx \psi_i : i \in I \} \vDash_{\bK } \phi \approx \psi \txtiff \Delta(\{\phi_i \approx \psi_i : i \in I\}) \vdash_ {\bL } \Delta(\phi , \psi)

且上述条件(3)为

p \vdash_{\bL } \Delta(\iEq(p)) \textrm{ 和 } \Delta(\iEq(p)) \vdash_{\bL } p。

因此，可代数逻辑 \bL 通过将公式转换为由一组定义方程给出的方程组，在其等效代数语义（条件（1））的方程逻辑中忠实地解释，并且其方程逻辑通过将方程转换为等价公式集给出的公式集，可以在逻辑\bL（条件（9））中忠实地解释等效代数语义。此外，两种翻译都是彼此相反的（条件（2）和（3））模逻辑等价。通过这种方式，我们看到 \bL 与其最大等价代数语义之间的联系非常紧密，并且 \bL 的属性应该转化为相关等式结果关系的属性。当然，这个关系实际上具有的性质取决于代数类\bAlg\bL 的性质。

给定逻辑 \bL 的代数语义 (\bK, \iEq)，强调它仅仅是代数语义与使 \bL 可代数的代数语义之间的区别的一种方法是，将公式转换为由下式给出的方程：方程组 \iEq 是可逆的，即方程组可以转换为由两个变量中的一组公式给出的公式，例如 \Delta，满足上面的条件（9），并且使得 \iEq 和 \Delta 提供相互逆的平移（即，条件（2）和（3）成立）。

可代数逻辑 \bL 与其由一组定义方程组和一组等价公式给出的最大等价代数语义之间的联系使我们能够证明一系列将 \bL 的性质与 \bAlg\ 的性质联系起来的一般定理bL。这类定理通常称为桥梁定理。我们将提及其中三个作为示例。

第一个涉及演绎定理。为了证明与代数性质的演绎定理的存在性相关的一般定理，首先需要定义适用于任何逻辑的演绎定理的概念。如果存在有限组公式 \Sigma(p, q)，使得对于每组公式 \Gamma 和所有公式 \phi 、 \psi\Gamma \cup \{\phi \} \vdash_{\bL } \psi\txtiff\Gamma \vdash_{\bL } \Sigma(\phi , \psi)。

请注意，这是标准演绎定理（上述表达式中从左到右的方向）和几个逻辑对连接项 \rightarrow 所具有的 Modus Ponens（相当于从右到左的蕴涵）的推广。在这些情况下 \Sigma(p, q) = \{p \rightarrow q\}。

定理1。

当且仅当\bAlg\bL 中代数的主相对同余式可等式定义时，有限且有限可代数逻辑\bL 具有演绎分离性质。

第二个定理涉及克雷格插值。插值的几种概念适用于任意逻辑。我们只考虑其中之一。逻辑 \bL 具有结果关系的克雷格插值性质，如果每当 \Gamma \vdash_{\bL } \phi 且 \phi 的变量集与 \Gamma 中公式的变量集有非空交集时，有有限公式集 \Gamma '，其变量集包含在 \phi 和 \Gamma 中的公式共享的变量集中，使得 \Gamma \vdash_{\bL } \Gamma ' 和 \Gamma ' \vdash_{\bL } \phi。

定理2。

设 \bL 是具有演绎分离性质的有限且有限可代数逻辑。那么当且仅当\bAlg\bL 具有合并性质时\bL 才具有克雷格插值性质。

最后，第三个定理涉及 Beth 可定义性。有兴趣的读者可以在 Font, Jansana & Pigozzi 2003 中找到定义。在我们所处的一般环境中，该属性太复杂了，无法在这里说明。

定理3。

有限且有限可代数逻辑具有 Beth 性质当且仅当带有对象 \bAlg\bL 中的代数和态射、代数同态的范畴的所有外同态都是满射同态。

将可代数逻辑的性质与其自然代数类的性质相关的其他结果可以在 Raftery 2011, 2013 中找到。它们分别涉及具有演绎-分离性质的性质的概括和概括以下不一致引理的性质经典逻辑和直觉逻辑。此外，Torrens 2008 中还提出了一个抽象概念，如与经典逻辑和直觉逻辑相关的 Glivenko 定理，并与可代数逻辑情况下的代数性质相关。最近，Raftery 2016 提出了与可接受规则和结构完整性相关的桥梁定理和 Lávička 等人。 2021年研究弱排中性质的桥梁定理。

对于与某些可代数逻辑等价的代数语义的几类代数，长期以来人们都知道，对于该类中的每个代数，代数的同余格和代数子集的格之间都存在同构具有重要的代数意义。例如，在布尔代数和 Heyting 代数中，这些子集是晶格滤波器，而在模态代数中，它们是在解释 \Box 的运算下闭合的晶格滤波器。在所有这些情况下，这些集合正是相应的可代数逻辑 \bL 的 \bL 过滤器。

可代数逻辑的特征在于其代数对应物的代数上的同余和逻辑过滤器之间存在这种同构。为了阐明这一特征，我们需要几个定义。让 \bL 成为一个逻辑。代数 \bA （相对于 \bL）上的莱布尼兹算子是从 \bA 的 \bL 滤波器到 \bA 的同余集的映射，该映射将 \bA 的每个 \bL-滤波器 D 发送到其莱布尼兹同余 \ bOmega_{\bA }(D)。我们说逻辑 \bL 的莱布尼茨算子与类 \bK 中的代数之间的同态的逆可交换，如果对于每个同态 h 从代数 \bA \in \bK 到代数 \bB \in \bK 且每个 \ \bB 的 bL 滤波器 D，h^{-1}[\bOmega_{\bB }(D)] = \bOmega_{\bA}(h^{-1}[D])。

定理4。

逻辑 \bL 是可代数的当且仅当对于 \bAlg\bL 中的每个代数 \bA \，莱布尼兹算子与 \bAlg\bL 中代数之间同态的逆可交换，并且是所有 \bL 滤波器集合之间的同构\bA 的，按包含排序，以及 \bA 的同余集 \theta 使得 \bA/\theta \in \bAlg\bL，也按包含排序。

该定理为上述已知的同构以及其他代数类的类似同构提供了逻辑解释。例如，群的同余和正规子群之间的同构可以通过可代数逻辑 \bL 的存在来解释，其中群的类是其最大等价代数语义，群的正规子群是其 \bL -过滤器。

可代数逻辑的一个不同但相关的特征是：

定理5。

逻辑 \bL 是可代数的当且仅当在公式 \bFm_L 的代数上，将每个理论 T 发送到其莱布尼兹同余的映射与从 \bFm_L 到 \bFm_L 同态的逆交换，并且它是集合 \ \bL 理论的 tTH(\bL)，按包含排序，以及同余集 \theta \bFm_L 使得 \bFm_L /\theta \in \bAlg\bL 也按包含排序。

10.逻辑的分类

不幸的是，并非所有逻辑都是可代数的。不可代数逻辑的一个典型例子是正规模态逻辑 K 的局部结果。让我们讨论这个例子。

局部模态逻辑 \blK 和相应的全局模态逻辑 \bgK 不仅不同，而且它们的元逻辑属性也不同。例如，\blK 具有 \rightarrow 的演绎分离属性：

\Gamma \cup \{\phi \} \vdash_{\blK } \psi\txtiff \Gamma \vdash_{\blK } \phi \rightarrow \psi。

但 \bgK 不具有演绎分离属性（根本）。

逻辑 \bgK 是可代数的，而 \blK 则不是。 \bgK 的等价代数语义是模态代数的变种 \bMA，等价公式集是集合 \{p \leftrightarrow q\}，定义方程组是 \{p \approx \top \}。有趣的是，\blK 和 \bgK 具有相同的代数对应项（即 \bAlg \blK = \bAlg \bgK），即模态代数的多样性。

从这个例子中吸取的教训是，逻辑 \bL 的代数对应项 \bAlg\bL 不一定完全编码 \bL 的属性。模态代数类对 \bgK 的属性进行编码，因为该逻辑是可代数的，因此 \bgK 和 \bAlg \bgK 之间的联系尽可能强。但是模态代数类\bAlg \blK 本身不能完全编码\blK 的属性。

造成 \bgK 和 \blK 之间差异的原因是 \bgK 的简化矩阵模型的类别是 \{\langle \bA, \{1^{\bA }\}\rangle : \bA \in \bMA\} ，但是 \blK 的简化矩阵模型类正确地包含此类，因此对于某些代数 \bA \in \bMA 来说，除了 \{1^{\bA }\} 之外还有一些其他代数\blK-滤波器F，\langle \bA，F \rangle 减少。这一事实提供了一种方法，通过证明约简矩阵的 \blK 滤波器不能从代数等式定义来证明 \blK 不能代数；如果它们在哪里，那么对于 \bAlg \blK 中的每个 \bA \，将恰好存在 \bA 的一个 \blK 滤波器 F，使得 \langle \bA、F \rangle 减少。

尽管如此，我们可以在逻辑 \blK 中执行 Lindenbaum-Tarski 方法的一些步骤。我们可以通过使用两个变量的公式以统一的方式定义每个 \blK 理论的莱布尼茨同余。但在这种特殊情况下，公式集必须是无限的。设 \Delta(p, q) = \{\Box^n (p \leftrightarrow q): n 为自然数\}，其中对于每个公式 \phi ， \Box^0\phi 为 \phi 和 \Box^n\ n \gt 0 的 phi 是公式 \phi，前面有一系列 n 个框 (\Box \ldots \Box \phi)。然后，对于每个 blK 理论 T，关系 θ(T) 定义为

\langle \phi , \psi \rangle \in \theta(T)\txtiff \{\Box^n (\phi \leftrightarrow \psi): n \textrm{ 自然数}\} \subseteq T

是 T 的莱布尼兹同余。在这种情况下，虽然有两个不同的 \blK 理论具有相同的莱布尼兹同余，但对于 \bgK 并不成立。

逻辑 \bL 具有以下属性：在两个变量中存在一组公式（可能是无限的）\Delta(p, q)，在每个 \bL 理论 T 中定义其莱布尼茨同余，即对于所有 L 公式\phi , \psi 包含 \langle \phi , \psi \rangle \in \bOmega_{\bFm }(T)\txtiff \Delta(\phi , \psi) \subseteq T 被称为等价逻辑。如果 Delta(p, q) 是有限的，则该逻辑被称为有限等价。在每个 \bL 理论中定义其莱布尼兹同余的集合 \Delta(p, q) 称为 \bL 的一组等价公式。显然，每个可代数逻辑都是等价的，并且每个有限代数逻辑都是有限等价的。

根据定义，逻辑\blK是等价的，并且可以证明它不是有限等价的。局部模态逻辑IS4是有限等价的不可代数逻辑的示例。 lS4 的一组等价公式为 \{\Box(p\leftrightarrow q)\}。

逻辑 \bL 的一组等价公式应被视为广义双条件，因为该组中的公式共同具有双条件的相关属性，例如在经典逻辑中，这使得适合定义莱布尼兹其理论的一致性。从以下等价公式集的句法表征中可以非常清楚地看出这一点。

定理 6.

L 公式的集合 \Delta(p, q) 是逻辑 \bL 的一组等价公式当且仅当

(\tR_{\Delta})

\vdash_{\bL } \Delta(p, p)(\tMP_{\Delta})

p, \Delta(p, q) \vdash_{\bL } q(\tS_{\Delta})

\Delta(p, q) \vdash_{\bL } \Delta(q, p)(\tT_{\Delta})

\Delta(p, q) \cup \Delta(q, r) \vdash_{\bL } \Delta(p, r)(\tRe_{\Delta})

\Delta(p_1, q_1) \cup \ldots \cup \Delta(p_n, q_n) \vdash_{\bL } \Delta(* p_1 \ldots p_n, * q_1 \ldots q_n)，对于 L 的每个联结词 * n 大于 0。

该定理存在一些冗余。条件 (\tS_{\Delta}) 和 (\tT_{\Delta}) 由 (\tR_{\Delta})、(\tMP_{\Delta}) 和 (\tRe_{\Delta}) 得出。

等价逻辑在 Prucnal & Wroński 1974 年首次被认为是一类值得研究的逻辑，并在 Czelakowski 1981 年进行了广泛的研究；另见 Czelakowski 2001。

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