代数命题逻辑（六）

我们已经提到可代数逻辑是等价的。等价逻辑和可代数逻辑之间的区别可以从以下可代数逻辑的语法特征中看出：

定理7.

逻辑 \bL 是可代数的当且仅当存在一组 L 公式 \Delta(p, q) 和一组 L 方程组 \iEq(p) 使得条件 (\tR_{\Delta})– (\tRe_{\Delta}) 对于 \Delta(p, q) 和 p \vdash_{\bL } \Delta(\iEq(p)) \textrm{ 和 } 成立\Delta(\iEq(p)) \vdash_{\bL } p。

定理中的集合 \Delta(p, q) 是 \bL 公式的等价集合，集合 \iEq(p) 是一组定义方程。

有些逻辑不是等价的，但具有一组公式 [p \Rightarrow q] 的属性，这些公式集体表现在非常弱的意义上，就像蕴涵 \rightarrow 在许多逻辑中所做的那样。也就是说，在一组等价公式的句法表征中具有 (\tR_{\Delta}) 和 (\tMP_{\Delta}) 属性，即

(\tR_{\右箭头})

\vdash_{\bL } [p \Rightarrow p](\tMP_{\Rightarrow})

p, [p \右箭头 q] \vdash_{\bL } q

如果逻辑是有限的并且具有一组具有这些属性的公式，则总是存在具有相同属性的有限子集。具有一组具有上述属性（1）和（2）的公式（有限或非有限）的逻辑称为原代数。因此，每个等价逻辑和每个可代数逻辑都是原代数的。

原代数逻辑首先由 Czelakowski 进行研究，他称其为非病理性的，随后 Blok 和 Pigozzi 在 Blok & Pigozzi 1986 中对原代数逻辑进行了研究。“原代数逻辑”这个标签是由这最后两位作者提出的。

原代数逻辑类被证明是逻辑矩阵理论非常有效的逻辑类，因为通用代数的许多结果与这些逻辑的简化矩阵模型类和通用代数的许多方法都有对应物能够适应其学习；因此，使用其基质语义的原始逻辑对代数研究进行了广泛的追求。但是，正如我们将看到的那样，一些有趣的逻辑不是原始的逻辑。

原始逻辑的一个重要表征是通过莱布尼兹操作员的行为。以下条件是等效的：

\ bl是原始的。

leibniz操作员\ bomega _ {\ bfm_l}在包含关系的集合上是单调的，也就是说，如果是\ subseteq t'是\ b​​l the \ bl the \ bl-blesory，则\ bomega _ {\ bfm_l}（\ bfm_l}（t） ）\ subseteq \ bomega _ {\ bfm_l}（t'）。

对于每个代数\ ba，leibniz运算符\ bomega _ {\ ba}对于\ ba的\ bl-filters of \ ba的\ ba the \ ba是单调的。

由于Leibniz操作员的单调性特性，对于每个原始逻辑\ bl代数\ balg^*\ bl的类别在细分产品下封闭，因此等于\ balg \ bl。因此，对于原始逻辑，我们遇到的两种方式将一类代数与逻辑产物相关联，正如我们已经提到的那样，相同的结果。

莱布尼兹操作员的行为也有同等和有限量的逻辑的表征。读者转介到Czelakowski 2001和Font＆Jansana＆Pigozzi 2003。

在他的Raftery 2006b中，Raftery研究条件7在我们刚刚在定义之后给出的代数逻辑的性质列表中。条件说：

对于\ balg^*\ bl中的每一个\ ba \ bl \ bl的简化矩阵模型is \ {\ langle \ ba，\ ieq（\ ba）\ rangle：\ ba \ in \ balg ba \ in \ balg^*\ bl \ bl \}} ，其中\ ieq（p）是\ bl的定义方程组集。

带有一组方程式\ ieq（p）的逻辑带有此属性，即，对于每个\ ba \ in \ balg^*\ bl，\ bl的简化矩阵模型\ bl is \ {\ langle \ ba，\ ieq in \ ba \ bl in \ balg^*\ bl。 （\ ba）\ rangle：\ ba \ in \ balg^*\ bl \}，被称为真实性，是Raftery 2006b中引入的名称。某些典型逻辑是原始的逻辑，但其他逻辑不是。稍后我们将看到最后一个示例。

实际上，具有真实性的原始逻辑是在Czelakowski＆Jansana 2000中已经研究的弱代数逻辑。每个代数可用的逻辑都是弱的代数。实际上，代数逻辑是真实性的等效逻辑。但是，并非每个弱代数逻辑都是等效的。一个例子是由矫形器确定的逻辑，即由矩阵\ langle \ ba的类别，\ {1 \} \ rangle，其中\ ba是一个正allattice，1是其最大的元素（请参阅Czelakowski＆Jansana 2000 and Malinowski 1990 and Malinowski 1990 and Malinowski 1990 ）。

到目前为止，我们考虑过的逻辑类是莱布尼兹层次结构的主要类别，因为它的成员是逻辑类别，可以由leibniz操作员的行为来表征。我们仅描述了层次结构中最重要的逻辑类别。有关更多信息，读者被转介给Czelakowski 2001，字体，Jansana和Pigozzi 2003，Font 2016和2022，以获取更多信息。特别是，Czelakowski 2001广泛收集有关Leibniz层次结构的不同类别的信息，并在其出版时已知的层次结构和FONT 2016是介绍抽象代数逻辑的介绍，非常适合学习有关Leibniz Hierarchy和leibniz Hierarchy，and Leibniz Hierarchy，and the Leibniz Hierarchy和代数逻辑一般。

以下图中总结了本条目中考虑的莱布尼兹层次结构类别之间的关系：

四个级别1的图：“有限的代数可”，指向2级对象的箭头：“有限等价”和“代数”；这两个都有指向3级对象“等价”的箭头，后者也有一个指向3级对象的箭头“弱代数可”两个级别3对象都有箭头4级对象：“ protoalgebraic”，第二个对象也指向'真相

leibniz层次结构

最近，Leibniz层次结构已在2010年的Cintula＆Noguera 2016中进行了完善。这个想法是要考虑一组等价公式\ delta（对应于双条件），该公式[P \ rightarrow Q]有几个公式通常条件的属性（\ rightarrow）。在这些属性中，我们具有（\ tr _ {\ rightArrow}）和（\ tmp _ {\ rightArrow}）在protoalgebraic逻辑的定义中。集合[p \ rightarrow q]应该使其对称性[p \ rightarrow q] \ cup [q \ rightarrow p]是一组等效公式。集合[P \ Rightarrow Q]具有一个元素时，会出现新类。可以在最近的书Cintula＆Noguera 2021中找到广泛的信息。本书也可以作为对含义的角度写的抽象代数逻辑的介绍。

11。替代原则

两类不是Leibniz层次结构类别的逻辑，已经在抽象代数逻辑中进行了广泛的研究。它们的定义是从完全不同的角度与莱布尼兹操作员的行为所提供的，即从逻辑可能享有的替代原则所给出的角度来定义。

逻辑系统\ bl可能具有的最强大的替代原则，例如，通过经典逻辑，直觉逻辑及其所有公理扩展共享，说明任何一套公式\ gamma，任何公式可变p

如果\ gamma，\ phi \ vdash _ {\ bl} \ psi和\ gamma，\ psi \ vdash _ {\ bl} \ phi，然后\ gamma，\ delta（p/\ phi） p/\ psi）和\ gamma，\ delta（p/\ psi）\ vdash _ {\ bl} \ delta（p/\ phi），

其中\ delta（p/\ phi）和\ delta（p/\ psi）是通过分别将\ phi和\ psi替换为\ delta中的p phi和\ psi获得的公式。某些作者将这种替代特性视为弗雷格（Frege）的真理构成原则的正式对应物。满足这种强大替代特性的逻辑在Font＆Jansana 1996中称为Fregean，并在Czelakowski＆Pigozzi 2004a，2004b中进行了彻底研究。

许多重要的逻辑无法满足强大的替换属性，例如，几乎所有模态家族的逻辑（本地或全局），但是有些（例如正常模态逻辑的局部后果关系）满足较弱的替代原则：对于所有配方式的原则： \ phi，\ psi，\ delta，

如果\ phi \ vdash _ {\ bl} \ psi和\ psi \ vdash _ {\ bl} \ phi，则\ delta（p/\ phi）\ vdash _ {\ bl} p/\ psi）\ vdash _ {\ bl} \ delta（p/\ phi）。

满足这种较弱的替代特性的逻辑被Wójcicki（例如，在Wójcicki1969，1988中）和Humberstone 2005中的一致性称为“自我延展性”。我们将使用第一个术语，因为它似乎更为普遍 - 至少在抽象代数逻辑文献中。必须提到的是，自我延展性逻辑的所有片段都是自我延伸的，而类似的事实也适用于弗雷格逻辑。此外，在原始逻辑中遇到了自我延展性和成为fregean之间的差异，例如正常模态逻辑的局部后果关系，而且在非原骨逻辑之间也遇到了。 Belnap和Dunn的四值逻辑（有关信息，请参见Font 1997）是自我延展性的，非质量的和非注册的。

从几个角度来看，自我扩展的逻辑具有很好的行为。他们的系统研究始于1969年的Wójcicki，并在Font＆Jansana 1996年的抽象代数逻辑的背景下继续进行。 Jansana 2005，2006;和Jansana＆Palmigiano 2006。

Leibniz层次结构的任何类别以及非质量Algebraic逻辑类别中的任何一个类别中都有自我延展性和非偏见的逻辑。这些事实表明，导致莱布尼兹层次结构中的阶级的观点以及导致自我延伸的定义和弗雷格时代逻辑的定义作为值得研究的逻辑类别的定义的观点。尽管如此，当今研究的研究趋势之一是确定两种观点之间的相互作用，并研究跨越两个分类时出现的逻辑类别。实际上，替代原则与萨斯科一致性之间存在联系（因此与莱布尼兹的一致性）。逻辑\ bl可以满足强大的替换原则，并且仅当每个\ bl理论t的suszko一致性是相对于t的介间关系，即关系\ {\ langle \ phi \ phi，\ psi \ psi \ rangle： \ vdash _ {\ bl} \ psi和t，\ psi \ vdash _ {\ bl} \ phi \}。并且只有当且仅当\ bl定理的suszko一致性是\\ {\ langle \ phi，\ psi \ rangle：\ phi \ phi \ vdash _ {\ bl} \ _ {\ bl} \时psi和\ psi \ vdash _ {\ bl} \ phi \}。

从替代原则的角度研究逻辑系统的研究导致所谓的弗雷格层次结构我们在第14节中阐述。

12。超越原始逻辑

并非所有有趣的逻辑都是原始的逻辑。在本节中，我们将简要讨论非质量级别逻辑的四个示例：连词和脱节的逻辑，正模态逻辑，\ blk和Visser的次函数逻辑的严格含义片段。他们所有人都是自我延伸的。在下一部分中，我们将阐述抽象逻辑和广义矩阵的语义，这些语义是发展逻辑系统代数化的真正通用理论。正如我们将看到的那样，从逻辑矩阵模型理论中的角度来看，观点在重要方面发生了变化。

12.1连词和分离的逻辑

该逻辑是\ {\ wedge，\ vee，\ bot，\ top \} - 经典命题逻辑的片段。因此，它的语言是集\ {\ wedge，\ vee，\ top，\ bot \}，其后果关系由

\ gamma \ vdash \ phi \ txtiff \ gamma \ vdash _ {\ bcpl} \ phi。

事实证明，它也是\ {\ wedge，\ vee，\ bot，\ top \} - 直觉命题逻辑的片段。让我们用\ bl^{\ {\ wedge，\ vee \}}表示它。

逻辑\ bl^{\ {\ wedge，\ vee \}}不是原始的，而是Fregean。代数\ balg \ bl^{\ {\ wedge，\ vee \}}的类别是有界的分布晶格，这是自然期望与\ bl^{\ wedge，{\ wedge，{\ wedge，{\ wedge， \ vee \}}，但是class \ balg^*\ bl^{\ {\ wedge，\ vee \}}严格包括在其中。实际上，最后一类代数不是绝对的，但仍然足够好，可以被定义。

因此，逻辑\ bl^{\ {\ wedge，\ vee \}}是逻辑的自然示例，其中其还原矩阵模型的代数类别不是预期与之相对应的代数类别（请参阅Font＆ Verdú1991在其中研究了逻辑）。该示例的特性及其在Font＆Verdú中的处理1991促使了Font＆Jansana 1996中的系统研究，用于Brown＆Siszko 1973中考虑的句子逻辑模型，即抽象逻辑。

12.2正态逻辑

正模态逻辑是\ {\ wedge，\ vee，\ box，\ diamond，\ bot，\ top \} - 本地正常模态逻辑\ blk的片段。我们用\ bpml表示。这种逻辑对计算机科学有兴趣。

逻辑\ bpml不是原始的，它不是真实性的，它是自我延伸的，也不是fregean。它的代数对应物\ balg \ bpml是Dunn在Dunn 1995中引入的正模态代数类别的类别。从抽象代数逻辑的角度研究了逻辑，在Jansana 2002中进行了研究。代数\ balg \ bpml的类别不同于\ balg^*\ bpml。

12.3 Visser的次言逻辑

这种逻辑是直觉逻辑语言中的逻辑，它必须达到最不正常的模态逻辑k，与直觉逻辑与正常模态逻辑S4相同的关系。它是在Visser 1981（名称为基本命题逻辑的名称）中引入的，并已由Ardeshir，Alizadeh和Ruitenburg等几位作者进行了研究。它不是原始的，它是真实性的，它是弗雷格的（因此也是自我延迟的）。

12.4局部模态逻辑LK的严格含义片段

模态逻辑语言的严格含义是使用\ box运算符和材料含义\ rightarrow定义的。我们将使用\ Rightarrow来严格含义。它的定义是\ phi \ rightarrow \ psi：= \ box（\ phi \ rightarrow \ psi）。逻辑\ bsilk的语言称为本地模态逻辑\ blk的严格含义片段，是语言l = \ {\ wedge，\ vee，\ vee，\ bot，\ bot，\ top，\ top，\ rightarrow \}。我们可以通过系统地替换在l-formula \ phi中，将L的公式转换为模态语言的公式\ rightarrow的外观没有留下。让我们用\ phi^* \ phi的翻译和\ gamma^* \ gamma^phi的翻译。那么\ bsilk的后果关系的定义是：

\ gamma \ vdash _ {\ bsilk} \ phi \ txtiff \ gamma^* \ vdash _ {\ blk} \ phi^**。

逻辑\ bsilk不是原始的，也不是真实性的。它是自我扩展的，但不是弗雷格。它的代数对应物\ balg \ bsilk是具有二进制操作的有限分布晶格类，具有\ blk的严格含义的属性。这类代数是在Celani＆Jansana 2005中引入和研究的，其成员被称为弱欣赏代数。 \ balg \ bsilk与\ balg^* \ bsilk不一致。

逻辑\ bsilk属于Visser的逻辑，属于所谓的亚及以下逻辑的家族。 Celani＆Jansana 2003是查看有关这些逻辑信息的参考。

读者可以在Albuquerque等人的Alt Alt中找到有关有趣的非质量Algebaric逻辑的更多信息。 2017年。

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