代数命题逻辑（七）

13。抽象逻辑和广义矩阵

给定逻辑的逻辑矩阵模型可以将其视为其理论的代数概括，更精确地是其Lindenbaum矩阵。他们是从当地的角度来围绕一个逻辑理论的一个当地角度，一个逻辑的理论及其类似于逻辑过滤器（也一个一个一个一个）。但是，正如我们将看到的那样，逻辑的属性一般取决于其理论集的全局行为，将其作为一堆。或者 - 否则 - 就其结果关系。对这种全球行为的考虑介绍了逻辑系统语义设计的全球视角。与逻辑矩阵相反，我们将要定义的抽象逻辑是对逻辑本身及其扩展的代数概括的相反。当人们认真对待全球视角时，它们是自然的对象。

令我成为命题语言。 l-abrestract逻辑是一对\ ca = \ langle \ ba，c \ rangle，其中\ ba是l-algebra，c在A上进行了抽象后果操作。

给定一个逻辑系统\ bl，l-abrestract逻辑\ ca = \ langle \ ba，c \ rangle是\ bl的模型，如果每组公式\ gamma和每个公式\ phi

\ gamma \ vdash _ {\ bl} \ phi \ txtiff in \ ba，\ bv（\ phi）\ in C（\ bv [\ gamma]）。

该定义在C的闭合集C：一个抽象逻辑\ ca = \ langle \ ba，c \ rangle是\ bl的模型时，仅当每个c闭合集X the矩阵\ langle \ langle \ langle \ langle \。 ba，x \ rangle是\ bl的模型（即x是\ bl-filter）。

该观察结果导致抽象逻辑作为逻辑系统模型的另一种观点。它将它们转换为同一代数上的逻辑矩阵（由封闭集给名）的集合，或者更简单地将其转换为一对\ langle \ ba，\ cb \ rangle，其中\ cb是\ cb的集合答：文献中称这种类型的结构是广义矩阵（Wójcicki1973），最近它被称为Dunn＆Hardegree 2001中的地图集。如果每个x \ in \ cb，\ langle \ ba，x \ rangle是\ bl的矩阵模型，则是逻辑系统\ bl的模型。

A logic system \bL = \langle L, \vdash_{\bL } \rangle straightforwardly provides us with an equivalent abstract logic \langle \bFm_L, C_{\vdash_{ \bL} } \rangle and an equivalent generalized matrix \langle \ bfm_l，\ tth（\ bl）\ rangle，其中\ tth（\ bl）是c _ {\ vdash_ { \ bl}} - 封闭的公式集（即，\ bl理论）。我们将从一个自由移动到另一个。

与抽象逻辑相对应的广义矩阵\ langle \ ba，\ cb \ rangle具有以下两个属性：在任意非发空家庭的交汇处，A \ in \ cb和\ cb封闭。具有这两个属性的集合A子集的家族\ cb被称为封闭设置系统，也称为闭合系统。在集合A上的抽象后果操作与A的封闭式系统上的抽象后果操作之间存在双重对应。鉴于A上的抽象结果操作C，C封闭式集合的集合\ cc_c是一个封闭设置的系统，并给定了一个闭合 - 设置系统\ cc操作C _ {\ cc}由C _ {\ cc}定义手术。通常，通过添加到\ cb \ cup \ {a \ {a \ {我们用\ langle \ ba，c _ {\ cb} \ rangle表示。在这种情况下，我们说\ cb是c _ {\ cb}的基础。显然，抽象逻辑可以具有多个基础。任何封闭式设置的封闭式家族都是家族元素的交汇处，都是基地。对逻辑理论的封闭设定系统的基础研究通常在其研究中起重要作用。例如，在古典逻辑中，其理论家族的重要基础是最大程度一致的理论和直觉逻辑的家族。以类似的方式，对逻辑的广义基质模型的碱基进行系统研究变得很重要。

为了使博览会平滑，我们现在将从抽象逻辑转到广义矩阵。令\ ca = \ langle \ ba，\ cb \ rangle为广义矩阵。 \ ba与\ cb中的所有集合兼容\ ba的最大一致性；它被称为\ ca的Tarski一致性。我们用\ bomega^{\ sim} _ {\ ba}（\ cb）表示它，并使用leibniz运算符具有以下表征

\ bomega^{\ sim} _ {\ ba}（\ cb）= \ bigcap_ {x \ in \ cb} \ bomega _ {\ ba}（x）。

它也可以以这种情况为特征：

\ langle a，b \ rangle \ in \ bomega^{\ sim} _ {\ ba}（\ cb）（\ cb）\ txtiff for every \ phi（p，q_1，\ ldots，q_n），每个c_1，c_1，c_n \ ldots，c_n \ c_n \ c_n \在\ cb \ phi^{\ ba}中\ leftrightArrow \ phi^{\ ba} [b，c_1，\ ldots，c_n] \ in x

或等效

\ langle a，b \ rangle \ in \ bomega^{\ sim} _ {\ ba}（\ cb）（\ cb）\ txtiff for every \ phi（p，q_1，\ ldots，q_n）和每个C_1，\ ldots，c_n \ c_n \ c_n \ c_n \ c_n \ c_n \在a，c _ {\ cb}（\ phi^{\ ba} [a，c_1，\ ldots，c_n]）= c _ {\ cb}（\ phi^{\ ba} [b，c_1，\ ldots，c_n]）。

如果其Tarski一致性是身份，则将降低广义矩阵。每个通用的矩阵\ langle \ ba，\ cb \ rangle可以通过识别其tarski一致性相关的元素来变成等效的降低。结果是商的广义矩阵\ langle \ ba / \ bomega^{\ sim} _ {\ ba}（\ cb），\ cb / \ bomega^{\ sim} _ {\ sim} _ {\ ba} ，其中\ cb/\ bomega^{\ sim} _ {\ ba}（\ cb）= \ {x/\ bomega^{\ sim} _ {\ ba {\ ba }（\ cb）：x \ in \ cb \}，对于x \ in \ cb，SET x/\ bomega^{\ sim} _ {\ ba}（\ ba}（\ cb）是equivalence类的equivalence类的X。

正如我们已经说过的，逻辑\ bl的属性一般取决于其理论的全球行为。在某些逻辑中，这种行为反映在其一组定理的行为中，例如由于推论性属性而导致的古典和直觉逻辑，但这绝不是最一般的情况，因为这是由此见证的。正常模态逻辑K的局部和全局模态逻辑。两者具有相同的定理，但没有共享相同的属性。回想一下，本地逻辑具有扣除属性的属性，但全球逻辑却没有。以类似的方式，如果我们考虑代数上的\ bl-filters家族，那么逻辑的属性通常在代数环境中更好地编码。 。

自然吸引逻辑代数的大部分注意的广义矩阵模型是形式的\ langle \ ba，\ tfi _ {\ bl} \ ba \ rangle的一般矩阵，其中BA是\ ba的所有\ bl-filters的集合。 l-Algebras \ bl滤波器的晶格结构中编码的逻辑属性的一个例子是，对于每个有限的原始原始逻辑\ bl，\ bl，且仅当每个代数\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ bl \ bl \ bl都具有推论性。 ba由有限生成的\ bl-filters组成的所有\ ba的晶格的联接式ubsemilattice是双重残留的；参见Czelakowski 2001。

\ langle \ ba，\ tfi _ {\ bl} \ ba \ rangle的一般矩阵称为\ bl的基本完整g-models（字母'g'代表广义矩阵）。对这些模型的兴趣导致考虑了逻辑\ bl的一般矩阵模型，其特性是其tarski一致性的属性是基本的完整G模型。这些广义矩阵（及其相应的抽象逻辑）称为完整的G模型。在Font＆Jansana 1996中发展了任意逻辑的完整G模型的理论，其中引入了完整的G模型和基本完整G模型的概念。我们将提及那里获得的一些主要结果。

令\ bl为逻辑系统。

\ bl是protoalgebraic，并且仅当每个完整的g-model \ langle \ ba，\ cc \ rangle中存在\ ba的\ bl-filter f \ ba的\ bl-filter f \ ba：f \ subseteq g \}。

如果\ bl是限制的，则\ bl是有限的，仅当且仅当每个代数\ ba和\ ba的每个\ bl-filter f of \ ba时，概述\ langle \ langle \ ba，\ ba，\ ba，\ \ {g \ {g \ { \ ba：f \ subseteq g \} \ rangle是一个完整的g模型，\ balg \ bl是一种绝对。

类\ balg \ bl是\ bl的还原矩阵模型的代数类别，又是\ {\ ba：\ langle \ ba，\ tfi _ {\ bl} \ ba \ ba \ rangle rangle \ rangle \ rangle \ rangle \ rangle \ rangle \ rangle \ rangle \ rangle \ rangle \ rangle \ rangle \ rangle降低。

对于每个代数\ ba，封闭式系统的家族\ cc的家族之间都有同构，以至于\ langle \ ba，\ cc \ rangle是\ bl的完整G-Model和\ the的全家\ theta \ theta \ theta ba \ ba/\ theta \ in \ balg \ bl。同构是由Tarski操作员给出的，该操作员向其Tarski一致性发送了广义的矩阵。

上面的同构定理（4）是我们前面遇到的代数逻辑的同构定理的概括。这里有趣的是，定理为每个逻辑系统都保留。使用上面的（2），定理（4）需要用于限制和有限代数逻辑的同构定理。因此，定理（4）可以看作是数学逻辑现象的最一般表述，该现象是基于某个类别代数的一致性与我们在第9节中提到的某些类型子集之间的同构定理的基础。

事实证明，将广义矩阵和抽象逻辑用作逻辑系统的模型非常有用，对于一般的自我延迟逻辑的研究，尤其是对不是原始逻辑的研究，而不是原始的逻辑，例如第12节中讨论的逻辑。特别是，它们已被证明对研究具有连词的典范自我延展性逻辑的研究非常有用单个术语，例如p \ rightarrow q；尽管如此，该班级中的逻辑仍然是原始的。如果两个变量中有一个公式\ phi（p，q），则逻辑\ bl具有连词

\ phi（p，q）\ vdash _ {\ bl} p，\; \; \; \ phi（p，q）\ vdash _ {\ bl} q，\; \; \; p，q \ vdash _ {\ bl} \ phi（p，q）。

这两个类中的逻辑具有以下属性：每个完整的g-model \ langle \ ba的tarski关系，c \ rangle是\ {\ langle a，b \ rangle \ in a \ times a：c（a）= c（b）\}。一种说法是说对于这些逻辑，定义自我延展性的属性，即，衍生性条件是一个一致性，可以提升或转移到每个完整的G-Model。使用此属性的自我扩展逻辑称为完全自我延伸。这个概念是在Font＆Jansana 1996中以“强烈自我延伸”的名义引入的。直到1996年，所有自然的自我延伸逻辑都是完全自我延伸的，尤其是第12节中讨论的逻辑，但是Babyonyshev展示了（Babyonyshev，2003年），这是一个自我延迟的逻辑的临时例子，该逻辑并非完全自我扩展。一个自然而然的示例后来发现了一个不完全自我延迟的自我逻辑逻辑，这是否定的片段和经典逻辑的常数\ top的片段。

对于单个术语的截止逻辑或与单个术语的扣除型属性完全自我延展的逻辑的一个有趣的结果是，他们的代数\ balg \ bl始终是一种多样性。令人惊讶的是，许多有限且有限的代数逻辑具有等值的代数语义，而代数可代数的逻辑理论一般可以证明，仅证明具有原始代数和有限代数的逻辑的同等代数语义是一项杂散的。结果解释了这种现象的使用，用于适用的有限和有限代数的逻辑。对于许多其他限制性和有限的代数逻辑来说，找到令人信服的解释仍然是一个开放的研究领域。

每个抽象的逻辑\ ca = \ langle \ ba，c \ rangle在A上确定一个准订单（反射性和及时关系）。它是由\ le _ {\ ca} b \ txtiff c（b）定义的关系。 c（a）中的subseteq c（a）\ txtiff b \ b \。

因此，A \ le _ {\ ca} b，仅当B属于A所属的每个C封闭设置。对于完全的自我文明逻辑\ bl，此准排在还原的完整G模型中变成了部分顺序，实际上，这实际上是降低的基本完整G模型，即抽象逻辑\ langle \ ba，\ tfi_ { \ bl} \ ba \ rangle与\ ba \ in \ balg \ bl。因此，在完全自我延迟的逻辑\ bl中，每个代数\ ba \ in \ balg \ bl bl bl bl \ bl bl \ bl bl \ bl bl bl \ bl-bl-bl-bl-bl-bl-filters的家族都可以定义。如果逻辑与连词完全自我延迟，则该部分顺序可以通过l-algebraic语言的方程来定义，因为在这种情况下，对于每个代数\ ba \ in \ balg \ bl \ bl，我们都有： ）\ subseteq c（a）\ txtiff c（a \ wedge^{\ ba} b）= c（a）\ txtiff a \ wedge^{\ ba} b = a，其中c是对应于封闭式系统\ tfi _ {\ bl} \ ba的抽象结果操作，而\ wedge^{\ ba}是通过公式在\ ba上定义的操作，该公式是逻辑\ bl的连词。

与单个术语的扣除型属性（例如p \ rightarrow Q），对于完全自我延伸的逻辑也有类似的情况。 （a）\ txtiff c（a \ rightarrow^{\ ba} b）= c（\ varnothing）= c（a \ rightarrow^{\ ba} a）\ txtiff \\ a \ rightarrow^{\ ba} b = a \ rightArrow^{\ ba} a。

这些观察结果使我们与连词一起查看了具有扣除属性的特定逻辑\ bl，并且具有单个术语的扣除属性属性为逻辑，该顺序可以由\ balg \ bl中的代数中可以定义的顺序定义\ bl-orgebraic语言。与此相关的是，已知以下结果。

定理8。

且仅当有一类代数\ bk时，具有连词的统一逻辑\ bl是完全自我的，以至于每个\ ba \ in \ bk in \ bk bk bk y yrod \ langle a，\ wedge a，\ wedge^{\ ba} \ rangle是一个Meet-emilattice，如果\ le是半岛的命令，那么

\ phi_1，\ ldots，\ phi_n \ vdash _ {\ bl} \ phi \ phi \ txtiff for All \ ba \ in \ bk in \ bk和每个估值v on \ ba \; \ bv（\ phi_1）\ wedge^{\ ba} \ ldots \ wedge^{\ ba} \ bv（\ phi_n）\ le \ le \ bv（\ phi）

和

\ vdash _ {\ bl} \ phi \ txtiff for \ bk in \ bk和\ ba \ on \ ba \ in \ ba \ in \ ba \; a \ le \ bv（\ phi），适用于A中的每个a \

此外，在这种情况下，代数\ balg \ bl类是\ bk生成的品种。

对于单个项的扣除型属性，可以获得相似的结果。读者被转介给Jansana 2006，以研究与共同的自我扩展逻辑的研究，以及Jansana 2005，以研究自我延伸逻辑与单个术语的扣除型属性的研究。

具有连词的自我延伸逻辑类别包括在子结构逻辑领域和许多价值逻辑领域所研究的所谓逻辑。读者可以看一下Bou等。 2009及其中的参考。

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