数学原理中的符号（四）
我们结束了本节的结论，其中列出了这些卷的其余部分中的许多突出示例，其直观的含义，PM中的位置，PM中的定义和现代版本。 （其中一些数字是定理而不是定义。）但是，请注意，现代配方有时在逻辑上与PM中的原始版本有所不同，例如通过将关系视为有序对等，等等。更为突出的是实践将概念定义为关系或关系之间的高阶关系的PM，而不是由这些关系决定的功能。在W.V. Principia的逻辑中与公理设置理论相比，Quine（1951）反对大部分象征主义的复杂性甚至冗余。但是，可以通过逐步应用定义来制定这些公式。
对于每个公式编号，我们以以下格式介绍信息：
PM符号（直观含义）[位置]
PM定义
现代版本
* 22班级的演算
α⊂β（α是β的子集）[ * 22·01]
x∈α.⊃x.x∈β
α⊆β
α∩β（α和β的相交）[ * 22·02]
^
x
（x∈α.x∈β）
α∩β
α∪β（α和β的联合）[ * 22·03]
^
x
（x∈α∨X∈β）
α∪β
-α（α的补体）[ * 22·04]
^
x
（x〜∈α）[即
^
x
〜（x∈α）fy 20·06]
{x X∉}
α -β（α负β）[ * 22·05]
α∩ -β
{x x∈α＆x∉β}
* 23关系的演算
r⊂·s（r是一个子相关s）[∗ 23·01]
xry.⊃x，y.xsy
∀X∀Y（xry⊃xsy）
右
˙
∩
S（R和S的交点）[ * 23·02]
^
x
^
y
（xry.xsy）
{⟨X，y⟩| rxy＆sxy}
˙
-
r（r）[∗ 23·04]
˙
-
R=
^
x
^
y
{〜（xry）}
{⟨X，y⟩| 〜rxy}
* 24类的存在
V（通用类）[∗ 24·01]
^
x
（x = x）
v或{x x = x}
λ（空类）[∗ 24·02]
-v
∅
∃！α（存在α类）[∗ 24·03]
（∃x）.x∈α
∃X（x∈α）
* 25关系的存在
˙
∃
！r（存在关系r）[∗ 25·03]
（∃x，y）.xry
∃x∃幼儿
* 30描述函数
r’y（y的r）（描述函数）[∗ 30·01]
（b）（xry）
r'y是（可能是部分）函数，其中fr（y）= x如果x ry且此x是唯一的，否则不确定。
* 31关系的对话
CNV（关系与相反之间的关系）[∗ 31·01]
^
问
^
磷
{xqy.d x，y.ypx}
{⟨Q，p⟩⟩x∀y（qxy²pyx）}
˘
右
（r）[∗ 31·02]
^
x
^
z
（ZRX）
{⟨X，z⟩rzx}
* 32个给定术语的引用和相关
→
右
‘y（y的R-Predeques）[ * 32·01]
^
x
（Xry）
{x rxy}
←
右
‘x（x的r-successors [∗ 32·02]
^
z
（XRZ）
{zkrxz}
* 33个域和关系领域
d'r（r）域[∗ 33·01]
^
x
{（∃Y）.xry}
{x∃催眠}也：d’r
d'r（r）的匡威域（范围）[∗ 33·02]
^
z
{（∃X）.xrz}
{z∃xrxz}也是r'r
c’r（r）[∗ 33·03]
^
x
{（∃Y）：xry.∨.yrx}
{x∃y（rxy∨ryx）}也是f’r
* 34两个关系的相对产物
r r s（r和s的相对产物）[∗ 34·01]
^
x
^
z
{（∃Y）.xry.ysz}
r∘s或{⟨X，z⟩⟩y（rxy＆syz）}
* 35限制域和匡威域
α↿R（r的域限制为α）[∗ 35·01]
^
x
^
y
[x∈α.xry]
{⟨X，y⟩⟩x∈α＆rxy}
r↾β（r范围为β的限制）[∗ 35·02]
^
x
^
y
[xry.y∈β]
{⟨x，y⟩rxy＆y∈β}
α↑β（α成员与β成员的关系）[ * 35·02]。
^
x
^
y
[x∈α.y∈β]
{⟨x，y⟩x∈α＆y∈β}，α和β的笛卡尔产物。
* 36与有限字段的关系
p↾⇂α（r限制为α）[∗ 36·01]
α↿p↾α
{⟨X，y⟩x∈α＆y∈α＆rxy}
* 37复数描述函数
r'’β（与β成员具有关系r的术语[∗ 37·01] ∗
^
x
{（∃y）.y∈β.xry}
{x∃y（y∈β＆rxy）}
r∈（当α是具有r与β成员的术语类别时，α与β的关系[∗ 37·02]
^
α
^
β
（α= r’’β）
{⟨α，β⟩⟩x∈α＆∃z（y∈Z＆z∈β＆ryz）}}
* 38双重描述函数。 PM使用属语言变量“♀”，可以用个人，阶级或关系之间的任何关系替代，这些关系被视为其论点的操作。交叉路口的操作可以表示为其第一个参数的高阶函数。因此∩β’α =α∩β。
♀Y（X♀Y与X的关系对于任何X的关系）[ * 38·02]
^
你
^
x
（u =x♀y）
{⟨U，x⟩un=x♀y}
该概念将在以后使用。相对产品概念的一个例子是一个实例，因此：
（R的一个力量与下一个功能的关系）[ * 38·02]
^
磷
^
S
（p = r s）
{⟨P，s⟩p=r∘s}
α♀，y（x为α时x♀y的值类别[∗ 38·03]
♀Yα
{u∃x（x∈α＆u =x♀y）}
S’κ（κS的总和或联合）[ * 40·02]
^
x
{（∃α）.α∈.x∈α}
∪κ或{x∃β（β∈κ＆x∈β）}
˙
s
‘λ（λ中的关系之和）[∗ 41·02]
^
x
^
y
{（∃R）.r∈λ.xry}
{⟨X，y⟩⟩r（r∈λ＆rxy）}
11。Prolegomena到红衣主教算术（第二部分）
当代哲学家将考虑到数学的过渡，从集合理论（或适当的类别的理论开始，无法设置），但在PM中也是数学逻辑的一部分。因此，算术的原理从明确算术概念（基本数字1和2）的逻辑上开始。
i（身份的关系）[ * 50·01]
i =
^
x
^
y
（x = y）
{⟨X，y⟩ust= y}
J（多样性的关系）[ * 50·02]
i =
˙
-
我
{⟨X，y⟩x≠y}
定义[∗ 51·01]定义的定义[∗ 51·1]定义的‘’’’
^
y
（y = x）
{y y = x}（单例X）
1（基数1）[ * 52·01]
^
α
{（∃x）.α= i’x}
{α∃X（α= {x}）}（所有单身子的类）
变量x通常在这里模棱两可，因此对于x可以假设的每种类型的数字1将是一个独特的数字1。
如下所示，这也适用于2，以及所有自然数。
2（基数2）[ * 54·02]
^
α
{（∃X，y）.x≠y.α= 〜I’x∪ι’y}
{α∃y∃z（y≠z＆α= {y}∪{z}）}（所有对的类）
x↓y（x和y的顺序夫妇）[ * 55·01]
我是
⟨X，y⟩（有序的对⟨X，y⟩）
平装本的Mathematica删节版本仅为56，仅到了这么远，因此其余的定义仅适用于那些可以访问PM的完整三卷的人。罗素（Russell）目前尚未决定结束1962年的删节版本，但选择是可以理解的。在这里，当代集合理论开始与PM更加不同。集合理论遵循诺伯特·维纳（Norbert Wiener）（1914），将关系表示为有序对的集合，本身定义为集合。 （Wiener的提案⟨X，Y⟩= Df {{{X}，∅}，{{y}}}}通常已被Kuratowski的简单{{x}，{x，y}}}代替。 PM的其余部分研究了导致自然和实数数学的关系结构，以及可以在类型理论中进行的跨足集理论的一部分。这与公理集理论中这些概念的发展有很大不同。
Cl'α（α的子类别）[ * 60·12]
^
β
（β⊂α）}
℘α，α，{x |x⊆α}的功率集
clex'α（存在α的存在类别）[ * 60·13]
^
β
（β⊂α.∃！β）}}
{x |x⊆α＆x≠∅}
rl’p（p的子关系类别）[ * 61·12]
^
右
{r⊂Åp}
{r∀x∀y（⟨x，y⟩∈R⊃⟨X，y⟩∈P）}}
∈（班级成员的关系）[ * 62·01]
^
x
^
α
（x∈α）
{⟨x，y⟩x∈Y}
∗ 63个类的相对类型。 PM中的类型理论允许与不同类型类别的类别相关。集合理论与阶级理论之间的差距来自缺乏任何类型类别的累积理论。这些PM系统允许定义个人和个人类别之间的关系。这些在第三卷中的比率类别方面需要实数。
t’x（x是成员的类型）[ * 63·01]
我’X∪-i’x
{x}∪{yKy∉{x}}}
t0'α（包含α的类型）[ * 63·02]
α∪ -α
α∪{x x∣α}
t1’κ（下一个类型κ所包含的类型）[ * 63·03]
t0’s’κ
∪{∪{α∣α∈κ}，{ββ∉∪{α∣α∈κ}}}}}}}
T11’α（T1'α类型的成对类型）[ * 64·022]
t'（t1'α↑t1'α）
一对给定类型的类型类型将与这些类的类别相同。这个定义是按照效果的秩序，但在当代符号中写入非常复杂。我们将其作为读者设计简洁公式的开放问题。
α→β（与α和β中的指南的关系（从α到β）[∗ 70·01]
^
右
（
→
右
“d'r⊂α。
←
右
“ d’r⊂β）
{r∀x∀y（rxy⊃[{z rxz}∈α＆{uKrxu}∈β}]}}}
由于1是单身类别的类别，（1→1）将是一对一（冲销）关系的类。
α
￣
SM
β（α和β之间的相似关系类别）[ * 73·03]
{r∣r∈1→1.α=d'R.β= d'r}
{f i
1-1
⟶
β}
SM（相似性的关系）[ * 73·02]
^
α
^
β
（∃！α
￣
SM
β）
α≈β
* 80选择。
类 κ 的选择函数是使 κ 的每个元素 x 成为 x 的成员的函数 f。这些由 εΔ‘κ 表示。两个类 αXβ 的乘积的基数是从 α 和 β 中选择的所有成员对的类的基数，因此这种选择存在的保证称为 PM 中的乘法公理。这现在被称为选择公理，它被 Ernst Zermelo 于 1904 年确定为集合论证明中使用的假设。在 PM 中，它被定义为断言如果类 κ 是一组互斥的、非空类，则存在一个类 μ，它恰好包含 κ 的每个元素的一个成员。
εΔ‘κ (ε 的选择关系) [*80·01]
(1→Cls)∩Rl‘ε∩
←
D
‘κ
{f∣∀α(αεκ⊃f(α)εα)}
Cls2 excl（互斥类的类）[*84·01]
^
κ
(α,βεκ.α≠β.⊃α,β.α∩β=Λ)
{κ∣∀α∀β(α,βεκ&α≠β⊃α∩β=∅)}
Cls ex2 excl（互斥非空类的类）[*84·03]
Cls2excl−
←
ε
'Λ
{κ∣∀α(αεκ⊃α≠∅)& ∀α∀β[αεκ&βεκ⊃(α=β∨α∩β=∅)]}
多轴（乘法公理）[*88·03]
κϵClsex2excl.⊃κ:(∃μ):αϵκ.⊃α.μ∩αϵ1
∀κ{[∀α(αεκ⊃α≠∅)& ∀α∀β(αεκ&βεκ⊃(α=β∨α∩β=∅))]⊃ ∃μ∀α∃x(αε κ⊃μ∩α={x})}
*90 归纳关系。第一卷的结论部分提出了作为数学归纳原理基础的自然数结构的概括。
R*（R的祖先）[*90·01]
^
x
^
y
{x∈C‘R：
˘
右
“μ⊂μ.xεμ.⊃μ.yεμ}
{⟨x,y⟩∣xεF‘R& ∀μ[∀z∀w[(zεμ&Rzw)⊃wεμ]⊃yεμ]}
现在写成 R*，它遵循弗雷格的定义：y 属于所有包含 x 的 R 遗传类。
Rts（R 与其幂级数 Rn 之间的关系，n＞0 时，即 R(=R1)、R2 R3 等）[*91·02]
(∣R)*
{⟨P,S⟩∣P=Rn&S=Rn+1}
Pot ‘R（R 的正幂，即电位）[*91·03]
→
右
ts’R
{S∣∃n＞0(S=Rn)}
Rpo（R的正幂的并集）[*91·05]
˙
s
‘锅’R
{⟨x,y⟩∣∃S∃n＞0(S=Rn&Sxy)}
xB‘P ( x 开始关系 P) [*93·01]
x∈D‘P−D’P
{x∣∃yPxy&∼∃zPzx}
x minP‘α ( x 是 α 相对于 P 的最小成员) [*93·02]
x∈α∩C‘P−
˘
磷
''α
x∈α&x∈FP&∼∃z(Pzx&z∈α)
↔
右
‘x（R家族，祖先和后代）[*97·01]
→
右
‘x∪(ι‘x∩C‘R)∪
←
右
'x
{y∣Rxy∨(y=x&x∈F‘R)∨Rxy}
