数学原理中的符号（三）
尽管怀特海和罗素在这些示例中以描述为具有范围的表达方式，但上述读物都扩展了PM符号和现代符号，这表明为什么有些现代逻辑学家认为，这里的阅读差异是在这里的差异。否定标志。
9。课程，关系和功能
在公式之前的变量上的绕行“ ˆ”用于指示类，因此
^
x
ψx是ψx的事物x类。在现代符号中，我们将此类表示为{x ∣ X}，它的读数为：x的x类具有ψ。回想一下“ ϕ
^
x
”，在谓词变量之后的变量上绕过绕线，表达为x的命题函数，使得ϕx。在PM的类型理论中，班级
^
x
ϕX具有与函数ϕ相同的逻辑类型
^
x
。这使得使用以下上下文定义适当，这允许一个人消除类术语
^
x
从上下文中出现的ψxf：
f {
^
z
（ψz）}。= :(∃ϕ）：ϕ！x.x.x.ψx：f {ϕ！
^
z
} DF
或现代符号：
f {z∣ψz} = df∃ϕ [∀x（ϕx。ψx）＆f（λxxxx）]
其中ϕ是x的谓语函数
请注意，F必须被解释为基于功能ϕ的高阶函数！
^
z
。在上面使用的现代符号中，该语言必须是一种打字语言，在该语言中允许λ表达式在参数位置。如后来指出的那样（Chwistek 1924，Gödel1944和Carnap 1947），就像有明确的描述一样，应该有班级表达的范围指标。 （在引言的最终句子（PM I，84）中提到了有关类命题的范围歧义的可能性）。例如，Chwistek提出了为确定描述复制符号的符号，从而将∗ 20·01替换为：
[
^
z
（ψz）]。f {
^
z
（ψz）}。= :(∃ϕ）：ϕ！x.x.x.ψx：f {ϕ！
^
z
}
集合理论的当代形式化使用这些上下文定义，当它们需要形式的“存在”定理。是的…是的……}。参见Suppes（1960）。鉴于扩展的定律，它遵循∃x∀y（y∈X。…y…），有一个唯一的集合。 PM在PM中定义了Class -sh中成员资格的关系，首先定义对象和命题函数之间的相似关系：
x∈（ϕ！
^
z
）。=。ϕ！xdf
或者，在现代符号中：
x∈λZZz= dfϕx
∗ 20·01和∗ 20·02一起用于定义类中更熟悉的成员概念。正式表达式“y∈{
^
z
（ϕz）}”现在可以看作是班级术语的上下文；然后，通过上下文定义 * 20·01消除了它。 （锻炼）
在PM中，有所有类别的类别，CLS，定义为：
Cls =
^
α
{（∃ϕ）.α=
^
z
（ϕ！z）} df
PM还具有用于类的希腊字母：α，β，γ等。这些将显示为真实（自由）变量，明显的（绑定）变量以及摘要函数的摘要函数，如ϕ
^
α
。仅出现在文本的正文中，仅出现绑定的希腊变量的定义，而其他变量则在引言中非正式地定义：
（α）.fα。=。（ϕ）.f {
^
z
（ϕ！z）} df
或者，在现代符号中，
∀αfα= df∀ϕf {z ϕzz}
其中ϕ是谓语函数。
因此，普遍量化的类变量是根据量化函数范围定义的。同样存在生存量化：
（∃α）.fα。=。（∃ϕ）.f {
^
z
（ϕ！z）} df
或者，在现代符号中，
∃αfα= df∃ϕf {z ϕzz}
其中ϕ是谓语函数。
定义了∈左的希腊变量的表达式：
α∈ψ！
^
α
。=。ψ！αdf
这些定义并不涵盖希腊变量的所有可能发生。在PM的引言中，Fα和F的进一步定义
^
α
提出了提出的，但据说这些定义在某种程度上是特殊的，它们没有出现在作品的正文中。考虑F的定义
^
α
是：
f
^
α
。=。（∃ψ）。
^
φ
！
^
z
}
或者，在现代符号中，
λαfα=dfλctf{x€ϕx}
也就是说，f
^
α
是命名函数的表达式，该函数将功能ϕ带到一个主张f s of class ϕs的命题中。 （现代符号表明，在拟议的f定义中
^
α
在PM表示法中，我们不应该期望定义者的α，因为它确实是F中的一个界变量
^
α
;同样，我们也不应该期望定义友好中的ϕ，因为它是定义的界变量。）人们可能还期望像∗ 20·07和∗ 20·071这样的定义对于罗马字母“ Z”为取代了希腊字母。因此，PM中的定义尚不完整，但是可以猜测如何扩展它们以涵盖所有希腊字母的发生。这将通过展示如何将所有对阶级的讨论简化为命题函数理论，从而完成阶级“无级”阶级理论的项目。
10。结论数学逻辑
尽管哲学的学生通常在PM中读不超过∗ 20，但这实际上是数学“构造”真正开始的地步。 ∗ 21介绍了“关系的一般理论”（扩展的关系理论；在当代逻辑中，这些被视为有序对的一组，在维纳之后）。
^
x
^
y
ψ（x，y）是x和y之间的关系，当ψ（x，y）为true时，获得的关系。在现代符号中，我们将其表示为一组有序对{⟨X，y⟩⟩ψ（x，y）}，它已阅读：有序的对⟨X，y⟩，x具有关系ψ至y。
以下上下文定义（∗ 21·01）允许一个人消除关系术语
^
x
^
y
ψ（x，y）来自上下文中的发生f：
f {
^
x
^
y
ψ（x，y）}。=：。（∃ϕ）：ϕ！（x，y）。
^
你
,
^
v
）} df
或现代符号：
f {⟨x，y⟩⟩ψ（x，y）} = df∃ϕ [∀xy（ϕ（x，y）=ψ（x，y）））
其中ϕ是u和v的谓语函数。
Principia不根据有序对的一组来分析关系（或数学函数），而是将命题函数的概念视为原始的概念，并根据它们定义了关系和功能。 ∗ 21之后使用上大写字母r，s和t等，以代表这些“扩展中的关系”，并通过在参数之间写入命题函数来区分。因此，它是在命题函数符号之后具有参数的ψ（x，y），但xry。从∗ 21函数“ ϕ和ψ”等函数消失了，仅在princiadia页面中出现了扩展，r，s和t等的关系。尽管命题函数可能是“强化的”，但对于相同对象而言，这是两个函数可能是正确的，但并非相同，并且在所有相同对象中没有明显的延伸关系是正确的。因此，原理的逻辑是“扩展的”，从第I页的第200页到第三卷的结尾。
* 22在“阶级的微积分”上介绍了相交，工会和空集的基本集理论，这通常是其他类型的基本数学中使用的所有集合理论。 Zermelo-Fraenkel系统（例如，在文本稍后将不得不查看各种数字，寻找原理理论将其与原理理论进行比较。选择的公理在∗ 88处定义为“乘法公理”，而无穷大的公理的版本则为第II卷中的“ Infin Ax”。在各种熟悉的公理系统中，原理理论最接近1908年Zermelo的公理，这意味着它缺乏基础的公理和替换的公理，即现在标准的Zermelo-fraenkel set理论的公理。原理系统与Zermelo的不同之处在于，它是在简单的类型理论中提出的。结果，例如，所有集合都没有量化符，并且有一组万物（每种类型）。
∗ 30在“描述函数”上提供了Whitehead和Russell对关系和确定描述的数学功能的分析。从数学意义上讲，弗雷格将功能概念用作其逻辑系统中的基本概念。因此，Fregean的“概念”是从对象开始的函数，作为参数，将两个“真实价值观”作为其价值。一个概念为概念应用的每个对象而产生“真实”的价值，而对所有其他对象则“ false”。罗素（Russell）从发现他的描述理论之前就从每个论点和价值之间的关系以及“唯一性”的概念来分析功能。有了现代的象征主义，他的观点将如下所示。对于每个函数λxf（x），将有一定的关系（扩展）r，使得对参数a的函数的值（即f（a））将是带有关系r的唯一个体。结果是主中没有功能符号。正如Whitehead和Russell所说，将以“SINπ/2”等熟悉的数学表达方式进行分析，并确定描述为“描述函数”。 r'y（y的r）的“描述函数”定义如下：
r’y =（b）xrydf
如果当x是y的父亲时，关系r是x和y之间的关系，则该功能将以个人为论点x作为他们的父亲。例如，如果Xry是“ X是Y的父亲”的关系，那么R'y就是将Y映射到Y的父亲（如果存在的话）的功能。请注意，左参数x对应于函数的值，而r的正确参数y是函数r'y的参数或输入。同样，如果xsy是一个数字与其后继者的关系n到n+1，那么s'y将是映射到其成功的数字的函数的参数，而不是表达映射的“后继函数”其继任者的数字。这是关联功能和关系时通常使用的顺序的相反。如今，我们首先将函数降低到参数之间的二进制关系，而在第二部分中值。这可能会导致诸如域和以下关系范围之类的概念的定义中的某些混乱。
