数学原理中的符号（二）
4.命题函数
PM中有两种功能。命题函数，例如“
^
x
是一个自然数”与更熟悉的数学函数（称为“描述函数”）（PM，第*31章）区别开来。描述性函数是使用关系和明确的描述来定义的。描述性函数的示例有 x+y 和“n 的后继”。
怀特海和罗素专注于命题函数，区分了带有自由变量的表达式（例如“x is受伤”）和函数名称（例如“
^
x
受伤了”）（下午，14-15）。通过将允许的值分配给自由变量“x”而从公式中得出的命题被称为函数的“模糊值”。使用抑扬符号的表达式，例如 phi
^
x
只出现在 PM 技术部分的介绍性材料中，而不出现在技术部分本身（类论部分除外），这促使一些学者说这种表达方式并不真正出现在 PM 的形式系统中。下午。这个问题与围绕这些符号的解释的问题不同。它们是将开放公式转换为函数名称的“术语形成运算符”，还是简单的语法装置、占位符，用于指示可以在开放公式中进行替换的变量？如果将它们视为术语形成运算符，则 ψ 的现代表示法
^
x
将是 λxphix。 λ 表示法的优点是清楚地揭示了变量 x 受术语形成运算符 λ 的约束，该运算符采用谓词 phi 并生成术语 λxphix（在某些逻辑中，它是可以出现在主语位置的单数术语）一个句子的，而在其他逻辑中是一个复杂的谓语表达式）。与 λ 表示法不同，使用扬抑符的 PM 表示法无法指示范围。函数表达式“ψ(
^
x
,
^
y
)”在 λxλyphixy 和 λyλxphixy 之间是不明确的，没有进一步的约定。事实上，怀特海德和罗素指定了可拓关系的这种约定（在*21的介绍性材料的第200页上，就变量的顺序而言），但是通过使用λ符号可以最清楚地表达出歧义：第一个表示为 x 和 y 的关系，使得 phixy，第二个表示为 y 和 x 的逆关系，使得 phixy。
5. 类型和顺序的缺失符号
本节解释数学原理中没有的符号。除了*63中的一些“相对”类型符号以及第二卷的早期部分之外，众所周知，《数学原理》中没有类型符号！句子通常被视为“典型地不明确”，因此代表整个类型范围的表达式，因此正如不存在个体或谓词常量一样，也不存在任何特定类型的特定函数。因此，人们不仅看不到如何符号化这一论点：
所有的男人都会有一死
苏格拉底是个男人
因此，苏格拉底终有一死
但也没有指示该函数的逻辑类型“
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x
是必死的”。 PM的项目是将数学简化为逻辑，该项目背后的部分逻辑观点是逻辑真理都是完全普遍的。因此，从定义和逻辑真理推导出数学真理，除了从纯逻辑概念的定义引入的常数之外，不会涉及任何特定常数。因此，PM 中不包含用于描述这些类型的符号。我们这些希望将 PM 视为一种可以应用的逻辑的人，必须用一些类型指示来补充它。
读者应该注意，下面概述的类型解释与 PM 文本中有关类型的陈述并不对应。 Alonzo Church [1976] 为 PM 文本所暗示的简单和分支类型理论开发了一种简单、理性的符号重构。 （类型理论有其他等效的符号。）完整的理论可以被视为简单类型理论的发展。
5.1 简单类型
简单类型的定义如下：
ι（希腊语 iota）是个体的类型。
其中 τ1,…,τn 为任意类型，则 ⌜(τ1,…,τn)⌝ 是命题函数的类型，其参数分别为 τ1,…,τn 类型。
⌜( )⌝ 是命题的类型。
以下是一些理解类型定义的直观方法。假设“苏格拉底”命名了一个人。 （我们在这里忽略了罗素经过深思熟虑的观点，即这些普通个体实际上是感觉数据类的类，因此属于更高类型。）那么个体常数“苏格拉底”将是 ι 类型。以个体为参数的一元命题函数的类型为 (ι)。假设“是凡人”是表达个人财产的谓语。函数“
^
x
是终有一死的”将属于 (ι) 类型。个体之间的二元关系属于 (ι,ι) 类型。因此，像“parent of”这样的关系表达式和函数“
^
x
是的父母
^
z
” 的类型为 (ι,ι)。
(ι) 类型的命题函数通常被称为“一阶”；因此，熟悉的逻辑被称为“一阶逻辑”，其中变量仅在一阶函数的参数范围内。 τ 类型参数的一元函数属于 (τ) 类型，因此此类函数的函数属于 ((τ)) 类型。 “二阶逻辑”将具有用于此类函数的参数的变量（以及个体的变量）。对于具有 2 个以上参数的关系，τ 类型函数之间的二元关系属于 (τ,τ) 类型，依此类推。混合类型由上面定义。个体与命题之间的关系（例如“
^
x
相信
^
磷
”) 的类型为 (ι,( ))。
5.2 分支类型
为了构建 PM 类型的完整分支理论的符号，必须在符号中编码另一条信息。 Church 将由此产生的系统称为 r 型系统之一。分支类型的关键思想是，使用某些给定类型的函数的量化定义的任何函数都必须比这些函数具有更高的“阶数”。借用拉塞尔的例子：
^
x
具有伟大将军所具有的所有品质
是人（即个体）的函数，从简单类型论的角度来看，它与个体的特殊品质（例如勇敢和果断）具有相同的简单逻辑类型。然而，在分支类型理论中，上述函数将比个体的那些特定品质具有更高的阶，因为与那些特定品质不同，它涉及对这些品质的量化。因此，虽然表达式“
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x
是勇敢的”表示r型(ι)/1的函数，表达式“
^
x
具有伟大将军所具有的所有品质”将具有r型（ι）/2。在这些 r 类型中，“/”后面的数字表示函数的级别。将根据以下定义来定义和计算函数的顺序。
Church 将 r 类型定义如下：
ι（希腊语 iota）是个人的 r 型。
其中 τ1,…,τm 为任意 r 型，n 为正整数，⌜(τ1,…,τm)/n⌝ 为 r 型；这是 n 级 m 元命题函数的 r 类型，其参数为 r 类型 τ1,…,τm。
实体的顺序定义如下（这里我们不再遵循 Church，因为他定义了变量的顺序，即表达式，而不是变量范围内的事物的顺序）：
个体（r型ι）的阶数为0，
r 型函数 (τ1,…,τm)/n 的阶数为 n+N，其中 N 是参数 τ1,…,τm 阶数中最大的一个。
这两个定义补充了一个原则，该原则标识了特定定义的函数的级别，即，定义的函数的级别应该比具有出现在该函数的定义中的名称或变量的最高阶实体高一级。
了解如何使用这些定义和原理来计算函数的阶数“
^
x
具有伟大将军所具有的所有品质”，请注意，该函数可以表示如下，其中“x,y”是范围在 r 型 ι（0 阶）个体上的变量，“GreatGeneral(y)”是谓词表示 r 型 (ι)/1（以及 1 阶）的命题函数，“phi”是范围在 r 型 (ι)/1（以及 1 阶）的命题函数上的变量，例如伟大的将军，英勇无畏，领导力、技能、远见等：
(ψ){[(y)(大将军(y)⊃ψ(y)]⊃ψ
^
x
}
我们首先注意到，根据上述原理，该函数的r型为(ι)/2；级别为 2，因为此函数的 r 类型的级别必须比定义中命名的（或使用的变量范围内的）任何实体的最高阶高一级。在这种情况下，GreatGeneral 的表示和变量“phi”的范围是 1 阶，并且没有其他表达式名称或范围高于更高阶的实体。因此，上述函数的级别定义为 2。最后，我们计算上述函数定义时的阶数：级别之和加上上述函数参数的最大阶数。由于上述函数中唯一的参数是个体（阶数为 0），因此我们函数的阶数仅为 2。
在新函数的定义中对 k 阶 r 型 (τ)/n 函数进行量化会产生 r 型 (τ)/n+1 函数，从而产生更高一阶的函数 k+1。那么，两种函数可以是二阶函数：(1) r 型 ((ι)/1)/1 个体的一阶函数函数，以及 (2) r 型 ( ι)/2，比如我们的例子“
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具有伟大将军所具有的一切品质”。后者将是像拿破仑这样的个人的真实函数，但比诸如“
^
x
是勇敢的”，属于r型（ι）/1。
今天的逻辑学家使用了不同的“顺序”概念。如今，一阶逻辑是一种逻辑，仅适用于个人的变量。二阶逻辑是一个逻辑，具有个人和个人特性的变量。三阶逻辑是一种逻辑，具有个体的变量，个体的特性以及个人的性质。等等。相比之下，教会将这些逻辑分别称为类型（i）/1和（i，…，…，i）/1的功能功能的逻辑，类型（（（（（i））/1）/1的功能逻辑和（（（i，…，i）/1，…，（i，…，i）/1）/1，以及类型的函数逻辑（（（（（（（（（i）/1）/1）/1）/1）/1）/1等。 （即，函数的级函数上类型）。鉴于教会的定义，这些是一阶，二阶和三阶功能的逻辑，因此与“ n阶逻辑”的现代术语相吻合。
6。变量
如前所述，正式系统中没有个体或谓词常数，只有变量。然而，引言在讨论原子事实中使用了“在关系r中的A”的示例（PM，43）。尽管“ r”后来用作扩展中关系范围的变量，而“ a，b，c，……”是个体变量，让我们分别暂时将它们添加到系统中，分别为谓词和单个常数，以便讨论PM中变量的使用。
PM特别使用“真实”或“自由”变量与“明显”或绑定变量之间的区别。由于“ X”是一个变量，因此“ Xry”将是我们扩展语言中的原子公式，具有“ X”和“ Y”真实变量。当这种公式与命题连接〜，∨等组合时，结果是矩阵。例如，“arx.∨.xry”将是一个矩阵。
正如我们之前看到的，还有一些变量范围超过函数：“ ϕ，ψ，…，f，g”等。因此，“ ϕx”的表达式包含两个变量，尤其是命题，特别是应用程序的结果。单个x的函数ϕ。
定理用实际变量表示，这使它们在理论方面具有特殊的意义。例如，
⊢：（x）.DACTON
是PM量化理论的基本公理。在这个原始命题中，变量“ ϕ”和“ y”是真实的（免费），“ x”是显而易见的（绑定）。由于系统中没有常数，因此PM最接近普遍实例化的规则。
怀特黑德和罗素将“（x）.Dary解释为“主张所有值的命题
^
x
”（PM 41）。 “全”一词的使用在类型理论中具有特殊意义。他们提出了恶性循环原则，该原则是类型理论的基础：
…通常，给定任何集合的对象，这样，如果我们假设该集合具有总数，则它将包含以该总数为前提的成员，那么集合之类的成员将无法拥有总数。通过说该集合“没有总体”，我们的意思是，没有关于“所有成员”的重要声明。 （PM，37）
具体而言，因此，一个量化的表达式，因为它谈论了（前提）“所有人”的整体成员，必须表达与这些成员不同，更高，逻辑类型的成员，以观察恶性循环原则。因此，当解释一个界变量时，我们必须假设它的范围是特定类型的实体范围，因此必须将类型分配给公式中表达式代表的其他实体，并遵守类型的理论。
但是，一旦有人意识到PM中的原始命题和定理的陈述（例如 * 10·1）被认为是“通常是模棱两可的”（即相对于类型的模棱两可）。这些陈述实际上是示意图，代表了可以通过适当解释类型来从中得出的所有可能的特定断言。但是，如果像∗ 10·1之类的语句是schemata，但具有界变量，我们如何将类型分配给界变量范围的实体？答案是首先确定语句范围内的自由变量的哪种类型。例如，假设∗ 10·1中的变量范围（类型为）范围范围范围范围，则变量ϕ必须在某些n型函数（e）/n的函数上范围范围。然后，绑定变量X也将范围为个体。但是，如果我们假设在类型（i）/1的函数上，∗ 10·1中的变量范围范围，则变量ϕ必须在某些m的函数（（i）/1）/m的函数上范围。在这种情况下，绑定变量x将范围范围（i）/1的函数。
因此，y和ϕ在 * 10·1中称为“真实”变量，不仅是因为它们是免费的，而且因为它们可以在任何类型上范围。怀特海和罗素经常说，真实变量被模棱两可地表示“任何”实例，而绑定的变量（也模棱两可表示）范围范围范围范围范围（在合法的整体中，即类型）。
7。谓词功能和身份
感叹号“！”按照“函数”和“参数”之前的变量，例如“ f！
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x
”，“ ϕ！x”，“ ϕ！
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x
”，表明该函数是谓词，即最低顺序可以适用于其参数。在教会的符号中，这意味着谓语功能都是第一级，形式（…）/1的类型。结果，谓词功能将比其任何参数的最高顺序多。该分析基于以下引号，在PM简介中：
当一个变量的下一个序列的参数（即与其具有该参数兼容的最低顺序）时，我们将将一个变量的函数定义为谓词。 （PM，53）
不幸的是，在 * 12的摘要中，我们发现“一个谓词函数是一个不包含明显变量的函数，即是矩阵” [PM，167]。将此陈述与引言中的定义进行调解是学者的问题。
要查看行动中的尖叫符号，请考虑以下身份的定义：
x = y。= :( ϕ）：ϕ！x.⊃。ϕ！ydf
也就是说，x与y相同时，仅当y具有x所拥有的每个谓词函数ϕ时，x是相同的。 （当然，第二次出现“ =”表示一个定义，并且没有独立的意义。这是第一次出现，将个人X和Y与定义的个人相关。）
要查看此定义如何减少对身份的更熟悉的定义（如果它们共享相同的属性，则在哪些对象上是相同的），我们需要可降低的公理。可降低性的公理指出，对于任何函数，都有等效函数（即，所有相同参数的真实函数）是谓词：
可降低的公理：
⊢：（∃f）：ϕx.x.x.f！xpp
要查看该公理如何暗示对身份的更熟悉的定义，请注意，对身份的更熟悉的定义是：
x = y。= :( ϕ）：ϕx.⊃。ϕydf
对于“任何”类型的ϕ。 （请注意，这与∗ 13·01的不同之处在于，尖叫不再出现。）现在，要证明这一点，同时假设∗ 13·01和可还原性的公理，并假设通过还原的证明，则x = y，and x = y和对于某些任意类型的功能ϕ，而不是ϕy。然后，可降低性的公理∗ 12·1保证将存在一个谓词函数ψ！，它与ϕ相吻合，使得ψ！x，而不是ψ！y，这与∗ 13·01相矛盾。
8。确定的描述
PM中使用了倒的希腊字母IOTA“ i”，然后始终进行变量，以开始确定的描述。 （ix）ϕx被读取为“ x，使得x是ϕ”，或者更简单地将“ ϕ”读数为“ ϕ”。这种表达可能会在主题位置发生，例如在ψ（ix）ϕ中，读为“ ϕ是ψ”。罗素著名的“确定描述理论”的正式部分包括对所有公式的定义“…ψ（b）ϕx…”，其中发生了描述。为了区分较大句子的其余部分（由上面的椭圆指示），在该句子中，出现表达式ψ（ix）ϕx的范围，描述的范围是通过重复括号内的确定描述来指示的：
[（3s）ϕx].ψ（〜ISX）ϕx
范围的概念旨在解释罗素在“表示”（1905年）中著名讨论的区别。罗素说，“法国国王不是秃头”的句子在两个读物之间含糊不清：（1）读物对当前法国国王的读物说他不是秃头，以及（2）否认否认的读物现任法国国王是秃头。前者的读物要求，没有秃头的事物清单上有一个独特的法国之王，而后者只是说没有独特的法国之王出现在秃头的事物名单上。罗素说，在没有法国国王的情况下，后者但不是前者可以是正确的。罗素（Russell）将这种差异分析为明确描述的范围，尽管我们将看到，一些现代逻辑学家倾向于将这种情况视为否定标志的范围。因此，罗素引入了一种指示确定描述范围的方法。
要查看罗素的范围方法在这种情况下如何工作，我们必须了解引入确定描述的定义（即，倒置的IOTA运算符）。怀特海和罗素定义：
[（3）ϕx].ψ（b）ϕx。= :(∃B）：ϕx.x.x.x = b：ψbdf
这种定义称为上下文定义，与明确的定义形成对比。定义描述的明确定义必须看起来像以下内容：
（3）（ϕx）=：…df
这将允许通过任何定义表达式填充省略号在任何上下文中替换确定的描述。相比之下， * 14·01显示了在上下文ψ中发生描述（ι）（ϕx）的句子如何被其他等效的其他句子（涉及ϕ和ψ）代替。要开发此定义的实例，请从以下示例开始：
例子。
现任法国国王是秃头。
使用PKFX代表当前法国国王和B代表秃头的命题功能，Whitehead和Russell表示上述主张是：
[（ix）（pkfx）]。
∗ 14·01表示：
（∃B）：pkfx.d x.x = b：bb
用言语，只有一个也是只有一个B是法国的一个国王，B是秃头。在现代符号中，使用b非标准，作为变量，这变成了：
（∃B）[∀X（pkfx = b）＆bb]
现在，我们返回示例，该示例显示了描述范围如何有所不同：
例子。
现任法国国王不是秃头。
代表这句话有两个选择。
[（〜bx）（kx）]。
和
〜[（b x）（kx）]。b（〜b（kx））
在第一个中，描述具有“宽”范围，第二个描述具有“狭窄”范围。罗素说，该描述在前者中有“主要发生”，后者的“次要发生”。鉴于定义 * 14·01，上面的两个PM公式被扩展到原始符号中：
（∃B）：pKfx = xx = b：〜bb
〜（∃B）：pkfx = xx = b：bb
在现代符号中，这些变成了：
∃x[∀y（pkfy = x）＆〜bx]＆〜bx]
〜x [∀y（pkfy− = x）＆bx]
前者说，有一个也是唯一的对象是法国的一个国王，这个物体不是秃头。即，正好有一个法国国王，他不是秃头。鉴于目前没有法国国王，这读是错误的。后者说，并非有一件事是法国国王，而该物体是秃顶的。这篇读物是正确的，因为甚至没有法国之王。
