数学原理中的符号（一）_数学联邦政治世界观

1. 为什么要学习《数学原理》中的象征意义？

2. 原始符号

3. 使用点作为标点符号

3.1 一些基本例子

3.2 更多例子

4.命题函数

5. 类型和顺序的缺失符号

5.1 简单类型

5.2 分支类型

6. 变量

7. 谓词函数和恒等式

8. 明确的描述

9. 课程

10. 数学逻辑总结

11.基数算术序言

12.基数算术（第三部分）

13.关系算术（第四部分）

14.系列（第五部分）

15. 数量（第六部分）

16. 结论

参考书目

学术工具

其他互联网资源

相关条目

1. 为什么要学习《数学原理》中的象征意义？

《数学原理》[PM] 由阿尔弗雷德·诺斯·怀特海 (Alfred North Whitehead) 和伯特兰·罗素 (Bertrand Russell) 历时数年共同撰写，分三卷出版，于 1910 年至 1913 年间出版。它提出了符号逻辑系统，然后转向数学基础来进行用逻辑概念定义数学概念并将数学基本公理证明为逻辑定理的逻辑主义项目。虽然这本书对于逻辑学、数学哲学以及更广泛的“早期分析哲学”的发展非常重要，但人们不再研究这些主题。结果，这部作品的符号对当代逻辑学学生来说变得陌生，这也成为了《数学原理》研究的障碍。我们包括一系列概念的定义，例如超限基数、良序、有理数和实数。这些在 PM 类型理论中的定义与公理集合论中的定义不同。

本条目旨在帮助 PM 的学生阅读作品的象征部分。接下来是将符号系统部分翻译成更现代的符号，这在本百科全书的其他文章中应该是熟悉的，并且在当代符号逻辑教科书中是相当标准的。没有提供完整的算法，而是提供各种建议来帮助读者了解 PM 的象征意义。仅使用当代符号就会对许多解释问题做出预先判断，并且 PM 独有的许多细节取决于该符号。下面将看到，通过符号的一些更具争议性的方面，实质学说被内置到 PM 符号中。用更现代的象征主义取代符号将彻底改变本书的内容。

2. 数理逻辑的本原符号（上）

下面读者将按照 PM 中引入的顺序找到以下符号，对其进行简要描述。以下提供了更多详细信息：

*发音为“star”；表示编号或章节，如*1或*20。

· 一个居中的点（古老的英国小数点）；表示按第一个数字（所有 0 前面所有 1 等）的顺序排列的编号句子，然后是第二个数字，依此类推。 *1 的第一个定义和命题说明了这种“字典顺序”：1·01、1·1、1·11、1·2、1·3、1·4、1·5、1·6、1·7 ，1·71，1·72。

⊢ 断言符号；在断言之前，可以是公理（即原始命题，也注释为“Pp”）或定理。

Df 定义符号；遵循一个定义。

.、:、:.、:: 等是用于分隔标点符号的点；在现代逻辑中，我们使用 ( )、[ ]、{ } 等。

p、q、r 等是命题变量。

∨、⊃、∼、≡ 和。、:、:.等是我们熟悉的句子连接词，分别对应“或”、“如果-那么”、“非”、“当且仅当”、“和”。（下面将解释连词和标点符号的双重使用。）在《PM》第二版，1925-27 中，谢弗笔画“∣”是第一个原始连接词。它的意思是“不是……和___”。

x、y、z 等是单独的变量，应以“典型的歧义”来读取，即填写其逻辑类型（见下文）。

a、b、c等是个体常量，代表个体（最低类型）。这些仅出现在 PM 简介中，而不出现在官方系统中。

xRy、aRb、R(x) 等是原子谓词，其中由变量或常量命名的对象位于关系 R 中或具有属性 R。这些仅出现在引言中。 “a”和“b”仅在第二版中作为常量出现。谓词 R(x)、R(x,y) 等仅在第二版中使用。

ψ、ψ、χ 等，

f、g 等是高阶变量，范围涵盖命题函数，无论这些函数是简单的还是复杂的。

ψx、ψx、ψ(x,y)等开放原子公式，其中“x”和“ψ”都是自由的。 [另一种解释是将“phix”视为代表公式的示意性字母，其中变量“x”是自由的。]

扬抑符；当放置在开放式公式中的变量上时（如“phi

”) 产生函数项。【这件事是有争议的。请参见 Landini 1998。] 当环绕变量位于复数变量之前时，结果指示一个类，如下所示

phix 是 x 的类，用现代表示法是 phi, {x∣phix}。

,ψ

, φ(

) 等命题函数的术语。以下是此类常量术语的示例：“

很高兴”、“

是秃头并且

很高兴”, “4<

<6”等。例如，如果我们应用函数“

是秃头并且

对于特定个体 b 来说是幸福的，结果是命题“b 是秃头的，b 是幸福的”。

∃ 和 ( ) 分别是量词“存在”和“对于所有人”（“每个”）。例如，其中 phix 是一个简单或复杂的开放公式，

(∃x)phix 断言“存在一个 x 使得 phix”

(∃phi)phix 断言“存在一个命题函数 phi 使得 phix”

(x)phix 断言“每个 x 都使得 phix”

(ψ)ψx 断言“每个命题函数 ψ 都使得 ψx”

[这些是皮亚诺使用的。最近，添加了 ∀ 以与 ∃ 对称。一些学者将量词 (ψ) 和 (∃ψ) 视为替代。]

ψx⊃xψx

ψx≡xψx 这是用于缩写通用量化变量的符号。在现代符号中，它们分别变为 ∀x(Φx⊃ψx) 和 ∀x(Φx≡ψx)。请参阅下面第 3.2 节末尾的该符号的定义。

！发音为“尖叫”；表示函数是谓词函数，如 phi!x 或 phi!

。参见第 7 节。

= 身份象征；表达同一性，这是 PM 中定义的概念，而不是当代逻辑中的原始概念。

ι 读作“the”；是倒数 iota 或描述运算符，用于明确描述的表达式中，例如 (ιx)phix（读作：x 使得 phix）。

[(ιx)phix] 括号内的明确描述；这是明确描述的范围指标。

呃！被定义在 ∗14·02，在上下文 E!(ιx)phix 中，意味着描述 (ιx)phix 是正确的，即，只有一个东西是 phi。

∃！被定义在*24·03，在上下文∃!α中，意味着类α是非空的，即有一个成员。

Elkind 和 Zach (2023) 追溯了皮亚诺象征主义中原始符号选择的演变。

3. PM中点的使用

阅读 PM 的一个直接障碍是不熟悉地使用点作为标点符号，而不是更常见的圆括号和方括号。该系统非常精确，只需一点练习即可学会。使用点作为标点符号并不是 PM 所独有的。它起源于皮亚诺，后来被用于 Alonzo Church, W.V.O. 的作品中。奎因等人，但现在它已经基本上消失了。 1942 年，艾伦·图灵从计算的角度对点的使用进行了研究，大概是在布莱奇利公园破解恩尼格玛机密码一天后的业余时间。图灵认为使用并置来表示合取类似于使用并置算术来表示乘法：

在大多数系统中，有些操作只是通过并置来描述，而不需要任何特殊的运算符。在丘奇的系统中，这是函数对其参数的应用；在罗素的思想中，它是合取；在代数中，它是乘法”。（图灵 1942 年，151）

在他的早期著作中，例如 1903 年出版的《数学原理》，罗素遵循皮亚诺的做法，通过简单并置公式来表示合取。因此p和q的合取写为pq。罗素从 1905 年开始使用标点符号点表示连词。逻辑中使用点表示标点符号现在仅具有历史意义，尽管一些教科书使用凸起的点 p⋅q 表示连词。下面我们将解释 PM 中标点符号和连词的双重使用。

学习使用它的最好方法是查看一些使用括号转换为公式的示例，从而了解它的感觉。以下是 PM 第 9-10 页中的解释，后面是一些说明其每个条款的示例：

点的使用。符号线上的点有两种用途，一是将命题括起来，二是表示两个命题的逻辑积。紧接在“∨”或“⊃”或“≡”或“⊢”之前或之后的点，或“(x)”、“(x,y)”、“(x,y,z)”...或“ (∃x)”、“(∃x,y)”、“(∃x,y,z)”...或“[(ιx)(phix)]”或“[R'y]”或类似表达式，用于将一个命题括起来；否则出现的点用于标记逻辑产品。总的原则是，点数越大表示括号外，数字越小表示括号内。关于由点表示的括号范围的确切规则是通过将点的出现分为三组（我们将其命名为 I、II 和 III）来得出的。第 I 组由与蕴涵符号 (⊃) 或等价符号 (i) 或析取符号 (∨) 或定义相等符号 (=Df) 相邻的点组成。第二组由表示明显变量的括号后面的点组成，例如 (x) 或 (x,y) 或 (∃x) 或 (∃x,y) 或 [(ιx)(phix)] 或类似表达式。第三组由位于命题之间的点组成，以指示逻辑结果。第一组的力量大于第二组，第二组的力量大于第三组。由任何点集合指示的括号范围向后或向前延伸超出任何较小数量的点，或来自一组较小力的任何相同数量，直到我们到达所断言命题的末尾或更多数量的点或属于同等或更强大力量的同等数量的人。表示逻辑乘积的点具有可向后和向前工作的范围；其他点只能远离析取、蕴涵或等价的相邻符号，或者从第二组中列举的其他类型之一的相邻符号向前。一些例子将用来说明点的使用。（下午 9 点至 10 点）

有关点符号的这段文字的更深入讨论，请参阅以下补充：

使用点作为标点符号和连词。

3.1 一些基本例子

考虑以下一系列扩展示例，其中我们检查 PM 中的命题，然后讨论如何将它们逐步转换为现代符号。（下面的符号有时被用作它们自己的名称，从而避免了一些原本需要的引号。拉塞尔经常被指责混淆使用和提及，因此这种做法很可能存在一些危险。）

实施例1

⊢:p∨p.⊃.pPp

这是“star”1的第二个断言。它实际上是一个公理或“原命题”，如“Pp”所示。使用“⊢”表明这是一个断言（公理或定理）而不是定义。（相比之下，定义将省略断言符号，但以“Df”符号结束。）现在，将 ∗1·2 翻译成现代符号的过程的第一步是记下冒号。回想一下上面引用的段落，“较多的点表示外括号，较少的数字表示内括号”。因此，这里的冒号（由比*1·2 中的行上出现的单个点更多的点组成）表示外括号。括号“[”和“]”代表*1·2中的冒号。因此，冒号的范围延伸超过任何较小数量的点（即一个点）到公式的末尾。由于公式是从左到右阅读的，因此“过去”一词的意思是“在……的右侧”。

因此，第一步是将 ∗1·2 翻译为：

⊢[p∨p.⊃.p]

接下来，“⊃”周围的点用现代符号表示为先行词和后文周围的括号。回想一下，在上面的段落中，我们发现“……点只能远离相邻的析取、蕴涵或等价符号……”。因此，翻译过程的下一步是转向公式：

⊢[(p∨p)⊃(p)]

最后，标准的现代约定允许我们删除外括号和单个字母周围的圆括号，从而产生：

⊢(p∨p)⊃p

我们的下一个例子涉及合取：

实施例2

p.q.=.∼(∼p∨∼q)Df

通过仔细检查 PM 第 9 至 11 页有关点使用的段落的细节，可以理解双重使用点来“指示”连词和标点符号。首先尝试将这些点读作标点符号，然后，如果这不起作用，这些点必须表示连词。

*3·01 定义了使用点来表示连词。（第一个点，当读作标点符号时，会延伸到相同数量的点，即 = 符号之前的点，产生不连贯的表达式：“( p(q)=df(∼(∼p∨∼q)) ”因此，它必须表示一个连词。）根据定义 =df 周围的点位于第 I 组中，因此替换它们的括号延伸到表达式的末尾：

(p.q)=df(∼(∼p∨∼q))

然后，我们删除左右两边的外括号，因为这对解释公式来说是不必要的，所以我们有：

p.q=df∼(∼p∨∼q)

用现代记法

p&q=df∼(∼p∨∼q)

请注意，即使在 PM 系统中，*3·01 中的否定号“∼”的范围也不是用点表示的，而是使用括号。

实施例3

∼{(x).Φx}.=.(∃x).∼ΦxDf

我们应用规则“点只能远离析取、蕴含或等价的相邻符号，或者从第二组中列举的其他类型之一的相邻符号向前”（其中第二组包括“（∃x）”）。在这种情况下，第一个点延伸到标点符号}，可以选择替换点。在现代等价形式中，量词之后（或否定之后）不会出现这样的标点符号：

∼(x)ψx=df(∃x)∼ψx

或者

∼∀xψx=df∃x∼ψx

根据相对“力量”或范围对连接词进行排序是当代逻辑中的标准惯例。如果没有明确的括号来指示连接词的范围，则在排名中具有优先权的连接词被假定为主要连接词，对于子公式依此类推。因此，制定以下德摩根定律是很麻烦的：

[(∼p)∨(∼q)]≡[∼(p&q)]

我们现在将其写为：

∼p∨∼q≡∼(p&q)

这个更简单的公式遵循这样的约定： ≡ 的范围比 ∨ 和 & 更宽，而后者的范围比 ∼ 更宽。事实上，考虑到 ≡ 的范围比 ⊃ 更广的进一步约定，在 ≡ 周围通常不需要括号。因此，公式 p⊃q≡∼p∨q 变得明确。我们可以通过将连接词分组列出来表示这些约定，其中范围最广的连接词位于顶部：

⊃

&,∨

～

然而，对于怀特海和罗素来说，第一组中的符号 ⊃、≡、∨ 和 …=…Df 具有相同的作用。第二组由变量绑定表达式、量词和用于明确描述的范围指示符组成，第三组由连词组成。否定低于所有这些。所以PM中的排名是：

⊃,≡,∨ 且 …=…Df

(x),(x,y)…(∃x),(∃x,y)…[(ιx)ψx]

～

这就是怀特海和罗素所说的“第一组比第二组力量更大，第二组比第三组力量更大”时的意思。考虑以下几点：

实施例4

⊢:∼p.∨.∼q.∨.p.q

该定理说明了如何读取一个公式中相同数量的点的多次使用。遵循从左到右阅读的惯例和定义，对点和一系列析取项进行“向左关联”分组：

p∨q∨r.=.(p∨q)∨rDf

在*3·12 中，∨ 周围的前两个点只是“远离”连接词。第二个“延伸”直到与下一个相同数字（第三个单点）相遇。第三个点和第四个点“远离”第二个 ∨，最后一个点表示用最小力量进行连接。为了最大程度地明确，使用所有可能的标点符号表示的结果是：

{[(∼p)∨(∼q)]∨(p&q)}

如果我们采用所有标准约定来删除括号，则结果将变为：

(∼p∨∼q)∨(p&q)

这说明了上面引文中的段落，其中说“由任何点集合指示的括号范围向后或向前延伸超出任何较小数量的点，或来自一组较小力的任何相同数量，直到我们到达终点所主张的命题的数量或更多数量的点或属于一组相同或更强力量的相同数量。”

在我们查看更广泛的示例之前，涉及量化变量的详细示例将被证明是有启发性的。怀特海德和罗素遵循皮亚诺的做法，用条件符号下标的绑定变量来表达普遍量化的条件句（例如“所有 ψ 都是 ψ ”）。与普遍量化的双条件类似（“所有且仅 ψs 都是 ψs”）。即，表达式“ψx⊃xψx”和“ψx≡xψx”定义如下：

ψx⊃xψx.=.(x).ψx⊃ψxDf

ψx=xψx.=.(x).ψx=ψxDf

并分别对应于以下更现代的公式：

∀x(Φx⊃ψx)

∀x(\phix^ψx)

作为练习，读者可能倾向于制定严格的算法，将 PM 转换为特定的当代象征主义（具有删除括号的约定），但学习该系统的最佳方法是查看更多翻译示例，然后只需开始直接阅读公式即可。

3.2 更多例子

在下面的示例中，每个公式编号之后首先是原理符号，然后是其现代翻译。请注意，*1·5 中的括号除了点之外还用于标点符号。（原命题*1·2、*1·3、*1·4、*1·5 和*1·6 一起构成了 PM 中命题逻辑的公理。）命题*1·5 被证明是冗余的： Paul Bernays 于 1926 年。它可以从其他人的适当例子和肯定前件规则中推导出来。

∗1·3 ⊢:q.⊃.p∨qPp

q⊃p∨q

∗1·4 ⊢:p∨q.⊃.q∨pPp

p∨q⊃q∨p

∗1·5 ⊢:p∨(q∨r).⊃.q∨(p∨r)Pp

p∨(q∨r)⊃q∨(p∨r)

∗1·6 ⊢:.q⊃r.⊃:p∨q.⊃.p∨rPp

(q⊃r)⊃(p∨q⊃p∨r)

∗2·03 ⊢:p⊃∼q.⊃.q⊃∼p

(p⊃∼q)⊃(q⊃∼p)

∗3·3 ⊢:.p.q.⊃.r:⊃:p.⊃.q⊃r

[(p&q)⊃r]⊃[p⊃(q⊃r)]