康德的数学哲学（二）

在《先验分析》中，康德推导出了12个范畴的表，或者说是纯粹的知性概念，其中前6个被他描述为“数学的”（与“动力的”相对）范畴，因为它们与直觉对象有关（B110）。数的概念被视为“属于”“全体”或“总体”的范畴，它本身被认为是统一和多元概念结合的结果(Parsons 1984；关于康德数论的其他主题，见上文2.2)。但是，康德又进一步指出，在无限的表象中所出现的困难——在无限的表象中，人们声称表象的是统一性和多元性，而结果却没有数字的表象——表明，数字的概念必须借助于“一种特殊的知性行为”作为中介。(这种特殊的行为大概就是康德所描述的想象和知性的综合，而这是整个判断理论——包括先验演绎和模式论——所要解释的。Longuenesse 1998)。)因此，尽管他也声称算术“通过时间单位的连续加法形成其数字概念”（4:283），但推断算术之于时间就像几何之于空间一样，是误导人的，因为时间的形式直觉不足以解释一般和抽象的数科学事实上，康德宣称力学是一门数学科学，它之于时间就像几何之于空间（Sutherland 2014）。

在《图式论》中，康德致力于确定一种特殊的机制，这种机制使知性的纯粹概念能够将它们异质的感性直觉纳入其中。范畴必须被“模式化”因为它们在纯粹知性中的非经验起源使它们无法拥有那种能将它们与经验对象直接联系起来的感性意旨；先验图式是一种中介表征，旨在以一种规则支配的方式建立纯粹概念和表象之间的联系。数学概念之所以在这种背景下被讨论，是因为它们既是纯粹的，又是感性的概念：它们是纯粹的，因为它们在起源上是严格先验的，但它们是感性的，因为它们是在具体中构造的。（康德将数定义为数量范畴的纯粹图式，进一步使这个问题复杂化（Longuenesse 1998）。）这就产生了一个解释性的问题，即数学概念的概念性内容是否需要一个可区分的“第三事物”来模式化，如果是这样，它等于什么(Leavitt 1991；年轻的1984)。更广泛地说，问题出现在先验想象，负责图式的能力，如何在数学环境中运作（Domski 2010）。

最后，在原则分析中，康德得出了“先验从纯粹的理解概念中流”的综合判断，并将其他所有的先验认知结合起来，包括数学(A136 / B175)。 与数量类别有关的纯粹理解原则(即 、统一、多、共)是直觉的公理。 虽然数学原理是“只从直觉中提取的”，所以不构成纯粹理解原则体系的任何一部分， 对于这种数学原理的可能性的解释(上面概述)必须补充到最高可能的超越原则(A148-9 / B188-9)(Shabel 2017)。 因此，直觉的公理提供了一个元原理，或者是数量数学原理的原理，即“所有的直觉都是粗体的”(A161 / B202)。 大多数评论家在这里解释康德，是为了说明为什么数学原理，与纯粹的空间和时间有关，适用于表象: 表象只能表示“通过与一般空间和时间确定相同的综合”(A161 / B202)。 因此，所有的直觉，无论是纯粹的还是经验的，都是受数学原理支配的“广泛的震级”。 (有关公理的另一种观点，请参见萨瑟兰2005b)。 同样值得注意的是，《判断力量批判》与《数学崇高》(Fugate 2014;Breitenbach 2015)中的关键段落。 特别注意[5:248ff]。 3 康德数学哲学的评注3.1康德的数学概念的历史，受到同时代人的争论，影响和激发了弗雷格、罗素和胡塞尔，为布鲁斯的直觉主义提供了启示。 他的数学概念被重新恢复了活力，因为他在1938年的专著《算术》和《康比托克》(Martin 1985)中值得密切研究。 尽管当代评论家们对如何最好地理解康德的思想， 他们普遍一致反对一个长期标准的故事(也许最初是由伯特兰·罗素在他的数学原理和原理上提出的 [参考译文]鲁道夫·卡纳普在他的物理学哲学基础上的理论(根据这种理论，19世纪和20世纪现代逻辑的发展 非欧几里得几何学的发现和数学的正规化使得康德基于直觉的数学理论和相关的哲学预言过时或无关。 当代评论家试图从康德自身的历史语境的角度重构康德的数学哲学，并识别康德具有永恒哲学兴趣的数学哲学元素(Parsons 2014)。 对康德数学哲学的分析传统(本文的重点)的英语语言研究一直受到影响 d最强烈的是Jaakko Hintikka和Charles Parsons之间关于康德对直觉在数学中的作用的看法的持久辩论 导致所谓的“逻辑”和“现象学”解释;迈克尔·弗里德曼(Michael Friedman)的开创性著作《康德与确切科学》(Kant and the Exact Sciences,Friedman 1992)， 以及他现在的经典著作《康德的几何学理论》和《康德及其继任者的几何学、建构与直觉》(弗里德曼1985年，2000年); 在卡尔·波西的书中收集的论文中，康德的数学哲学:现代散文(包括欣蒂卡、帕森斯和弗里德曼的贡献，以及斯蒂芬·巴克、戈登·布里坦、威廉·哈珀， 菲利普·基彻、阿瑟·梅尔尼克、卡尔·波西、曼利·汤普森和j·迈克尔·杨，这些都是在25年前出版的(Posy 1992)。

3.2解释性辩论

关于如何理解康德关于直觉在数学推理中的作用的观点的解释性争论，对康德数学哲学的学术形态产生了最强烈的影响；这场辩论直接关系到数学公理、定理和推论的综合问题（如上所述）。在他关于心理表征的一般性讨论中，康德暗示直接性和单一性都是非概念性的、直观的表征的标准，而这种表征是综合判断的基础。在一系列论文中，Charles Parsons （Parsons 1964,1969,1984）认为，数学判断的综合性依赖于数学直觉从根本上是直接的，他以一种感性的方式解释了这种表征的直接性，作为一种直接的、现象学的存在。Jaakko Hintikka （Hintikka 1965, 1967, 1969）从E.W. Beth的早期工作中发展出一个观点，反驳说数学判断的综合性只取决于其直觉成分的奇异性。Hintikka将数学直觉同化为单一术语或细节，并通过类比存在实例化逻辑规则的应用来解释直觉在数学环境中的使用。这两种立场分别被称为“现象学”和“逻辑”解释。

迈克尔·弗里德曼（Michael Friedman）关于直觉在数学推理中的作用的最初立场（Friedman 1985, 1992）来自Beth和Hintikka的观点，尽管它与他们的观点有本质上的不同，并且在他最近的著作中进行了修改。在他的《康德与精确科学》（Friedman 1992）中，弗里德曼认为我们的现代逻辑概念应该被用作解释（而不是批评）康德的工具，他指出，现代量化理论的多向逻辑可以产生无限数学对象的明确表示，康德时代的数学家和逻辑学家在概念上是不可用的。由于一元逻辑不足以表示无限的对象，十八世纪的数学家依靠直觉来提供数学推理所必需的表示。弗里德曼在这一历史洞见的基础上详细阐述了康德的数学哲学。

弗里德曼修改了他最初的立场，以回应艾米丽·卡森（Carson 1997）的批评。卡森对康德的几何理论提出了一种解释，这种解释是帕森式的，因为它反形式主义地强调认识论和现象学，而不是直觉在数学中的逻辑作用。在最近的工作中（Friedman 2000, 2010）， Friedman认为，基于几何的直觉从根本上是运动学的，最好的解释是平移和旋转，它们描述了欧几里得几何学家的建设性行为和普通的、空间取向的观察者的感知观点。这种解释提供了逻辑学和现象学解释之间的综合，在很大程度上，通过将想象通过欧几里得结构探索的几何空间与透视空间联系起来，根据康德的说法，透视空间是所有外部感性的形式。更具体地说，弗里德曼调和了逻辑解释与现象学的关系，“将空间中几何结构（如Skolem函数）的纯粹逻辑理解作为我们外部感性直觉的纯粹形式（如《先验美学》中所描述的）”（Friedman 2012, n.17）。此外，弗里德曼反对对康德直觉的图解解释（Friedman 2012），并从b演绎中整理证据，以支持他对几何结构、感知空间和物理空间之间联系的理解（Friedman 2020），以及几何与经验之间的关系（Friedman 2015）。

3.3. 该领域的当前状态

新一代的学者对康德数学哲学的解释和遗产进行了生动、丰富和持续的讨论，康德数学哲学起源于上面3.1和3.2中提到的文献。然而，最近的工作不容易归类为落在一个或另一个解释辩论的任何一方；大多数学者正在使用该领域的基础讨论作为跳板，从中探索数学在批判哲学中发挥作用的各种方式。2020年，卡尔·波西（Carl Posy）和奥夫拉·雷切特（Ofra Rechter）出版了继波西1992年出版的《康德的数学哲学，第一卷：批判哲学及其根源》之后的两卷本的第一卷。这第一卷包括十二篇论文的主题，从康德的数学哲学的前批判起源到他对数学方法，逻辑，几何和算术的批判思想。即将出版的第二卷中的论文将集中在康德数学哲学的接受和影响上。同样值得注意的是，由Emily Carson和Lisa Shabel编辑的《康德：批判哲学中的数学研究》（Carson and Shabel 2014）这一系列文章首次发表在《加拿大哲学杂志》的特刊上。这里收集的九个贡献旨在探索数学在康德整体哲学体系中的中心地位。丹尼尔·萨瑟兰（Daniel Sutherland）最近写了一本关于康德数学哲学的书，《康德的数学世界：数学、认知和经验》（Sutherland 2021）。在这本书中，他把重点放在康德的数量级理论上，认为这是康德解释我们对世界的认知和经验的关键。第二卷即将出版。