模糊逻辑（一）
1.基于T-NURMS的模糊连接
2. MTL：一个基本的模糊逻辑
3.Łukasiewicz逻辑
4.Gödel-Dummett逻辑
5.其他值得注意的模糊逻辑
6.谓词逻辑
7.代数语义
8.证明理论
9.语义证明真理功能
10.模糊逻辑和模糊性
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相关条目
1.基于T-NURMS的模糊连接
模糊逻辑的标准真实值集是真实单元间隔[0,1]，其自然排序≤，从总虚假（由0表示）到通过中间学位的连续内容（参见第1部分）对于真理常数和替代的真实价值组的替代解释，而且是第5和第7套。 （主流）数学模糊逻辑的基本假设是，连接要在功能方面被解释为真实性。 在标准设置中假设此类真理功能在标准设置中，在极值值0和1.通过施加x∧y= min {x，y}，x∨y= max {x，y}，通过对极值值0和1.结合，分离和否定的非常自然的行为。，每个x，¬x= 1-x，y∈[0,1]。
这三个真实函数产生了约瑟夫Goguen（1975）提出的模糊逻辑的原始语义，后来通过，例如，Gehrke，Walker和Walker（1997）正式研究。 许多研究人员仍然将其称为“模糊逻辑”。 然而，很明显，这一语义框架太差（1）编码/型号的众多有趣的推理方面和（2），以支持全面的数学逻辑理论。
另一个，非幂等，结合且通常添加，以解释应用部分真假设的直觉可能导致不同程度的真理，而不是仅使用一次。 这种结合通常是通过[0,1]的二进制操作来解释，这不一定是IDEMPotent，但仍然关联，交换，在两个参数中的非减少，并且具有1作为中性元素。 这些操作称为T-Norms（三角标准），并且已经彻底研究了它们的数学属性（参见Klement，Mesiar和PAP 2000）。 T-Norms的突出示例是已经提到的函数分钟，Real Number的标准产品⋅，以及ŁukAsiewiczT-Norm：x *ły= max {x + y-1,0}。 这三个T-Norms实际上是连续的功能，并且任何其他连续的T-norm可以被描述为这三个基本基本的顺序（Ling 1965; Mostert＆Shields 1957）。
有趣的是，每个左连续T-Norm决定了含义的合适选择。 实际上，已知T-Norm *是左连续的IF，且仅在唯一的二进制操作⇒*上符合所谓的剩余条件：x *y≤z，如果x≤y⇒* z。函数⇒*是已知的作为*的残留，可以显示x⇒* y = max {z |x *z≤y}。 三个突出的T-nums的Residua是：x⇒miny= 1如果x≤y和act act act; x⇒⋅y= 1如果x≤y和yx否则; 和x⇒ły=分钟{1,1-x + y}。
在一般的T-norm设置中，使用Residuum解释否定。 即，对于给定的左连续T-Norm *我们设置¬* x =x⇒* 0。 对于Łukasiewiczt-norm，我们获得了否定¬łx= 1-x（称为Łukasiewicz否定或标准涉及的否定），而我们获得相同的否定产品T-Norms（称为Gödel否定）：¬g0= 1和0否则。
2. MTL：一个基本的模糊逻辑
通过上述类型的真实函数解释的最弱逻辑是MTL（基于乘法T-Norm的逻辑，Esteva和Godo 2001）。 它是一个具有原始二进制连接的逻辑，→，∧和真实常数¯0，可派生的连接定义为：φν=（（φ→ψ）→ψ）∧（（ψ→φ）→φ），¬φ=φ→¯0，φν=（φ→ψ）∧（ψ→φ），¯1=¬¯0.mtl被定义为通过所有左连续T-给出的语义的后果关系定义规范。 即，给定特定的左连续t-norm *和命题变量到[0,1]的映射，我们通过解释和作为*，含义→作为其残留物和∧和¯0分别为min和0。
公式φ是MTL中的一组公式γ的结果，表示为γ⊨mtlφ，如果为每个左连续的t-norm *和每个* - 评估e，例如每个ξγ的e（ψ）= 1我们有e（φ）= 1; 用文字，如果房屋完全是真的，那就结论了。 始终评估为1（即∅⊨mtlφ）的公式φ称为有效或MTL的Tautology。 注意，式φ＆ψ→φ∧ψ是MTL中的重曲线，但逆向φ∧ψ→φ＆ψ不是，即结合和强于∧。
MTL也可以由Hilbert-Squide Prodics系统呈现，具有以下公理：
（φ→ψ）→（（ψ→χ）→（φ→χ））φ＆ψ→φφ＆ψ→ψ＆φφ∧ψ→φφ∧ψ→ψ∧φ（χ→φ）→（（χ→ψ）→（χ→φ∧ψ））（φ＆ψ→χ）→（φ→（ψ→χ））（φ→（ψ→χ））→（φ＆ψ→χ）（（φ→ψ）→χ）→（（（ψ→φ）→χ）→χ）¯0→φ
和Modus Ponens作为唯一推理规则：来自φ和φ→ψ，推断ψ。 每当在该系统中的γ有φ的证据时，我们写入γ⊢mtlφ，即存在有限的公式序列，其以φ结尾，其构件是由推理规则的原理的γ的元素，或者从之前的γ的情况下（Modus Ponens）。 这种希尔伯特风格的系统是逻辑MTL的强烈完整（合理的）公理化，即，对于每组房屋γ，我们具有：γ⊨mtlφ。 已知MTL的有效性问题是可判定的，但尚未确定其计算复杂性。
3.Łukasiewicz逻辑
Łukasiewicz逻辑可以通过添加公理（称为WAJSBERG AXIM）（（φ→ψ）→ψ）→（（ψ→φ）→φ）到HILBERT式校正系统对于MTL。 它对应于基于ŁukasiewiczT-Norm的评估所定义的后果关系的合成关系（在符号：对于每个有限组公式γ和每个公式φ，我们具有γ⊨łφ）。[2]
这个逻辑是由JanŁukasiewicz和Alfred Tarski（1930）介绍的许多值逻辑的早期例子，借助于使用等效的公理系统（用Modus Ponens作为唯一推理规则）：
φ→（ψ→φ）（φ→ψ）→（（ψ→χ）→（φ→χ））（（φ→ψ）→ψ）→（（ψ→φ）→φ）（¬ψ→¬φ）→（φ→ψ）（（φ→ψ）→（ψ→φ））→（ψ→φ）。
ŁukAsiewICZ逻辑是唯一基于T-Norm的模糊逻辑，所有连接都是通过连续函数解释的，包括函数x⇒ły= min {1,1-x + y}给出的含义。 McNaughton的定理（1951）指出，ŁukAsiewicz逻辑的解释公式的实际函数恰好是具有整数系数的连续分段线性函数。 在计算复杂性方面，这种逻辑的有效性问题渐近地没有比古典逻辑更糟糕：它仍然是COMP-TEMPLED。
4.Gödel-Dummett逻辑
Gödel-dummett逻辑，也被称为Dummett的LC或简单地成为Gödel逻辑，是在[0,1]中具有真实值的许多值逻辑的另一个早期示例。 它是由Michael Dummett（1959）引入的，作为Axiom（φ→ψ）∨（ψ→φ）的直觉逻辑延伸。该公式在底层中强制执行线性顺序（Kripke - 以及代数）语义。 它还出现在KurtGödel观察的背景下，不可能通过有限的真理表（Gödel1932）来表征直觉逻辑。 在模糊逻辑环境中，通过添加Axiomφ→φ和φ，可以将Gödel-dummett逻辑作为MTL的公理延伸，这使得＆，因此需要幂等等。对两种连词的解释一致。 语义上，Gödel-Dummett逻辑也可以定义为最小T-Norm给出的后果关系。 它被区别为唯一的基于T-NORM的逻辑，其中给定的评估中的公式的有效性不依赖于分配给命题变量的特定值，而是仅在这些值的相对顺序上。 从这个意义上讲，Gödel-Dummett逻辑可以被视为比较真理的逻辑。 与Łukasiewicz逻辑一样，测试有效性的计算复杂性仍然是CONP完整的。
5.其他值得注意的模糊逻辑
除了MTL（所有左连续T-Norms的逻辑）和Łukasiewicz和Gödel-dummett逻辑（每个特定T-Norm引起的逻辑），可以考虑由T-Norms组引起的逻辑，或者通常MTL的任意公理延伸。 特别地，通过将Axiomφ＆（φ→ψ）→＆（ψ→φ）添加到MTL的那些，通过将所有连续T-NURMS（Hájek的基本模糊逻辑BL）的逻辑。 实际上，对于任何一组连续的T-norms，存在相应逻辑的有限公务化（Esteva，Godo，蒙得NNA2003;Haniková2014）; 在大多数情况下，公理化从有限的房屋捕获了语义后果。 特别地，称为产品逻辑的第三突出连续T-NAR（代数产品）的逻辑是通过AXIOM-φ1的延伸（（φ→φ＆ψ）→ψ）。另一只手，并非所有公理MTL的扩展可以给出基于T-Norm的语义。 例如，经典逻辑可以作为MTL +φίφ公开，但是排除中间的公理在任何T-Norm基础的解释下都不是Taptology。
还有考虑模糊逻辑较弱的原因。 例如，可以认为假设强迫对结合的解释并成为T-Norm太强。 特别地，假设1是其中立元素强制定义着色学的定义作为始终评估为1的公式，结果关系是值1的，即1是语义中唯一的指定值。[3] 引入具有多个指定真理度的逻辑的自然方式是假设用于解释＆的中性元素是数字t＜1。 可以表明，在这种情况下，指定的真实性是大于或等于t的。 这种连词的解释称为不共同。 左连续不一致的逻辑在Metcalfe＆Montagna（2007）中是公正的。
类似地，人们可以反对换向甚至反对＆。 由此产生的逻辑的公理化在文献中描述（参见Cintula，Horčík，＆Noguera 2013; Jenei＆Montagna 2003）; 例外是非换向失效的逻辑，没有自然的公理系统是已知的。
最后，考虑到模糊逻辑，与经典逻辑不同，通常不能在功能完整，可以通过添加新的连接来增加他们的表现力。 最常见的连接是：真理常数ˉr为每个理性数字r∈（0,1）; 一元连接〜和△解释为~x = 1-x，如果x = 1和0则为x = 1 二进制连接⊙解释为通常的代数产品等（BAAZ 1996; Esteva，Gispert，Godo，＆Noguera 2007; Esteva，Godo，＆Montagna 2001; Esteva，Godo，Hájek，＆navara 2000）。
彻底概述本节中提到的所有所谓的模糊逻辑（以及其一般理论）可以在数学模糊逻辑的手册中找到（3卷，Cintula等人。2011年，B，2015）。
6.谓词逻辑
可以以下列方式将命题逻辑MTL以谓词语言PL（定义为在经典案例中）的一阶对应物mtl∀。 语义由结构给出，其中谓词符号被解释为域元素将域元素映射到真实值。 更确切地说，给定左连续T-NORM *，*结构M由元素M的非空域，每个n-ary函数符号f∈pl的函数fm：mn→m，每个函数pm：mn→[0,1] n-ary谓词符号p∈pl。 修复M中的对象变量的估值v，一个定义术语值（‖f（t1，...，tn）‖mv= fm（‖t1‖mv，...，‖tn‖mv））和原子公式的真实值（‖p（t1，...，tn）‖mv= pm（‖t1‖mv，...，‖tn‖mv））。 普遍/存在量化公式的真实值被计算为量化变量在域M的所有元素上运行的公式的实例的最小值/超级值。‖∀xφ‖mv= INF {‖φ‖mv[X：a] | ||a∈m}‖∃xφ‖mv= sup {‖φ‖mv[x：a] ||a∈m}，其中v [x：a]是向A和保持其他变量的估值不变的估值。 通过将其作为预测语义和AS *，含义→作为其残留→作为MIN和0分别来解释其他公式的值来计算。
然后将一阶逻辑MTL‖定义为在* - 结构中保存总实质（值1）给出的后果关系（允许*以所有左连续T-Norms运行）。 更确切地说，我们说，一组公式φ是一组公式γ（符号：γ⊨mtl∀φ）的结果，如果为每个左连续的t-norm *和每个*结构m，则我们有‖φ‖mv= 1对于每个估值v，每当‖ψ‖mv= 1，每个估值v和每个ψ∈γ。
mtl∀可以给出一个强大的Hilbert风格的校样系统，具有以下公理：
（p）MTL的公理的一阶实例
（∀1）∀xφ（x）→φ（t），其中术语t在φ中的x代替
（∃1）φ（t）→∃xφ（x），其中术语t是x在φ中的x替代品
（∀2）∀x（χ→φ）→（χ→∀xφ），其中x在χ中没有自由
（∃2）∀x（φ→χ）→（∃xφ→χ），其中x在χ中没有自由
（∀3）∀x（χ∨φ）→χ∨∀xφ，其中x在χ中没有自由。
mtl∀的扣除规则是Modus ponens加上泛化规则：从φ推断出∀xφ。
有两种方法可以为其他命题基于T-Num的模糊逻辑引入一阶对应物。 一方面，可以通过在前面部分中看到的那些如此相同的命题公理的一阶实例来延伸mtl∀的公理化。 以这种方式，获得一阶变体的句法演示，例如，Łukasiewicz逻辑，Gödel-dummett逻辑，产品逻辑或Hájek的基本模糊逻辑BL。 另一方面，通过定义由相应的（集）T-Nums给出的后果关系，可以容易地修改mtl∀的语义定义。 然后，自然问题是在每种情况下，这两个路由是否导致相同的逻辑（如MTL所发生的）。 对于声音没有问题，因为可以容易地检查公理系统，相对于它们相应的结构进行声音。 至于完整性，没有一般答案，问题必须被视为案例。
对于Gödel-dummett逻辑，公理系统就是关于其语义的强烈完成。 然而，ŁukaSiewicz逻辑的语义的Tautologies的一组Tautologies不会递归滑动，如Bruno Scarpellini（1962）所示。 Emil Ragaz（1981）证明它实际上是Σ2 - 在算术等级的意义上完成。 在产品逻辑和Hájek的基本模糊逻辑BL的情况下，情况甚至更糟糕，其中连续T-NORMS给出的所有结构的一组一阶Tautologies与真实的算术一样复杂（Montagna 2001）。 完整性可以通过向希尔伯特风格的证明系统添加合适的无限性推理规则，如Louise Hay（1963）为Łukasiewicz逻辑所做的，或者通过概括一组真理值（参见下一节）。
可以以类似，句法和语义，方式研究弱模糊逻辑的一阶对应物; 查看Cintula，Horčík和Noguera 2014的调查演示。
7.代数语义
模糊逻辑研究中的主要工具之一是代数语义。 粗略地说，这个想法是用任意集中替换真实单元间隔，并将连接点解释为该集合上的相应arities的操作。
由Francesc Esteva和LluísGodo（2001）介绍的MTL-Algebra是一个元组A =⟨a，＆，→，∧，∨，¯0，¯1⟩
⟨a，∧，∨，¯0，¯1⟩是一个有界格
⟨a，＆，¯1⟩是一种换向的长单底
（x→y）∨（y→x）=¯1
X＆Y≤ziffx≤y→z（其中≤是由∧或∨引起的晶格顺序）。
