Josiah Royce（完结）
通过第五法律考虑O（ab），O（ab）添加第三项C，其兼容与a和b相兼容（即，e（ac）和e（bc））并与a和b形式o（abc）一起携带。 第三个元素，后面的工作。 Kempe（1890），是“在”A和B之间。 royce（如kempe）通过要求新的三个术语与两个术语兼容但是没有将它们兼容，而不是将其兼容。 实际上，第五条法律说，每当两个行动不兼容时，就有一个动作“在”两者之间可以，可以在正确的转换，命令正面行动。 使用Royce的说明，图1表示O（ABC），其中C与A和B以及所有三个字段重叠的区域兼容，没有元素。 图2表示区域¬C重叠的F（¬C| AB），因此与区域A和B兼容。

图1. O（ABC）

图2. F（¬c| ab）
正如罗伊斯解释的那样，“F F-Mircation，只要存在'EVELESS'或'否定'，立即遵循，相当于O-REMINATION。 因为在图中，如果s是包括α，b和c的总表面，则当'c在a和b之间，''a，b和inc（¬c为c）构成一个o o-collection，'或'在O-关系'“（Royce 1905,387）。
通过否定三个术语中的一个，选择一个术语，选择一个术语作为前一种术语和另一个术语作为“起源”来转变为F关系 这被写为f（¬a| bc），其中术语到垂直行程的左侧是前一种，并且两个剩余的术语是结果，并且在那方面的行动是如此有序的，因此“这一点”为“ 可以读取表达：如果不接受A，则B遵循关于C.“这是该起源，[C]，”罗伊斯观察“，它向AB”中的对[a⊃b相对于C]的对[AB]表示“”（1905,407）。
虽然O形关系是不确定的结果，但由于这些术语对对称相关的，因此F-relations标志着可能的行动方案的选择，因此建立了线性，不对称关系的举重行动。 Royce总结说：“无论何处何处，在坐标的起源都被采用，无论何处，在何处，”地面和后果“，在空间或趋势方向的方向上有问题，那是二元的不对称关系涉及的基本上与此处的关系基本相同，由[p⊃q相对于Y]]（1905,407）。
由初始O型集合产生的条件包括相对于C，¬b⊃a相对于B，¬c⊃a相对于B等，等等。 由于O形关系是对称的，因此有许多替代的“课程”的行动，因为有可能否定和选择的前辈和起源。 由于条件是可能性，因此它们也可以代表“◊（¬c⊃b），其中a表示共享命题参数。[14] “现在是”罗伊斯的结论“，指出，σ的元素具有逻辑类别的系统，或逻辑普通代数适用的实体”（1905,427）。 由此产生的条件在一个系统中运行，就像一个相关的世界逻辑是条件的真相，它通过命令和随后的命令参数取决于其真实性分配。 但是，罗伊斯谴责依赖主要对条件关系感兴趣的逻辑。 这种兴趣是我们的“智力习惯”但“在几个方面，”在o关系方面劣地表达。 ......事实上，我们试图仅仅就前所未切的关系来描述了系统σ的关系，我们不仅限于任意选择的原产地，而且错过了透明关系的途径，或者三元字符“（381-2）。
3.3代理商的模态逻辑
作为理想主义者的哲学家，罗伊斯进入了对威胁的运营和判决形式化的逻辑（他的时间的其他理想主义者）的研究。 判断中的中心操作是选择一个替代方案和拒绝他人的拒绝。 在19世纪90年代和20世纪初出现的中央逻辑行动的辩论中，现实主义哲学家争论判决中出现的基本关系的创始逻辑。 相反，他们认为赞成使用包容性的差额作为起点。 在此替代方案提供的原因是，包容性分离为两种方式为蓬勃发展的经验科学逻辑提供了更好的模型。 首先，它开始使用已经存在的对象可以与其他已经存在的对象相关联。 其次，专用分离需要识别普通意义上不存在的对象（例如，否定对象）。 当辩论以第一次世界大战的开始结束时，现实主义逻辑管理员们举行了该领域和罗伊斯的替代方案（以及其他理想主义者逻辑学的工作）。
罗伊斯在模型逻辑正式化之前发生了系统σ的发展。 虽然罗伊斯在逻辑讨论中使用了必要性和可能性的语言，但他的系统没有正式的位置。 事实上，他的学生C. I. Lewis，看到需要考虑莫代尔经营者在理解逻辑条件方面，提出了1918年的第一个模态系统，罗伊斯死亡两年后。 刘易斯引入严格的条件作为校正罗素和白头材料条件系统的手段，要求推出模态运营商，实际上是连接前所未有的参数和条件的结果（Pratt 2007）。
Royce的项目被诬陷为一个在1906篇论文中观察到的行动。 “[T]他的基本逻辑关系，”他写道，“不仅是我们的思想世界，也是我们的行动世界的特征。 对于意志行为涉及接受和拒绝，肯定和否定，意识的后果，面对替代方案，在一个行为中的各种行为的联盟; 因此，行动的逻辑正常是与抽象思想的逻辑相同的形式（1906,100）。 从这个角度来看，罗伊斯在1905年的未发表的讲座中观察到，“有一个基本关系可能被称为逻辑关系卓越。 它是“是”和“否”之间的关系，这两个相互独家替代方案的关系，共同排出所有可能性。 当一个人有一个选择制作时，这是一个面孔的关系。 它也是在任何逻辑类别和那个类的负面之间获得的关系“（1905a，6）。 然后，O-Rimation标志着必要性和可能性（即，它标志着“是”和“否”之间的必要关系，并且它耗尽了可能性）。 正如我之前观察到的那样，通过将其作为两个条件的结合，可以在现代模态逻辑中捕获O相位，使得O（ab）是◻（a≡¬b）。 虽然未创建为模态逻辑，但系统σ在其操作中是模态，因此模态术语可能可操作。
3.4罗伊斯的逻辑和正式数学
罗伊斯对1890年代和20世纪初的逻辑，数学和几何的发展理论深感感兴趣。 虽然他对逻辑和数学的终身兴趣，但直到1898年，当他参加了一系列由C. S. Peirce标题的推理和事物逻辑（1898 [1992]）进行了彻底的研究Cantor，Defekind，Klein，Cayley和Kempe的工作。 罗伊斯认为Peirce作为“纪元标记”的讲座，因为他在给詹姆斯（1970,422）的一封信中，部分是因为新的数学理论给了他一种解决他的形而上学的核心批评方法。
在Peirce讲座之前的几年里，Royce的形而上学观点批评了他的绝对概念使个人不真实，整个人（Royce在Royce 1897,98-9）所召开的那样 罗伊斯通过争论绝对是一个由真实个人组成的制度（2000,297,314-5），反驳了批评。 然而，罗伊斯无法提供一个令人信服的正式论点，以便有一个系统的可能性也可能是截然不同的，这一视图被F. H. Bradley的众所周知的论点（Royce 1959,477-485）拒绝。 Peirce的1898年讲座包括他当前连续性概念的案例（他提出了几个），其中统一的整体是离散个人宇宙（摩尔2007）的逻辑后果，即“我们现在已经达到了众多这一系列的个人们彼此融化并失去了独特的身份”（Peirce 1898 [1992,159]）。 在制定他的案例时，Peirce呼吁Bole，Cantor，Depekind和Kempe等资源。 到1900年，罗伊斯提供了自己的连续性版本，无限，自我代表系统的概念。 作为一个漫长的“补充论文”向世界各方和个人，第一个系列，并被诬陷为布拉德利的答案，罗伊斯旨在提供一个无限制度可以包含多种不同的单独的众多人物的证据。
到1901年，罗伊斯已经开始根据克莱因（1893）设计的Erlanger计划，以通过识别每个系统中的转换的不变性来分类不同几何形状的手段。 Klein表明，投影几何形状的不变性可以在一组假设中捕获，这些假设也可以持有欧几里德和其他非欧几里德几何形状，其中包括投影几何形状的不变性和额外的不变（贝尔，1940,442-448）。 罗伊斯认为，Kempe的系统和罗伊斯自己的系统σ是由抽象假设定义的，这对于任何包括投影几何的订单系统都是必要的。 在1901年的未发表的票据中，罗伊斯将他的讨论的来源明确地归因于埃尔兰格计划，并认为由Kempe识别的排序的不变性在投影几何中被说明，“只是”土地交易，“康德道德世界，”音乐绩效和自我。 对于罗伊斯，基于分析的几何形状等结果可以直接通知对其他订购流程（1901,96-110）的分析。
“将逻辑原则与几何形状的原则的关系”（1905）和“逻辑代数的延伸”（1913B）的延伸是纯数学的重要作品，但也打算说明不变的各种转型。 Burch（2011）留下了罗伊斯在数学逻辑的工作的问题与他的一般哲学项目有关，但据称罗伊斯通过开发布尔环的概念和一个布尔环的概念对数学逻辑作出了重大贡献代数与系统相同的系统，在俄罗斯逻辑学家，伊万伊万维奇Zhegalkin，被誉为“俄罗斯逻辑学院的”父亲“（231）。 布尔环操作和较大的系统σ是罗伊斯的对称差异操作的发展（作为O-Rimon的其他地方讨论），这也被视为罗伊斯的主要贡献之一，以后的评论者，伯顿和勒布朗（1952）。 虽然Burch表明系统σ的完全阐述的可能性，但除了罗伊斯本身之外，目前没有可用这种治疗。 Burch还讨论了Royce在莱克斯介绍了罗塞尔的悖论的纸质概要中的哲学逻辑的工作，如罗素1903年逻辑原则所展示的罗素悖论。 本文认为，据称，罗伊斯当时熟悉现代逻辑的发展，并提出了类似于Frege的反应的悖论的替代解决，同时还提供了非基础设定理论（1987）。 Royce在数学和逻辑工作中的其他重要评估包括Sheffer（1908），De Laguna（1906）和C. I. Lewis（1916年）的早期评论，以及最近通过Crouch（2011）的论文评估和Scanlan（2011）。
