混沌（一）

1.定义混乱：非周期性，确定主义，非线性和敏感依赖性

1.1预备

1.1.1动态系统和确定性

1.1.2非线性动力学

1.1.3状态空间和忠实的模型假设

1.2混乱的简史

1.3定义混乱

1.3.1混乱的定性定义

1.3.2混沌的定量定义

1.3.3 Lyapunov指数和混乱

1.3.4定义问题

1.4拿库存

2.混乱的“理论”是什么？

3.非线性模型，忠诚和确认

4.混沌，确定性和量子力学

5.关于现实主义和解释的问题

5.1现实主义和混乱

5.2混乱的性质解释

5.2.1解释，忠实的模型和混乱

5.2.2混乱和理解

5.3拿库存

6.混乱的一些更广泛的含义

6.1混乱和决定论

6.2混乱和出现

6.3混乱，法律和因果关系

6.4意识和自由意志

参考书目

学术工具

其他互联网资源

相关条目

1.定义混乱

在数学，天文学，气象学，人口生物学，经济学和社会心理学中，在学科中研究了混乱现象。 虽然这种多样化的学科不太可能具有常见的任何因果机制，但混乱的现象学行为，初始条件的最小变化的敏感性或看似随意和不可预测的行为，仍然遵循精确的规则 - 出现在许多方面这些学科的模型。 在这种不同领域的模型中观察类似的混乱行为呈现出挑战，以理解混乱作为一种现象以及可能算作这种现象的统一。

1.1预备

1.1.1动态系统和确定性

Chaos通常被理解为动态系统的性质。 动态系统是一个确定性的数学模型，用于随时间演变的系统的观察属性。 时间可以是离散或连续的。 一维动力系统称为地图（尽管文献有时偏离这种用法）。 作为一个离散地图的示例，想象一下你在棋盘的第一方形上放置一分钱，在第二个方形上的第三个方形上，三个方面，等等。 每个方格上的便于的输出或数量表示及时的逐步。 这是一个迭代过程，意思是，在时间t的当前值的当前值，便士的数量适用于它在下次t + 1时产生变量的值。 然后将规则应用于该值，在下次步骤T + 2处产生输出。 时间序列是每次步骤从地图的输出构建。 方形一（t），方形两（t + 1），方形三（t + 2）等的便士数将是通过迭代地图产生的离散时间序列的示例。

称为流量的两个维度或更高的动态系统。 流量也可以是离散的或连续的，并且它们的输出也形成了两种或更多种维度的时间序列。

这些模型可以作为数学对象进行研究或用于描述目标系统（例如，物理，生物或经济）。 一个简单的例子是描述摆锤运动的等式。 动态系统的等式描述了用于充分描述目标系统的变量的变化（例如，作为摆锤的时间函数的速度）。 对这种等式的初始状态的完整规范被称为模型的初始条件，而模型域的边界的表征被称为边界条件。 具有边界条件的动态系统的示例将是通过小炮座在墙壁上烧制的橡胶球的飞行的等式。 边界条件可能是壁吸收没有动能（运动能量），使得球被反射从壁上而没有能量损失。 初始条件将是球的位置和速度离开大炮的嘴。 然后，动态系统将在这些条件下描述球的飞行到墙壁。

如果它表现出独特的演化，则数学模型是确定性的：

（唯一的演化）模型的给定状态始终是状态转换的相同历史。 在特定时间鉴定一个状态，只有一个过渡历史与相关法律一致。

虽然对混乱的一些推广讨论声明它使得确定主义无效，但混乱行为总是确定性的。 对混乱和决定症的大部分困惑来自于等同于可预测性的确定性。 虽然如果状态空间（见下文§1.1.3）一个用于分析混沌行为的粗粒度，则可以生成明显的随机性，但这仅产生非事实形式的非前门。 底层方程仍然完全确定。 对于混乱系统中的确定性崩溃，必须有某种不确定的介绍，使得违反独特演变的性质（见下文§4和§6.1）。

动态系统表现出各种吸引子，值（或流动情况下的一组值）该轨迹会聚在状态空间上。 有四种吸引子：

固定点：动态系统重复相同的值。

定期循环：动态系统每60秒每60秒产生周期性地重复诸如时钟的小手的值。

准周期循环：动态系统产生呈现规则图案的值，但这并没有固定时段，例如潮汐进出。 这种吸引子还可以表现出具有两个或更多个不相应频率的行为（即，彼此不是合理倍数的频率）。

非周期性：动态系统产生似乎永远不会重复但复杂顺序的值。

非周期性吸引子的复杂顺序是混乱现象的谎言。

当动态系统的轨迹缩小到吸引子时，它据说是耗散的。 耗散动态系统具有它们的活动缩小到状态空间的较小区域或体积的性质（参见§1.1.3）。 相比之下，保守的动态系统，也称为Hamiltonian，保持状态空间区域或体积。 在耗散和保守的动态系统中展出了混沌行为。

1.1.2非线性动力学

在混沌研究中感兴趣的动态系统是非线性的，例如Lorenz（1963）模型方程，用于流体中的对流：

dxdt =-σx+σy; dydt = rx-y + xz; dzdt = xy-bz。

根据描述目标系统的等式的性质，动态系统的特征在于线性或非线性。 考虑一组变量x = x1，x2，...，xn的差分方程系统dx / dt = fx。 这些变量可能代表目标系统的位置，动量，化学浓度或其他关键特征，并且方程式系统描述了这些关键变量如何随时间变化。

设X1（t）和x2（t）是等式系统Dx / dt = fx的解决方案。 如果等式系统是线性的，则可以容易地示出X3（T）= AX1（T）+ BX2（T）是一种解决方案，其中A和B是任意常数。 这被称为线性叠加的原理。 如果线性叠加的原理保持，则系统线性行为：因子α的变量中的任何乘法变化意味着它由α输出的乘法或比例变化。

假设您在低音量时从立体声开始，然后转动音量控制一个单元。 体积由一个单元增加。 如果您现在转动两个单位，则音量增加了两个单位。 这是线性响应的示例。 在非线性系统中，例如Lorenz的，线性叠加失败，并且系统不需要按比例地更改为变量中的变化。 如果您将音量控制变得太远，则音量可能不仅可以增加超过转弯的单位数量，而且声音和各种其他扭曲发生在声音中。 这些是非线性响应的示例。

1.1.3状态空间和忠实的模型假设

物理系统的数学模型涉及状态空间，点的抽象数学空间。 每个点代表系统的可能状态。 当系统的状态通过位置和动量变量完全表征时，所得到的空间通常被称为阶段空间，尽管一些作者使用术语阶段空间进行任何状态空间。 动态系统是一种规则，了解模型在状态空间中的行为。 采用状态的特征来表征，该变量被认为是对所述状态的完整描述及其行为的完整描述至关重要。 状态空间的维度由表征系统状态所需的独立变量的数量确定。

除了表征状态的变量之外，动态系统还具有一个或多个参数确定数学模型中特定术语的贡献强度到模型的行为。 初始状态以及数学模型及其参数对混沌动力学很重要。

对于地图，输入的第一个数字 - 在状态空间中迭代初始状态 - 在状态空间中产生轨迹，这是一系列创建时间序列的状态转换。 类似地，对于一个流，在许多数字的情况下，状态空间的尺寸用作初始状态。 可以通过从初始状态追踪到某些所选最终状态的轨迹，在状态空间中在状态空间中研究模型。 等式描述了在状态空间中系统的状态转换历史的路径。 通常在状态空间中工作能够研究动态系统轨迹的有用的几何特性，而不知道方程的确切解决方案。

科学家们假设用于预测天气的模型之间的密切联系，例如正在跟踪天气系统。 但是，注意一些至关重要的，通常是未审查的假设。 例如，诸如天气的目标系统的状态的特征在于关键状态空间变量的值，并且物理状态通过这些值对应于状态空间的点。 暗示在状态空间中表示的目标系统的状态对应于实际世界的感兴趣系统，并且在状态空间中编码的可能性对应于实际世界系统的物理可能性。

这些假设允许在状态空间中开发用于行为的行为，并且这种模型被采用目标系统的目标系统来表示（可能是通过同构或一些更复杂的关系）。 数学家和科学家认为我们的数学模型是目标系统的忠实代表性，并且忠实地雇用的国家空间代表了目标系统的实际可能性。 这包假设是忠实的模型假设。 在其理想化的限制 - 完美的模型框架 - 它可以许可模型交谈和系统通话之间的（也许的邋）leviDe（即，模型中的任何形式也是如此，对目标系统也是如此，反之亦然）。

忠诚，认为我们可以在相同状态空间中绘制目标系统的轨迹是合理的，以便在相同的状态空间中绘制轨迹。 在非线性模型的背景下，忠诚似乎不足（§3）。

1.2混乱的简史

虽然在20世纪之前的一些科学家和数学家探讨了对系统行为的初始条件（SDIC）的敏感依赖现象，但这些孤立的调查从未产生过持续的询问领域。 例如，James Clerk Maxwell确定了类似SDIC的行为（1876，第13页）。 他描述了这种现象，因为侵犯了像防蛀流量的“物理公理”的病例被侵犯。 他认识到这种行为可以在具有足够大量变量的系统中找到。 但他还认为，在两个碰撞球的情况下可能发生这种敏感的依赖性（1860）。

更接近我们在不确定性的增长中的现代化SDIC的概念是普内华的旋风器的例子，其中“十分之一的程度”的观测误差导致土地上的明显随机性产生预测困难（1921，第398页）。

Edward Lorenz（1963年）与着名纸张对系统行为的影响研究。 他的开创性工作表明，气象模型可能表现出对初始条件的小变化的精致敏感依赖性。

用于表征不确定性增长的三个基准是线性，指数和几何增长率。 线性生长由表达式Y =轴+ B表示，其中A是任意正常数，B是任意常数。 通过在棋盘上堆叠便士（A = 1，B = 0）来说明线性生长的特殊情况。 利用将一分钱放在第一方形的规则，第二个广场上的两个便士，第三平方英尺，等等，我们将最终堆放在最后一个广场上。 棋盘上的便士总数为2080。

指数增长由表达式Y = N0EAx表示，其中N0是一些初始数量（例如，初始数量的便士数），A是任意正常常数。 回到我们的便士堆叠类比用a = 1，从第一个广场上放置1便士，第二个广场上约2.7便士，在第三种广场上约7.4便士，等等，导致大约6.2×1027便士赌注最后广场！ 这是非线性图的示例。

最后，较快的是指数增长率[1]，但指数不确定性增长被认为是混沌动态的重要标志。 因此，在混乱讨论中通常会忽略这些更快的增长率。

其他行为Lorenz模型展示是非周期性的。 非周期性解决方案不会重复他们的行为（至少在合理的时间尺寸上;证明解决方案永远不会在计算机上重复）非常困难）。

非周期性被视为一种不感兴趣的数学奇怪，直到Lorenz（1963）的出版物，证明了不会重复其行为的模型解决方案，因为它们与唱人集有深入的关系。 Lorenz的工作表明非周期性具有实际意义。

Lorenz（1963）通常代表混乱的“发现”。 最早使用“混沌”一词来描述Lorenz报道的现象是在David Ruelle和Floris Takens（1971）; 术语“奇怪的吸引子”（见下文§5.1）也首先出现在本文中。 尽管如此，它是Tien-Yien Li's和James A. Yorke的（1975）影响力“三个意味着混乱”，导致这些数学行为的术语“混乱”一词的广泛使用。

1.3定义混乱

要将系统识别为混乱，我们需要一个定义或列表区分特征。

1.3.1混乱的定性定义

物流地图，

xt + 1 =αxt（1-xt），

其中α是一个参数，其值范围从一到四个，变量x从零到一个的值，是模型混沌系统。 混乱的定义应确定使这种动态系统混乱的原因，但这结果是一项艰巨的任务。 Stephen Kellert将Chaos理论定义为“确定性非线性动态系统中不稳定的非周期性行为的定性研究”（1993，第29页）。 他的定义挑出了同时存在的两个关键特征：不稳定性和非周期性。 不稳定的系统是表现出对初始条件的敏感性的系统，其中Kellert手势对罗伯特德涅尼的定义以及定性不同行为的示例（1993，第12页）。 我们已经遇到的非周期性。[2]

这种定义既是定性和限制性。 这在凯勒特不依赖于数学上的准确标准，以获得不稳定和非周期性。 虽然可以添加此类定义，但这种精度可以仅增加有限的改进（见下文）。 该定义是限制性的，因为它将混乱限制为数学模型的属性（尽管Kellert（1993）有时是混乱是仅仅是数学模型还是实际世界系统的行为，但是实际世界系统的进口仍然露开。 此时，我们必须调用忠实的模型假设 - 即，我们的数学模型及其州空间与实际世界目标系统及其可能的行为密切对应 - 在实际系统中伪造此定义和混沌之间的链接。 我们立即面临两个相关问题：

我们的模型有多忠诚？ 与目标系统的对应有多强？ 这涉及现实主义和解释中的问题（§5）以及确认（§3）。

我们的数学分析（例如，不稳定性的特征）的功能结果结果是有问题的，使其对目标系统的应用可能无用（见下文）？

此外，Kellert的定义太广泛而无法挑选混乱的行为。 例如，取Xn + 1 = CXN，映射仅表现出不稳定和非周期性的轨道。 对于值C = 1.1和X0 = .5，连续的迭代继续增加，永远不会返回X0附近。 Kellert的定义将把此地图分类为混乱，但地图没有表现出混沌行为。

Robert Batterman（1993）讨论了混乱的问题定义，即，那些关注不可预测性概念的人。 不可预测性既不是必要的，也不足以区分混乱从任何其他不可预测的行为（补充：混乱等级）。 BALKAN没有指定替代定义，但表明不确定度的指数增长是必要的条件，同时留下它是否足够。

然而，混乱的关键特征是在动态（BALKMAN 1993，第49页）中存在“拉伸和折叠”机制的存在。 这些机制导致一些轨迹迅速收敛，同时导致他人迅速分歧，从而迅速地导致从状态空间混合的一些小社区发出的各个点发出的轨迹和以戏剧性的方式分离。 例如，Lorenz吸引子上的一些最初邻近的轨迹（图1）变得分开，其中一些最终在一个翅膀上，而其他人则最终迅速地迅速地迅速上。 作为另一个例子，逻辑映射延伸了间隔[0,1]并将其从直线折叠成抛物线。 连续迭代重复该拉伸和折叠过程，最终产生用于参数α的适当值的混沌动力学。



图1. Lorenz吸引子。

轨迹的伸展与不确定因素的爆炸性增长有关，折叠到国家空间区域的限制。 BALKMAN辩称的动态中适当拉伸和折叠机制的存在是混沌的必要条件。 这种行为与非线性相关联。 这样，这种定义特性可以应用于数学模型和实际世界系统，尽管在目标系统中的这种机制的识别可能相当棘手：处理流体系统时，我们有几种非线性机制，这已经很好地探索了伸展的源折叠。 相比之下，当我们只有时间序列数据（例如，芝加哥贸易生猪期货的每小时价格）时，识别可能的非线性机制是困难的。

拉伸和折叠机制导致具有吸引子的动态，因此专注于制定混沌定义的这种机制似乎是富有成效的。 从定性的角度来看，我们有确定主义，非线性，伸展和折叠动态，非周期性和SDIC，作为与定义相关的因素，识别拟合我们对混乱的直觉的混乱行为。

1.3.2混沌的定量定义

让我们从区分弱和强大的敏感依赖形式（有些史密斯1998）。 弱敏感依赖性可以表征如下。 考虑传播器，j（x，Δt），其中轨迹x（t +Δt）= j（x，Δt）。 设X（0）和Y（0）是两个不同轨迹的初始条件。 然后，弱敏感的依赖性是

（水务署）

∃ε＞0∀x（0）∀δ＞0∃t＞0∃y（0），| x（0）-y（0）| ＜δ和| x（t）-y（t）|＞ε。