混沌（二）
无论x（0）和y（0）如何靠近x（0）是从y（0）启动的轨迹最终将由ε从x（0）发起的轨迹发出。 然而，WSD没有指定发散速率（它与线性分歧的线性速率兼容），也没有指定X（0）周围的点数会产生发散轨迹（它可能是一组测量零）。
另一方面，混乱通常是一种更强烈的敏感依赖性形式：
（sd）
△λ使得对于几乎所有点x（0），χδ＞ 0∃t＞0，使得对于几乎所有点Y（0）在X（0），| x（0）-Y（0）| x（0）| ＜Δ和| x（t）-y（t）|≈| x（0）-y（0）|eλt，
除了一组测量零之外，“几乎所有”被理解为申请状态空间中的所有点。 在这里，λ通常被解释为最大的全球Lyapunov指数（补充：全球Lyapunov指数），并且被认为是从围绕x（0）的一些小邻域发出的相邻轨迹的平均分歧速度。 如果λ＞0（如果λ＜0）的收敛性，则暗示指数增长。 一般来说，这种增长不能永远持续下去。 如果系统在空间和动量中界定，则附近的轨迹可能彼此分歧的距离有限。
设计混乱定义的一种策略是以离散模型开始，并概括到连续案例。 如果通过使用截面的Poincaré表面开始与连续系统开始 - 大致，则定义二维平面，并且可以产生一个绘制与该平面-A离散模型的流程的轨迹的交叉点。 如果由部分表面产生的离散模型表现出混沌行为，则原始的连续系统也将是混乱的。
让F成为在状态空间S上定义的平滑功能。F可以迭代或重新删除多次。[3] 为了表示这一点，我们可以编写Fn（x），否则使用迭代地应用f。 例如，F3（x）将指示F已施加三次，因此F3（x）= f（f（f（x）））。 Logistic Map是此迭代过程的简单示例。 此外，设k是S的子集。然后F（k）表示施加到该组点K的f，即，F向F（k）发送集合k。 如果f（k）= k，则k是f的不变集。
现在，Devaney（1989）混乱的定义可以说明如下：
（chaosd）
如果F具有不变集k⊆s，则光滑的图F是混乱的
f满足k上的WSD，
F的周期性轨道集在k中密集，
F在K上是拓扑传递的。
拓扑传递是以下概念：考虑分别在点U和V周围的开放设置U和V. 无论你和v是多么小，你最终都会访问你的一些轨迹。这个条件保证从你的点开始的轨迹最终探索所有S。
Devaney的定义通常由数学家青睐，并且具有精确和紧凑的优点。 自提出定义的时间以来，已经表明（2）和（3）暗示（1）如果设置k具有无限数量的元素（Banks等，1992），虽然此结果不适用于有限元的集合。 该定义是违反直觉的，因为它强调了周期性的轨道而不是非周期性，当后者是混乱的更好表征时。 毕竟，正是缺乏周期性，即混乱行为的特征。 然而，如果k中的非可持续周期点的集合是致密的，则保证（3）保证混乱特征的非周期性轨道特征的丰度。 有些人认为（2）甚至不需要表征混乱（例如，罗宾逊1995，第83-4页）。 此外，Devaney的定义在轨迹的拉伸和折叠中没有任何内容（例如，线性模型可以表现出WSD），这似乎是来自定性角度的混沌的必要条件。 彼得史密斯（1998年，第176-7页）表明，混乱是一个结果而不是混乱的标志。[4]
捕获轨迹伸展和折叠概念的可能性，所以混乱动力学的特征如下：
（chaosh）
如果有一些迭代N≥1，则分立函数F是混沌的，它将单位间隔I发送到马蹄形中。
考虑气味马蹄铁：从单位广场开始。 首先，在y方向上伸展超过两个倍数。 然后将其压缩在x方向上超过两个超过两个。 现在，将所得到的矩形折叠并将其放回正方形，使得结构重叠并离开初始单元方形的中间和垂直边缘。 重复这些拉伸和折叠操作导致气味吸引子。
这个定义至少有两个美德。 首先，可以证明Chaosh意味着混乱。 其次，它产生指数发散，所以我们将SD视为对混沌系统的预期。 然而，它具有显着的缺点，因为它不能应用于可逆的功能，许多系统展示哈密顿混乱的许多系统的功能。 哈密尔顿系统是总动能加上潜在能量保守的系统; 相比之下，耗散系统通过摩擦等一些机制失去了能量。 那么，Hamiltonian Chaos是汉密尔顿系统的混乱行为，混乱的定义必须能够涵盖保守派和耗散的系统。
在文献中提出了其他可能的定义。 例如（Smith 1998，PP。181-2），
（chaoste）
在它表现出拓扑熵的情况下，离散函数是混乱的。
粗略地，在x（0）周围的邻域n中的给出点彼此小于ε，在n迭代的f之后，从n中的点发起的轨迹将不同的ε或更大，其中越来越多的轨迹将在至少ε增加时越来越大。 然而，对于地图而言，可以证明Chaosh意味着Chaoste，因此这并不是看起来是一个基本的定义，尽管它通常更有用，但对于相对于其他定义来证明定理往往更有用。
一些作者提倡在ergodic理论的观念方面表征混乱（例如，Berkovitz，Frigg和Kronz 2006; Sklar 1995，PP。235-4;见补充剂：混乱的层次结构）。
1.3.3 Lyapunov指数和混乱
科学家和哲学家中混乱最受欢迎的候选定义是
（chaosλ）
如果它有一个积极的全球Lyapunov指数，函数是混乱的。
此定义将SD作为其基础，其中λ为全球Lyapunov指数。 阳性的含义是λ＞0，用于指定集合中的几乎所有点。此外，它为数学模型提供了实际计算优势，并且通常可以与从物理系统产生的数据集的存在感到有关（有时难以困难地）以进行全局的存在的数据集Lyapunov指数。
全球Lyapunov指数是一个参数，其表征任何不确定性的平均增长率。 在许多初始条件下估计该平均速率。 这种指数可以被认为是指示每个时间步骤的拉伸速率，其函数在轨迹上平均。 在这种情况下，拉伸是相邻轨迹远离彼此的快速分歧，并且与数学模型中的非线性的存在有关。
通过将逻辑图的Lyapunov指数的值与其分叉图比较（例如，主题2023，PP。54-55）来说明Lyapunov指数作为潜在诊断的有用性。 全球Lyapunov指数轨道的迹象与分叉行为。 混沌数学模型始终是这种跟踪。 与所有动力系统相比，研究这种关系揭示了导致稳定行为的更大的参数值。
全球Lyapunov指数的一个优势在于，他们提供了一种方便的衡量不确定性的增长，从而深入了解系统可预测性。 用于系统的可预测性地平线的常见措施是2T的倍增率，衡量不确定性的时间在初始数据中的增加时增加。 在线性系统中，不确定性需要很长时间才能增长到初始数据的两倍。 对于混沌行为，倍增时间是2λT，因为不确定的增长被认为是与指数λ的纯粹指数。
1.3.4定义问题
讨论的所有定义都遭受了反例（见补充：混沌定义反例）：
展出WSD的系统无法有积极的全球Lyapunov指数。
尝试将诸如混沌，SD，Chaoste或Chaosλ等定义，具有ergodic层次结构的例子，其轨迹的指数分歧，所有过去状态与任何未来状态完全相关，不会产生随机性用混乱。
一些阳性全球Lyapunov指数的案例有轨迹加速了无限的信息，提出了关于需要约束的重要性的问题。
即使对于有界系统，也存在积极的Lyapunov指数的存在可能不会导致不确定性的指数增长。
一些系统表现出SDIC并产生致密的周期性轨道，但缺乏关于混沌，SD，Chaoste和Chaosλ的拓扑传递提出的问题。
阴性曲率表面上的非周期性孤立的流量是ergodic并且满足混沌的条件（2）和（3），但甚至没有表现出WSD。
阴性曲率的紧凑表面上的周期性钟环流可以有一个积极的全球Lyapunov指数，但在子物空间中挑战SD，Chaoste和Chaosλ并不密集。
KAM型系统提出了关于强大混合的问题，作为混沌的必要或充分条件。
混沌或强大的混合将大量的线性行为分类为混乱。
鉴于此，可能会建议对Devaney的定义进行修改：
（chaosdexp）
如果F具有不变集k⊆s，则光滑的图F是混乱的
f满足k上的SD，
F的周期性轨道集在k中密集，
F在K上是拓扑传递的。
该定义具有所有三个条件的彼此独立的德，而在清楚地区分线性从非线性行为保留后者的混沌动力学。 这与符合不确定性的指数增长的直觉最密切合作，以及符合研究人员对混沌行为的期望的密集的非周期性轨道。
Chaosdexp同意直觉，WSD太弱而无法捕获混沌动态。[5] 指定SD加上一组密集的周期点和拓扑传递规则排除了（1）阳性全球Lyapunov指数，没有随机性，（2）一个积极的全球Lyapunov指数，没有指数增长，不确定性，（3）一组密集的周期点和拓扑传递，但没有积极的全球Lyapunov指数，（4）Kam型系统，和（5）线性动力学。 虽然可能不会对某些反例免疫，但这种定义更接近表征混沌动力学的现象学。
在实践中，它是平均Lyapunov指数，以便在发生不确定因素的指数增长时表明（补充：全球Lyapunov指数）。 这意味着真正被插入的定义（如Chaosdexp）是一个普通的全球Lyapunov指数; 一个可以始终检查逐步的有限时间指数，以获取有关吸引子的详细信息。
最后，随着混沌动力学的现象学说明，数学模型仅表现出特定参数值的SDIC（主题2023）。 虽然在关于定义混乱的讨论中经常忽略，但不应忽略对参数设置的敏感依赖性。[6]
1.4拿库存
蝴蝶翅膀拍打在阿根廷的形象导致德克萨斯州的龙卷风三周后，建议对可预测性进行严格限制。 鉴于我们的天气模型的解决方案限制，我们无法“看到”蝴蝶翅膀扰乱最终导致龙卷风的潮流。 尽管如此，可预测性不是丢失的原因。
考虑一个具有以下行为的迭代映射：初始不确定性在第一次迭代中，在第三次迭代的第三次迭代的一个因子1/3上，在第四次迭代中的一个因子1/3，在第四次迭代的因子1/3的因子增加了四倍，并且在第四次迭代的倍数下，并且两个第五次迭代。 这是行为类似于本地Lyapunov指数。 虽然不确定度在第五次迭代中长出了32倍，但不确定的几何平均增长是每个迭代的两个因子。 虽然不确定性增长并不均匀，但几何平均值给出了有关该系统可预测性的一些有用信息。 即使是这种情况下的情况甚至是一些迭代的情况。 了解有关涉及动态的细节在某些迭代中提供了更大的可预测性。 另一个例子，考虑逻辑图。 对于X靠近零或一个不确定性的值迅速增长，而有关X值的值，而且对于大约.5的不确定性缩小。 当物流地图表现出混沌行为时，这些增长率保持为真。 即使对于Lorenz系统，在状态空间中也有区域，其中不确定性降低，即使在混乱的动态中，这些区域的预测也很好（Shen等人2018）。
在实际世界预测中，科学家们处理有限的不确定性及其增长，通常不是计算Lyapunov指数。 考虑一个典型的天气预报场景。 科学家们测量其系统的初始状态（例如，在某些地区的温度，压力，湿度等）产生初始条件的整合。 他们必须处理合奏的一个原因是所有测量都有准确的限制，将一些不确定性引入观察到的值。 然后，科学家们使用数据同化过程将观察转换为模型状态空间（记住忠实的模型假设§1.1.3）。 这形成了预测模型的初始条件的模型。 使用这些，他们可以运行他们的预测模型来生产集合预测：在30％的模型中使用该集合运行，预计华盛顿，D.明天预测。
天气系统的混沌动态是一件真实的东西，但科学家拥有用于邻近和中范围未来的这种系统的良好，有用的预测的技术。 即使混乱的动态存在，你的晚上天气预报仍然非常有用。 因此，混乱系统是不可预测的想法是一个神话。
虽然数学家经常更喜欢混沌和科学家通常更喜欢混沌，但对数学家和科学家之间的混乱行为的精确定义没有达成共识。 然而，后一种定义对于实际世界系统（补充：全球Lyapunov指数）和数学模型的有限适用性，除非使用平均Lyapunov指数进行重新制定，仍然是虚假的。 不同的定义具有不同的优势和弱点，关于一般性，定理生成和证明，计算容易，监控次数等等。 对于混沌的必要条件，最佳候选人仍然是（1）像Chaosdexp或（2）拉伸和折叠机构的存在。 在许多情况下，Chaosdexp可以作为混乱的充分条件。
这些定义可能只适用于我们的数学模型，但不适用于实际世界系统。 正式定义寻求充分表征数学模型中的混沌行为，但我们也有兴趣在物理和生物系统中捕获混沌行为。 现象学上，实际世界系统表现出SDIC，非周期性，预测性限制，小扰动下的不稳定性等特征，以及表观随机性。 由于目标系统仅为仅有限时间和不确定性运行，因此这些系统违反了导出全球Lyapunov指令所需的假设。 即使我们有良好的统计措施，促进了数据集的不确定性的平均指数增长，这是什么保证这与混沌λ的指数增长相对应？ 毕竟，不确定因素的任何增长都可以配备指数。 如果全球Lyapunov指数没有物理意义（因为它们仅适用于无限的不确定性），那么一个是可以自由选择任何参数以适应不确定性的增长的指数。 一种需要通过计算本地Lyapunov指数（优选通过变分方法）提供的控制。
我们的定义尝试不充分吗？ 混乱中是否只有一个定义，如果是的话，它只是一个数学属性还是一个物理的属性？ 也许，需要多种定义（其中一些是不平等的），以充分表征这种复杂和错综复杂的行为吗？ 预计会有合理的是，可以在精确的数学定义中捕获对物理学家和应用数学家感兴趣的混乱的现象学特征，因为这些功能表征可能是不可减少的模糊性？ 从物理的角度来看，旨在识别和探索负责轨迹的拉伸和折叠的潜在机制的目的是现象学特征吗？ 这些问题的答案很大程度上是我们的探讨目的（例如，证明严格的数学定理与物理数据中的混沌行为与设计系统进行控制以控制这种行为）。
混沌仅存在于非线性系统中（至少对于古典宏观系统;见补充：量子混沌微妙的量子混沌）。 非线性是拉伸和折叠机制的必要条件，因此似乎是混沌行为的必要条件。 然而，有一种替代方法来表征发生这种拉伸和折叠的系统：不可透明性。
如§1.1.5中所讨论的，线性系统总是遵守线性叠加原理。 描述这种系统的汉密尔顿人总是可分离的。 可分离的哈密顿人可以转换为单独的哈密顿人的总和，其中一个元素在与每个子系统对应的总和中。 实际上，子系统之间的相互作用可以被转换远离子系统彼此独立。 整体是零件的总和，就像它一样。 混乱是可分离的哈密顿人是不可能的。
相比之下，非线性系统中的交互不能分解成单独的独立子系统。 因此，整个系统及其环境都不忽视。 不可分解的经典系统是混乱行为可以表现出来的地方。 因此，人们可以说汉密尔顿人的不可脱离性是拉伸和折叠机构的必要条件，因此对于混乱（例如，Kronz 1998）。 汉密尔顿人的不可脱离性可能更有关系，以了解潜在的量子混沌行为。
作为实际问题，数学家和科学家将混沌的各种定义描述并应用于从初始条件发出的状态空间轨迹的特征以及定义动态系统的方程。 想要避免的是难以避免的混乱的“测试”，这是风险只是在嘈杂的数据集中找到某种形式的指数增长并发出“混沌”，因为一项措施是一个措施，所取决于任务（例如Toker，Sommer和D'Esposito 2020）。
2.混乱的“理论”是什么？
人们经常在文献中找到“混乱理论”的参考文献 例如，Kellert将混沌理论表征为“确定性非线性系统中不稳定的非周期性行为的定性研究”（Kellert 1993，第2页）。 混沌是一种在同一意义上的理论，电动或量子力学（QM）是理论吗？
一个难以回答这些问题是关于理论是什么缺乏共识（参见科学理论的结构的进入）。 科学家们经常将理论视为系统的知识体，为实际世界现象提供解释和预测。 比这更精确，而是为如何概念化理论产生显着差异。 选项范围从逻辑经验主义者的公理或句法视图（参见维也纳圈的条目）到语义或模型 - 理论视图（参见科学的模型进入），到Kuhnian（参见托马斯库恩的条目）和不太严谨的理论概念。 公理视图似乎不适用于混乱。 没有混乱的公理 - 没有混乱的法律 - 没有演绎结构，没有关于混乱文学中的理论陈述的观察陈述。 与此同时，有许多混沌模型，但这些混乱模型发生在各种科学理论中，并且不乏普及，并将混乱作为“新范式”
Kellert's（1993）专注于混沌模型是暗示语义观点的暗示，并且许多混沌文献侧重于模型。 简而言之，在语义视图上，一个理论的特征在于（1）一组模型和（2）假设与理想的物理系统连接模型。 文献中讨论的数学模型是具体和相当得很好的理解，但是与理想化的物理系统联系起混沌模型的假设怎么样？ 在混沌文献中，有大量的讨论各种强大或普遍的模式以及可以使用混沌模型制造的各种预测。 此外，还强调了定性预测，几何机制和模式，但这一切都缩写了与理想化物理系统联系起混沌模型的假设。
