混沌（三）

部署混沌模型以确定有关分叉点，时期加倍序列，混沌动态，奇怪吸引子的发作和混沌动物园的其他陈述的各种信息。 假设将混沌模型连接到实际世界系统，如果我们完全采用语义构思，则需要填写（例如，从物理数据重建的奇怪吸引子与最初记录数据的物理系统有多涉及）。

目前，在古典物理学法律上没有良好的混乱法律候选人，其中一些，如凯尔特，明确拒绝混乱法律（1993，CH.4）。 此外，混沌模型的状态空间与理想化物理系统的空间之间的关系非常细腻，与分析力学相似。 在分析力学中，我们似乎能够在模型和状态空间之间转换。[7] 在混沌动态中，我们可以从完整的非线性模型（例如，使用部分的Poincarésfiface）来导出用于混沌模型的状态空间，但我们无法使用产生的混沌模型来逆转过程并返回非线性模型状态空间。 人们可能期望将混沌模型与理想化的物理系统连接到储存与其相应的理想化物理系统连接的假设。 但尚不清楚在古典物理中的非线性模型的情况下，这将如何在古典物理学中，更不用说生物学，经济学和其他学科的混沌模型。[8]

思考忠实模型假设的问题：模型与目标系统之间的关系是什么？ 它是一对一的标准假设吗？ 或者是一对多（相同目标系统的几种不同的非线性模型，或者，可能，反之亦然）或多对多？[9]当线性模型或力函数用于牛顿的第二律时，模型和目标系统之间的转换似乎是直截了当的一对一。 在非线性上下文中，其中一个人可以构造来自观察系统生成的数据的模型，可以构建潜在的许多非线性模型，其中每个模型是对系统行为的凭经质。 每个目标系统真的只有一个独特的型号，我们根本不知道真实的模型（例如，由于未定名的问题 - 看看科学现实主义的进入，看看科学理论的下期进入）？ 或者数学模型和目标系统之间真的没有一对一的关系吗？

此外，语义视图的一个重要特征是模型仅旨在捕获目标系统的关键特征，并始终涉及各种形式的抽象和理想化（参见科学中的模型的条目）。 无论如何准确到我们的初始数据，如何在预测实际世界系统时都会出现这种系统的任何错误。 这突出了线性系统背景下掩盖了忠实模型假设的问题：通过遗漏“可忽略不计”因素，并且至少对于合理的时间来说，模型可以是错误的，我们的模型预测与目标系统行为没有显着差异（等待足够长，但是，但是预测会显着差异，尽管这段时间长度可能超过感兴趣的时间尺度）。 在非线性上下文中，相比之下，目前尚不清楚有任何“可忽略不计”的因素。 由于这些术语与其缺席的差异，非线性模型中最小的遗漏可能导致灾难性效应（参见§3）。

另一种可能性是将假设与目标系统连接，并简单地专注于动态系统数学理论的精神。 重点是模型及其关系，但重点是与实际系统连接的假设，理想化或其他方式。 不幸的是，这意味着混乱理论只是一个关于模型的理论。

理论的句法和语义观点侧重于理论知识体的正式结构，以及他们关于混乱动态的理论上的“适合”似乎非常有问题。 相比之下，也许人们应该以更加非正式或广告的方式想象的混乱理论，沿着Kuhn（1996）的科学范式分析（参见条目中的范式概念）Thomas Kuhn）没有强调科学理论的精确结构; 相反，理论是由他们在主导范式的正常科学实践中发挥的角色界定的凝聚力，系统的知识体。 混乱文学中的一个非常强烈的感觉是，“新的范式”已经强调强调不稳定而不是稳定的行为，动态模式而不是机制，普遍特征（例如费龄鲍氏常数）而不是法律，以及定性理解而不是精确的预测。

3.非线性模型，忠诚和确认

科学家考虑模型来简化在研究中的关键变量和目标系统的关键变量和过程的数学描述。 用于生成天气或太阳黑子预测的模型之间存在紧密的连接，并表示与追踪重要的变量的状态空间。 这是忠实的模型假设，通过这些关键变量和过程在状态空间和实际世界可能的状态之间的模型状态之间的直接对应。

调用忠实的模型假设，在典型的策略之后，哲学文献中讨论了两种基本的模型确认方法，这些方法在被称为零碎改善的策略之后建模。[10] 一种基本方法侧重于连续改进到初始数据的准确性，同时保持模型固定（例如，Koperski 1998）。 由于初始数据中的不确定性减少，忠实的模型的行为应融合到目标系统的行为。 忠实的模型假设意味着如果一个在适当的状态空间中绘制目标系统的轨迹，则在相同状态空间中的模型轨迹应该在一些措施中单调地变得更像系统轨迹，因为数据被改进。[11]

另一种基本方法侧重于连续的模型改进，同时保持初始数据（例如，Koperski 1998）。 毕竟，如果模型忠于再现目标系统的行为，则改善模型应该更好地符合目标系统的行为。 同样，忠诚的模型假设意味着如果一个人在适当的状态空间中绘制目标系统轨迹，则相同状态空间中的模型轨迹应该更像系统，因为模型变得更加现实。

零碎的策略直观上诉线性模型清晰：可变变量幅度的小变化是保证在模型输出中产生比例变化。 通过改进的模型性能，可以跟踪在初始数据中的忠实线性模型“在正确的方向”中进行小的改进。 限定符“在正确的方向上”绘制忠实的模型假设，意味着数据质量和准确性真的增加或模型真的更具现实（以越来越准确的方式捕获目标系统的更多特征），并通过模型的单调性地提高性能而言到目标系统。

尽管如此，零碎的方法在非线性上下文中遇到严重困难，线性叠加原理失败。 非线性模型使用的初始数据中的连续小细化并不保证导致模型和目标系统行为之间的收敛性。 “在正确的方向”的小型改进不保证导致非线性模型在捕获目标系统的行为方面单调改善; 它可能导致模型行为远离系统行为。[12]

同样，保持数据固定但使连续的模型改进不保证不会导致模型和目标系统行为之间的收敛性。 随着线性叠加的损失，模型的小变化可能导致模型行为的非比例变化。 即使在“朝向正确的方向”的小精致，“也没有保证非线性模型将单调地改善捕获目标系统行为。 小精致可以导致模型行为远离系统行为。

直观地，零碎的融合策略看起来依赖于完美的模型框架。 鉴于一个完美的模型，改善数据的质量应该导致模型和目标系统行为之间的单调会聚，但这种预期对于完美模型并不总是合理的（参见Judd和Smith 2001; Smith 2003）。 另一方面，给定良好的数据，直观地完善模型应该导致模型和目标系统行为之间的单调会聚。

即使是完美的模型也不会达到我们的直觉（Judd和Smith 2001; Judd和Smith 2004）。 例如，无论系统观察的数量，模型状态空间都会有一组轨迹与目标系统的实际轨迹无法区分。 即使对于无限的过去的观察，我们也不能给出目标系统的一些未知本体状态的认识状态下的不确定性。 无论非线性模型状态空间如何忠实于目标系统的物理可能性，无论模型状态空间多么精细，都会有许多目标系统状态而不是对于任何计算模型的模型状态，因为必须离散化（主教2023）。

原则上，当我们能够开发完全分析模型时，可能在可能的模型状态和目标系统状态的数量之间可能存在完全匹配。 然而，这种分析模型在复杂性研究中是罕见的。[13] 回忆班次映射。 作为数学模型，它是完美指定的定期初始条件，用于地图导致周期性轨道，没有不确定性。 然而，即使是初始条件中最小的不确定性也会导致地图轨道中的不确定性的快速放大。 类似地，即使是完美的非线性模型也会在初始条件下放大任何不确定性。

因此，完美的模型不保证针对目标系统行为的单调改善。 这是线性叠加原理失败的结果。 无论如何忠实模型，没有保证对于目标系统的非线性模型行为的零散单调改善。[14]

对于非线性模型，忠诚可能会失败，无法保证零碎的完美性，提高关于科学建模实践的问题以及当线性叠加失败时对它们的理解。 同样，利用模型预测（例如，经济和大流行模型）的政策评估也受到与模型确认的相同缺乏保障的影响。 这些问题在科学哲学中仍然很大程度上是未开发的，但有缓解策略（主教2023;史密斯2000）。

缺乏完美的测量进一步使实际世界系统中混沌的非线性建模复杂化。 虽然建模讨论通常认为，原则上是可能的，但是将测量误差降低到任意准确性，而是比合理的推理更多的希望。 假设任意准确的测量过程是可能的。 完美的测量精度仍然无法实现，因为减少错误是一个限制过程。 完美的测量精度需要任何混沌模型的无限精度。 随着所谓的测量过程精制，信息存储需求将超过Universe的能力，因为考虑到准确性所需的信息呈指数呈指数级而无限制。

此外，对测量精度有另一个限制：任何测量设备都会引入测量系统的一些小扰动。[15] 即使测量不准确降低到零，也会将扰动引入了被观察到的系统的真实状态，这意味着不确定性将被放大（由于科学家的运动，由于重力和电磁场的微小波动，由于科学家的运动而导致的小扰动他们的车辆等）。 完全考虑所有这些对混沌系统的影响超过了宇宙的数据存储容量。

结果是完美的模型框架低估了在展示混乱的非线性系统时处理不确定性的困难。 科学家在分析和建模实际世界情况时意识到这一点，一般锻炼。

4.混沌，确定性和量子力学

一些作者认为，SDIC在“感染”混沌宏观系统中为量子影响了一扇门（例如，Barone等人1993;霍布斯1991; Kellert 1993）。[16] 中央参数运行如下，称为敏感的依赖参数（SD参数）：

对于表现出SDIC的系统，在高度局部区域空间区域开始的轨迹将彼此逐渐快速地偏离平均逐渐发布。

量子效果限制了物理系统可以将物理系统指定到邻域的邻域，其状态空间不小于1 /（2π/ h）n的幅度，其中H是木板的恒定，n是所讨论的系统的维度。[17]

给予足够的时间，相同混沌系统的两个轨迹将使未来的状态可定位在相空间中的更大区域δ（从（1）和2））。

因此，量子效应将影响表现出SDIC的系统，导致侵犯独特演变（§1.1.3）。

作为具体的例子，考虑阻尼的驱动摆，表现出混沌行为，因此对小效果敏感。 如果光子撞击摆锤，原则上可以将来自光子的微量动量传递到影响宏观系统行为的摆锤。

然而，SD参数并不像倡导者索赔一样顺利。 适当版本的QM（例如，von Neumann，Bohmian或Decohervence理论;看量子力学的进入），量子测量理论的性质（折叠与非崩溃理论;有关进入中的测量问题讨论在量子理论中的哲学问题上），在一个可以解析系统中表征系统的初始状态的选择，并且系统装置切割可以在清楚地说明违反唯一的演化（例如，Bishop 2008）之前解析。 例如，如果QM中的不确定性没有本体地是正品，那么无论贡献量子效应如何对表现出SDIC的宏观系统都不会违反独特的演变。 相比之下，如果QM是真正的不确定性，那么量子效应可能存在可能性以影响宏观系统。 然而，由于摩擦引起的阻尼可以在完全洗掉之前对量子效应的速度进行速度进行限制。 此外，如果光子沉积其当局部Lyapunov指数为阴性时对混沌摆的动量贡献，则量子效应将消散而不是放大。

5.关于现实主义和解释的问题

虽然在混乱的背景下探索不太探讨，但有趣的问题是既有现实主义和解释值得进一步调查。

5.1现实主义和混乱

混乱只是数学模型的财产吗？ 考虑Feigenbaum常数。 将其计算在物理系统中的时期，例如流动的流体，化学反应或激光器，产生非常接近-4.6992016091的值，逻辑图的值。 然而，物流地图与这些相当不同的物理系统没有可辨别的关系。

考虑阻尼驱动的摆锤。 描述它的数学模型表现出混沌的参数值的一些组合，用于驱动力的摩擦和幅度和频率的幅度。 由于模型预测，构造了与这些参数值的构造形行事表现。 最终，工作系数的摩擦系数和电动机的驱动频率由于加热的组分而变化，并且混乱行为丢失。 在我们的数学模型中，混沌行为持续存在，而在物理管道中相对较短地生活，示出了即使包括相关变量和参数，数学模型通常也可以不充分的材料世界表示。

鉴于这些实际世界现象，混乱提出了一些关于科学现实主义的问题，只有其中一些问题将在这里触动。 首先，科学的现实主义通常作为关于科学理论和与实际世界实体的关系的不可观察术语的现状。 但是，关于制定混乱理论（§2），有严重的疑问，更不用说确定了在科学现实主义下的理论票价的票价。 讨论关于混乱的一些雄心勃勃的现实主义问题更合理：我们的混乱模型如何用实际现象追踪？ 实际存在的各种混乱（如分形）做各种候解者吗？

Lyapunov指数的问题提高了跟踪问题。 虽然计算用于简单数学系统的指数（例如Logistic Map）相对简单，但对于洛根茨方程如诸如Lorenz方程的动态系统来说，更难以计算它们。 而且它仍然仍然 - 可能有时不可能测量使用其时间序列数据的物理系统的Lyapunov指数。

另一种跟踪问题由称为奇怪吸引子的耗散混沌模型的特殊几何结构来说明，其可以基于状态空间中的轨迹的拉伸和折叠形成。 奇怪吸引子的特征是自相似的结构。 放大吸引子的任何一小部分，放大部分看起来与原始区域相同。 放大放大区域，再次重复相同的结构。 连续重复该过程一遍又一遍产生相同的结果。 自相似性的重要几何暗示是状态空间中没有固有的大小比例，因此吸引子的区域的任何放大率产生统计上类似的结构。

奇怪的吸引子通常是由非整数或分形维数的特征。[18] 我们在日常经验中遇到的维度的类型是整数的特征。 点有尺寸零; 一条线有维度; 一个方形有两个; 立方体有三等等。 相比之下，图1中Lorenz系统的蝴蝶奇怪吸引子的维度为2.0627160（Viswanath 2004）。[19] 来自实验的Lorenz或时间序列数据中存在奇怪的吸引子表明研究下的混沌行为是耗散（既不节省状态空间量也不能量）而不是哈密尔顿（保守两者）。

警告是有序的，因为在时间序列中检测分形并不意味着系统产生时间序列的动态是确定性的。 例如，响声设定的分形尺寸约为0.631，但是可以生产用于响应式集合的非预定发生器。 因此，单独关注分形并不意味着产生的确定性过程。 该相同的例子说明了检测时间序列中的分形不保证产生它的系统是混沌的。 虽然耗散混沌系统将具有分形吸引子，但并非所有具有分形吸引子的耗散系统将是混沌（Itt 1992，PP。233-236）。

虽然数学家之间的奇怪吸引子或分形维数没有普遍接受的定义，但更严重的问题是奇怪的吸引子和分形尺寸是否是我们的模型的属性，也是实际世界的系统。 例如，实际世界系统的实证调查表明，没有无限重复的自我相似的结构，如奇怪的吸引子（Avnir，等，1998; Shenker 1994）。 在重建状态空间中仅在两个或三个空间尺度上重复自相似的结构。 这是一个预制率，其中自相似的结构仅在有限数量的长度上重复。

用于表征一些实际世界系统的耗散混沌模型表现出具有分形几何形状的奇怪的吸引子。 无限分形几何在混沌模型状态空间中的关系是什么，以实际世界系统的前分形特征？ 这种模型的分形特征显然是目标系统的假，虽然模型本身可能仍然有用，但是帮助科学家定位以预级特性为特征的有趣动态。

然而，思考分形是小心的是小说。然而。 分析的数据集的预处理特征可以是在分析或由于必须在数据分析开始之前发生的模数转换而被按摩的方式的伪影。 减少实际值为有限的数字串会破坏分数结构，因为将实数转换为测量过程中的整数。

QM提供了有理由怀疑物理系统不能拥有这种自我重复的结构“一路下来” 经典状态空间支持奇怪的吸引子，因为支持平滑曲线的长度尺度的无限量是可能的。 相比之下，量子状态空间由于普朗克的常数而不能支持无限的细长尺度。 因此，我们正在应用一种携带巨大数量的虚构结构的经典模型来了解物理系统的特征。 在混乱中发挥着关键作用的关键结构之一 - 来自相应的物理系统不存在奇怪的吸引子的无限复杂结构。

Peter Smith（1998年，Ch.3）认为，这种虚假模型是合理的，因为奇怪的吸引子（1）的无限复杂结构是拉伸和折叠机制的结果，（2）兴趣的兴趣空间中的许多点是不变的和折叠机制。 无限的结构仅仅是几何额外行李，但伸展和折叠导致周期加倍序列，混沌发作，等等是足够的。 这是一个反对派者关于混乱中解释的一些关键要素的动作，并被批评（Koperski 2001）。 Jeffrey Koperski（2001）还挑战了抛出似乎过多的数学结构的策略（例如，当我们需要用于准周期性吸引子的这种结构时，奇怪的吸引子的拓扑传递。

我们回到了忠实的模型假设：模型方程忠实地捕捉目标系统的行为和模型状态空间忠实地代表目标系统的实际可能性。 是忠诚的忠诚感，数学模型与实际世界系统的特征之间的实际对应？ 或者可以忠诚地应理解在实证充足的方面，主要是工具制约者 是由模型和系统之间的映射威胁的忠诚的现实主义制约，可能是一对多或多对多？