命题逻辑（二）
更有趣的是�52捕捉到指示性情绪中至少有一些用途的真实条件的论点。 鉴于此实际功能解释的二进制连接被称为“材料条件”并且通常表示为⊃。 可以容易地检查A 1B等同于布尔表达式¬a∨b。 关于普通语言条件表达式是真实功能的索赔的索赔存在巨大的文献。 索赔本身显然是古老的，归因于Melaga的Philo，并在Chrysippus早期突出的命题逻辑系统中引用。 它在Charles Peirce，H. P. Grice和Frank Jackson的现代背景下被辩护。 但它的批评者已经很多（参见参数条件的条目）。
特别兴趣是建议，最初是由于弗兰克拉姆施，这种表达式“如果A，那么B”在指示性情绪中最好地理解有条件概率，因为“给定A的B几乎确定的（B）＞0.95）”。 1976年，大卫刘易斯证明了条件表达，如此明白，不仅无法成为真实性，而且实际上甚至不是命题。 Dorothy Edgington（1995：280）为刘易斯的结果提供了以下简单论点：假设�a（b）测量了一些（不一定是真理功能）命题a⋅b的概率。 如果a⊃b意味着a⋅b，则每当A错误时，a⋅b是真的。 因此，当A不太可能时，a⋅b不能不可能。 但肯定不会阻止�a（b）非常低。 另一方面，如果a⊃b并不意味着a⋅b，那么当¬（a∧¬b）是真的时，a⋅b可能是假的，并且关于¬（a∧¬b）的确定性仍将为a⋅b留下疑问。 但是¬（a∧¬b）就足够了（b）= 1。 因此，Aïb既不意味着也不意味着a⋅b，而且可能发生这种情况的唯一方法是因为�a（b）没有衡量任何命题的概率。
此示例再次突出显示确定在命题逻辑的范围内可以分析哪种连接的问题的纤维。 在一些解释（包括真实职能的一个）上，指示性情绪条件可以是，但在Ramsey的解释上他们不能。 1982年，W. V. O. Quine通过表达谨慎的谨慎预期刘易斯的结果，即他归因于菲利普鲁诺德兰德，而不是将条件的声明混淆了“如果一个，那么B”在条件A上的发言A.后者，他举行，通常是理解形式表达“如果a，那么b”的正确方式，因为它是在没有条件a的情况下是非陈述，不能被理解为一个主张。
Gottlob Frege经常在物质有条件的防守者中计算，但他对结缔组织的态度是细致的。 他对命题逻辑的系统化确实具有χ52给出的真相条件的结缔组织，但弗赖基拒绝了这种连接性表达了自然语言的指示性条件的想法。 他写道，“如果'......不是由我们的符号表示的话，因此隐含的因果关系”（1972：116）。 难民是否认为物质有条件失败甚至捕获普通语言指示条件的真理条件，或者如果只是虽然它捕获了这些条件的真实条件，但物质有条件的含义可能无法捕获其他非实际条件的含义的实际条件。 明确的是，无论在普通条件陈述和材料之间检测到的任何不匹配，都没有劝阻他将后者放在他的逻辑调查中心。
鉴于多个真相功能完整的连接集，为什么弗雷格或任何其他人都可以选择材料条件作为古典逻辑的原始连接？ 弗雷格看到，选择材料条件作为原始结缔组织的价值不是从其常规语言表达的近似，而是从其内部到逻辑理论的角色。 让我们写入= CTTB以指示公式B在经典的真理理论中有效。 概括这种转置符号，还写入A = CTTB以指示B是A的经典命题后果，其中�是一组命题公式，�= CTTB表示B是一种经典命题后果所有公式�。 一个基本的事实，随着真相表易于验证，是�∪{a} = cttb if，ock an =ctta⊃b。 在�为空的情况下，A = CTTB准确何时=ctta⊃b。 早些时候我们强调的是，物质有条件不能被理解为逻辑暗示的表达。 另一方面，古典逻辑后果的关系实际上是一种（特别严格的）逻辑暗示关系，物料条件实际上直接相关的一个：a⊃b不表达A和B之间的任何含义关系，但是a⊃b是a和b的索赔古典命题有效性是这种含义的表达。
2.1.5可拆卸性
如果存在用于确定公式是否满足的可靠方法，则据说逻辑可解密。 经典命题逻辑被易于解密：给定任意公式，简单地以可以输入的那些可以输入其原子命令变量的可能序列的表格方法中，并计算这些中的每一个的组成输入。 因为公式是有限的符号串，所以每个都包含有限数量，例如原子，使得真实表将具有2¼行。 因此，完成真相表是一个有限的确定任务，最后将发现该公式是否满足。
2.1.6 NP完整性
确定经典命题逻辑公式是否满足的问题是饱和的。 虽然SAT存在决策程序，但是所有已知的过程以预定方式为每个可能的公式进行预定的方式是精确的感觉繁琐且效率低：没有发现过程在多项界限的多个计算步骤之后返回答案的过程公式一试，即，它是未知坐立是否在多项式时间中的确定性过程中解决问题的复杂性类别p。 众所周知，SAT处于复杂性类别NP中 - 这些问题可以通过多项式时间中的非确定性过程回答。 1971年，史蒂文厨师证明，SAT是“NP-COMPERT”：NP类中的任何问题都可以在多项式时间中可降低到SAT。 厨师定理的推论是，如果坐在课程中，那么NP = P.它一般认为NP是一个比P的严格更大的问题，而且由于这个原因，没有“有效”在多项式时间可计算感的感觉中坐坐的“有效”程序存在。 自厨师发现以来，广泛的问题已被证明是NP完整的。 但是在发现NP完整性的背景下，古典命题逻辑占据突出。 它的无序性特别适合阶段概念的形成。
2.1.7紧凑性
关于古典命题逻辑的基本事实是它是“紧凑的”。 为了激励紧凑性的想法，考虑一组公式�= {�1，�2，�3，¬（�1∧�2∧�3）}。 每个合适的�子集是“同时满足”，即给定任何这样的适当子集，对原子的单一分配了真实值，每个子集的公式都是真实的。 但是，�本身并不同时满足：使�1，χ2和�3所以真实保证了¬（�1∧�2∧�3）的虚体。 如果另一个设置�含有无限多种公式怎么办？ 我们的观察结果很可能会促进它尽管没有将真实值分配给满足每种公式的原子的原子，但仍然可以同时满足的每一个适当的子集。 如果，而不是知道每一个适当的�子集同时满足，则只有一个人才会讲述每个有限子集？ 因为大多数适当的子集是无限的，所以�的直觉无法同时可同时满足。
致密度定理（Gödel1930）告诉我们，这种直觉误导了：
定理2.如果每个有限子集同时满足，那么也是如此。
请注意，通过“放松”从“适当的子集”到“有限子集”的假设，紧凑性定理是真实的，实际上�是有限的：�是它自己的有限子集之一。 然而，当�是无限的时，放松的假设显着提高了定理的强度（以量化理论的语言，定理涉及强量的交换机：从赋予任何有限子集的事实，一个人可以始终找到解释满足它（潜在的每个有限子集的不同解释），可以推断出满足可能曾经给出的每个可能的有限子集的单个解释的存在）。
对于紧致性的醒目时，假设A是无限一组公式�（�= CTTA）的经典命题后果。 如果每种有限子集同时满足，那么通过紧凑，�∪{¬A}将同时满足，与我们的假设相反。 因此，对于某些有限子集�的�∪{¬a}的一些有限子集不是同时满足�，没有对原子的原子值分配真实值，这使得true和假的每个公式。 经典命题后果始终“有限地确定”：如果�= CTTA，则对于某些有限子集�，�= CTTA。
2.2扣除
由Gottlob Frege于1879年推出的正式扣除系统提供了命题连接的含义的替代规范。 这种系统的特征在于一种称为公理的有限型公式和有限组推断规则。 Frege系统中的命题公理是
公理1a⊃（b⊃a）公理2（c 1（b⊃a））⊃（（c 1b）⊃（c⊃a））公理3（b⊃a）⊃（¬a⊃¬b）公理4a⊃¬¬aaxiom-axiom5¬¬a⊃a
推断规则是
Modus Ponens：Aïbab
替换：如果�是b中的原子变量，并且c是任何公式，那么让b'是用c替换每次发生的结果，从b推断b'。
证据被定义为公式的有限序列，其中一个是通过应用推理规则在序列中的先前条目中的公理序列。 定理是作为证明的最终条目发生的公式，我们表示通过CPC A-Here CPC代表“经典命题微积分”的体面性。 我们介绍了Frege 1879中的正式扣除系统，但CPC旨在标记任何等效系统。 弗雷格的系统有足够的感官代表经典命题逻辑：因为对{¬，⊃}是真实的 - 功能完整的，任何具有双偶真理功能连接的任何组合都可以转化为公式弗雷格的系统。 此外，系统在某种意义上是完整的，即所有和只有经典命题tautologies是定理的。 由于希尔伯特和亚伯国，下面的本命令完整性定理的验证使用不同的消费系统。 正如Jean Nicod（1917）是第一个观察到的，甚至只使用单一的“不......和......”连接|，例如，甚至只使用单一的“......”连接|，例如，CPC的介绍
（（一个|（b | c））|（（e |（e | e））|（（d | b）|（（一个| d）|（一个| d）））））
和推理规则
Nicod的推理：AA |（B | C）C
替换：如果�是b中的原子变量，并且c是任何公式，那么让b'是用c替换每次发生的结果，从b推断b'。
与古典逻辑的真实功能框架并行，也可以引入假设的扣除概念：如果�是一组公式，那么一系列公式，其最后条目是A，其中每个条目是公理的�，或从早期条目应用推理规则的结果称为来自�的推导。 然而，在为CPC制定这个概念时，需要一些谨慎。 例如，一个不希望从命题变量中推动的每个公式，但替换规则允许一个从�1推断任何内容。 因此，在从纯粹的公理可加速下从任意假设扣除的裁扣的思想，替代规则仅限于仅适用于公理。 人们可以很容易地表明该限制不会影响定理集。 通过这种限制，我们可以通过�cpca表示来自SET�的衍生能力。
2.2.1扣除定理
在1910年，弗雷格指出，但没有证明，那是�∪{a} cpc b if，而且只有，�cpca⊃b。 第一个录制的证据是在Herbrand 1930和Tarski 1933中。而在真实功能解释的情况下类似的观察是微不足道的，Herbrand和Tarski的这一结果更为复杂。 一个方向很容易验证：任何�-arivation�a⊃b显然也是一个�∪{a} - 一个定位。 要构建B的�∪{A}，只需将两个公式A和B附加到�的末尾。
另一个方向被称为扣除定理。 证据用途使用诱导�∪{A}的长度 - B的一个：
定理3.�∪{a}只有当�cpca⊃b时
证明。 （基步骤）如果存在来自�∪{a}的B的单行推导，则可以构建A 1B的�衍生。 要查看此项，请注意只有三种类型的单行派生：
B位于集合�中
b是一个
B是公理
以下三种衍生分别表现出χcpca⊃b分别在1,2和3中：
b（b⊃（（c⊃b）⊃b））⊃（（b⊃（c⊃b））⊃（b⊃b））bb⊃（a⊃b）b⊃（（c⊃b）⊃b）b⊃（a⊃b）a⊃b（b⊃（c⊃b））⊃（b⊃b））a⊃bb⊃（c⊃b）b⊃b
很容易检查每个导出的每一行是�，公理或应用模式的应用程序的成员。 （中间序列有资格作为A = B的一个衍生，因为假设A是B.）
（归纳步骤）假设只要存在n或更少线长的B的�∪{a}，就会有一个�衍生。 现在假设有一个�+ 1线长{a}-a} -derivation�b。线�+ 1的理由是从基本情况的可能性之一 - B是一个公理，来自设定�，或者是与A相同。在任何这些情况下，A 1B的�衍生将根据基础案例构建。 在上一条线是施加Modus ponens的结果的新颖之下，公式C 1b和C在�中发生了更早的线。 因此，{a}}是n行长或较短的c 1 b和c的相似因素显示为�的子序。 然后，诱导假设保证了A1（C 1B）和a⊃c的α-衍生的存在。 让我们
�1=⟨s1，s2的，...，a⊃（c⊃b）⟩
和
�2=⟨t1，t2的，...，a⊃c⟩
是这种衍生的示例，并考虑序列：
�1�2（a⊃（c⊃b））⊃（（a⊃c）⊃（a⊃b））（a⊃c）⊃（a⊃b）a⊃b
这是a⊃b的�衍生。 ◻
因为这种验证定理的验证只依赖于弗雷格的前两个公理，所以它也适用于许多非古典背景，其中包括大类建设性命题逻辑。
2.2.2基本元理论
另一个类似于实际功能框架的显着事实的模拟，这次DNF定理，在公理系统的传教式分析中发挥了历史作用。 希尔伯特如何与每种配方A联合归类的正常式ADNF和一个联合正常公式ACNF相关联
单次点击出价a⊃adnf，每次点击费用adnf⊃a，每次点击费用a⊃acnf，并且每次点击费用acnf⊃a。
特别地，应用扣除定理，A和ACNF是可衍生的。
弗雷格的公理化显然取决于对{⊃，¬}的表现力充足程度，除非有人想到的是，除非有人铭记，除了扣除系统本身提供的联系人之外的含义。 Russell和Whitehead在Principia Matherematica和Hilbert和Ackermann于1928年追随凭借一小组基本连接，并使用他人作为缩写。 1926年，伯尼回到了“主要的趋势......以减少基本连接数量，而且公理的数量”，观察“一个可以急剧地区分各种连接”，从而不会预先假定等效性¬a∨b=a⊃b不出现在公理框架本身中。 这种方法允许人探索对某些等效性不保持的公理系统的修改，并将它们彼此进行比较。 公理框架通常是用于这种比较研究的原油装置; 伯泽尼亚洞察力的精神达到了预先扣除了预测（1934-35）的自然扣除和顺序计算中的成熟，其中每个结缔组织的含义在表征推断规则方面是完全指定的，其在表征推断规则方面是孤立的另一个连接。
具有最小签名的公理框架（russell和Whitehead，希尔伯特仅使用{∨，¬}），但在普及学校的一致性，独立，最大性和最大程度和完整性证明。 为了保留发现的背景，以下重新评估了1917年的Hilbert讲座“Prinzieien der Mathematik”中提供的原始证明。
2.2.2.1一致性
如果没有公式A是S a和s，则正式的演绎系统s是一致的。 为了证明CPC的一致性，Hilbert推理如下：让句子字母范围在数字1和0上，将分数符号解释为乘法和否定符号作为函数1-�。 在此解释中，每个公式都是0和1的函数，由乘法和1-�组成。 Hilbert观察到，每个函数被解释为每个输入上返回值0的函数，并且推断规则每个都保留此属性（因此每个定值是常量0）。 此外，任何定理的否定是恒定的1，因此无法移动。 因此，如果它的否定也是没有公式，因此系统是一致的。
2.2.2.2最大
如果它的适当延伸不一致，则正式的演绎系统是最大的。 希尔伯特使用与他的一致性论点相同的解释来显示：
定理4. CPC是最大的。
证明。 如上所述，仅当在解释下它是恒定的0，即在解释中的情况下，该公式仅在结合正常公式的情况下精确地发生，当其每种结合含有否定和不受约调的某些命题变量时。 现在让A成为任何无法动力的公式。 其相关的公式ACNF也必须是无法动工的，因此必须含有一个没有命题变量的混合C，出现否定和不受约束。 为了表明CPC + A（CPC以AS附加的AXIM增强）不一致，让B成为任何公式的，并将D作为在C中不受约束的每个命题变量代替ACNF，B的结果。¬B对于在C中否定的每个命题变量。很容易显示
单次点击出价+一个一个，每次点击费用a⊃acnf，每次点击费用acnf⊃d，andcpcd⊃b。
因此，任何公式B的CPC + A B.◻
希尔伯特和其他人称为同样的财产“完整性”，类似于希尔伯特的平面几何和数字理论的完整性公理。 但是，完整性已经意味着逻辑领域中的其他东西，这种财产现在通常被称为“完成后的”（在1921年帖子后重新发现了CPC的财产）或者，如这里“最大值”。
2.2.2.3完整性
完整性定理描述了真实功能和演绎框架之间的确切对应性：
定理5. CPC A IF，且仅if，= ctta。
证明。 这一结果往往被描述为难以建立，但在希尔伯特的1917年讲座中，它是一种最大的立即必论之限。 已经在一致性论点中观察到，只有被解释为常量0函数的公式才能证明。 假设一些公式A是常数0，但在CPC中无法移动。 然后与之前的相同的一致性论点将进行CPC + A，符合刚刚证明的最大结果。 因此，每个配方解释为常量0函数是CPC的定理。 被解释为常量0函数的公式只是经典真实功能解释的有效公式。 ◻
还有可能的直接路线。 来自Kalmár1935的着名证明从两个观察开始：
K1CPC（A 1B）⊃（（¬a⊃b）⊃b）k2leta是具有命题变量的任何公式�1，χ2，...，...，并且让�是命题变量的真值值。 定义c�=�1如果�（�1）=�，¬�1如果�（��）=�。 然后，如果�（a）=�，c1，c2，...，c�cpca。
