命题逻辑（三）

证明。 现在假设T是具有命题变量的古典有效性�1，�2，...，��。 然后按K2，对于命题变量的每个分配�，�（t）=�和c1，c2，...，c�cpct.和�是oys octo（��）=的真相值的分配。�虽然�（��）=�。

c1，c2的，...，c�-1，��cpct

和

c1，c2的，...，c�-1，¬��cpc吨

通过扣除定理，

c1，c2的，...，c�-1cpc��⊃t，

和

c1，c2的，...，c�-1cpc¬��⊃t。

通过k1，

c1，c2的，...，c�-1cpc（��⊃t）⊃（（¬��⊃t）⊃t）。

两种应用模式的玉米产量

c1，c2的，...，c�-1cpc吨

重复同样的推理��-1产量

c1，c2的，...，c�-2cpc t，

在n重复时建立了CPC T之后。 ◻

以这种方式直接证明完整性允许最大的不同参数：

证明。 假设cpc。 然后通过完整性，=ctt⧸a。 因此，对于命题变量有一些分配的真相值，在其上评估为f。�1⊃¬�1。 A'不满意。 因此，¬a'是有效的。 所以每次点击费用+一个¬a'。 但CPC + A A和，替代，CPC + A'。 所以CPC + A不一致。 ◻

2.2.2.4完整性为半解密性

可以看到正式演绎系统的定理集可递归令人享受。 要构建一个简单的枚举，让我们添加到命题逻辑的语言符号“;” 作为顺序定位划分器，使语言由�1，χ2，...，（，），⊃，¬和;。 然后我们可以列出阶段中的所有可能的符号序列：

第1阶段：仅使用命题变量列出长度1的所有字符串。

第2阶段：仅使用命题变量列出长度1或2的所有字符串。

...

在每个阶段，词汇是有限的，因此只有许多符号符号列出。 但每个证据都是有限的符号字符串，因此在某些阶段或另一个阶段列出。 因此，给定公式A，可以一次开始搜索一个阶段的证明，仅在每个阶段检查许多字符串。 如果A有效，那么通过完整性可以证明，在检查一些有限数量的字符串后，可以发现它的证明。 另一方面，如果A无效，搜索永远不会停止。

完整性结果通常被描述为有价值，因为它们使逻辑有效性的递归统计性令人显而降。 在经典命题逻辑的情况下，已知有效性已经递归令人令人令人令人愉快，并且通过更简单和更有效的真理表评估方法可判定。 完整性定理的价值来自于逻辑性逻辑概念的两个事实中，逻辑性 - 正式可加素和真实功能有效性 - 重合。 情况与其他逻辑系统不同。 最着名的例子是一流的古典量化理论，教会和图灵被证明在1936年被证明是不可判定的。在这里，哥德尔1930的完整性定理特别有洞察力：量化有效性不是递归的，但它是最少递归令人令人认容。 事实上，经典命题逻辑和量化理论的完整性结果是澄清递归和递归令人令人愉快的套件之间区分的历史时刻 - 这是今天的小学的区别，但是在第一个十年内的巨大困惑的来源二十世纪。

完整性结果可以为许多命题逻辑的替代系统发挥作用，类似于他们为经典量化理论发挥的逻辑：Urquhart 1984表明相关性逻辑的系统E和R是不可识别的; 林肯等人。 1992年表明，完全命题线性逻辑L1是不可透明的。 在这些竞技场中，一个完整的正式推导系统可以提供一些具体访问，对摘要定义的有效公式的空间不可易于导航。

2.2.2.5独立性

在一致性论点中展出的推理方式可以推广以表明独立结果。 一致性论点的想法是首先描述一个属性p

所有公理都有p，并且

如果推断规则应用于使用p的公式，那么从其应用程序产生的公式也具有p

然后表明某些公式没有P.因为所有定理都是通过迭代推断规则的迭代应用从公理生成的，所以后者不能是定理的。

在一致性证据中，P是被解释为常数0功能的属性，并且没有P的公式是定理的否定。 但是，可以推广推理。 假设P是一些除了一个公理组织的其他财产，并且由推理规则类似地保留。 通过验证这一点可以表明，一个公理不是来自其他公理，因此可以在没有它的情况下具有更少的定理。 例如，⊃的经典解释是返回输入⟨0,1⟩和0上的函数，否则¬¬的经典解释是在输入0上返回1的函数，并在输入1.上返回0。所有五个弗赖格的公理这种解释上的常量0。 如果我们修改解释，使得⊃在输入1上返回1，并且在输入0上返回0，则在输入0上返回0，则仍然被解释为常数0功能，而Axiom 3在输入上返回1⟨0,1⟩。 推理规则仍然保留在这种修改的解释上常数0的属性，因此我们知道公理3不能仅使用公理1,2,4和5来证明，并且没有Axiom 3 Frege的系统不会完成。

对于一个更有趣的例子，考虑通过以下表格给出的三价函数的⊃和¬解释：

aba⊃b000100200011110210022122220

a¬a021220

如果p是在此解释上是常量0功能的属性，则可以验证该属性

每个公理1,2,3和4每个都有p

P由Modus Ponens和替代保存

Axiom 5在输入1上评估为1，因此没有属性p

因此，公理5独立于前四个公理。

使用非古典（通常更高的价值）真实功能解释来定义独立证明的属性返回Schröder1890.它被Łukasiewicz的全部追求，他也证明了关于范围的结果这种技术。

2.3 Gentzen的Calculi

1934 - 35年，格拉德格雷斯介绍了两种替代框架，用于提出导致引诱逻辑的特别精致的分析。 我们将首先在Gentzen的自然扣除系统中看，后来考虑他的搜索结石。

2.3.1自然扣除

在1920年初的讲座中，大卫希尔伯特评论说正式扣除制度的推理规则可以被认为是提供他们治理的联系的含义（希尔伯特2013：323）。 希尔伯特的想法是在绅士的自然扣除演出的深刻实现。 自然扣除是“验证理论语义”的早期和象征性成就：在推论中指定定义的传统，而不是表示的。

在像CPC这样的系统中，唯一对连接的唯一推理规则是Modus Ponens。 这条规则的意思不仅是为了描述减税有效的推理模式，而且事实上提供了连接⊃的定义？ 如果一个人理解的不仅仅是有效推理的许多模式中的模式，而且说它是一个授权它的授权来自a到b的推断，那么一个手段的一部分是与a一起的任何句子允许推理给b表达与a⊃b相当的东西。 为了说明这一点，让我们在转圈表示法中重写Modus Ponens

a⊃b，a⊢b

理解为⊃的定义，这决定了扣除定理的以下形式，说明A 1B可以从类似于来自A到B的推断的任何其他公式推断出来：

对于所有c，如果c，a⊢b，则c⊢a⊃b

在Gentzen的术语中，像Modus Ponens这样的规则描述了从某个结缔组织管辖的句子的明确推理方式称为“消除规则”。 扣除定理，在描述得出结论所受某种结缔组织的最终推理模式时，是“介绍规则”的示例。 格子写道：

介绍代表......有关符号的“定义”，并且在最终分析中，省略的“定义”不再是这些定义的后果。 ...通过使这些想法更精确地，应该可以将EILF-RULES显示为相应的介绍规则的独特功能。 （1934-35：§II5.13）

精确的绅士前述是：消除规则不是“相应的介绍规则”的后果“; 他们的相应消除规则的介绍规则也不是“后果”; 但是，一种类型的规则确实从他们对应的其他类型的相应规则的概念中进行遵循。 当被打电话被理解为将A和B映射到与B的许可证一起映射到B的命题时，Modus Ponens捕获了许可此推断的一部分，并且扣除定理捕获该部分是关于所以如此许可的东西，所以允许从A到B允许推断的任何其他命题通过A∈B（参见Franks 2021）。

要采取另一个例子，考虑推断a∧b⊢a和a∧b⊢b。 一个人可能会认为这些是逻辑的结合的最终：要知道aïb是一个立即推断A和B的位置。如果是这样，那么只需在立即推断A和B的位置就足够了，允许一个人结束a∧b：对于所有C，如果c⊢a然后c⊢b，然后c⊢a∧b。 在这里，Gentzen标记了第一对推断的消除规则，后者的推论它的引入规则。

绅士的自然扣除系统是介绍/终端对规则的逻辑的展示，与Modus Ponens和Deptogation定理有关，提供每个逻辑粒子的推理定义。 他的命题逻辑自然扣除制度具有本成对的命题连接⊃，∧，∨和¬，他呈现在二维推理数据中：

a⊃bab⊃elim[一个]⋮ba⊃b⊃introa∧baa∧bb∧elimaba∧b∧introa∨b[一个]⋮c [b]⋮cc∨elimaa∨bba∨b∨intro¬aa⊥¬elim[一个]⋮⊥¬�¬intro

请注意，arity-0连接⊥在规则中的外观，它没有自己的推动定义。

自然扣除证明是通过迭代这些规则构建的树木。 当通过应用规则的应用中排出所有假设时，据说树的单根节点中的公式被证明; 否则，据说据说是从在叶节点处保持打开的一组假设。 当A有自然的扣除证明时，让我们写下ND A.

绅士观察到具有介绍/ eLIM的天然扣数，即连接的intro，∧，∨和¬和¬和¬和¬和¬，并且唯一的命题逻辑：nd a oonf = ctta，但例如，=ctta∨¬a，而⧸a∨¬a。 “被排除在中间的法律，直觉主义者拒绝”，格雷斯特写道，“占据了自然扣除的特殊位置”。 Genten的框架透露，在二进制真理函数方面，命题连接的含义的规范与介绍/终端规则方案方面的“推理”规范不合适。 事实上，Johansson于1937年指出，绅士自然扣除的引入和消除规则甚至甚至不能导出析出三段论的规则

a∨b¬ba

这种基本推断，菊花归因于狩猎犬的菊花不能通过单独的¬和∨连接的推论意义合理。 要导出析出三段论规则，需要额外的原始推理图

⊥a（ex falso quodlibet）;

要推导出中间排除的原则，另外还需要双否定规则

¬¬aa。

这些规则可以与引入和消除规则一起使用，以构建用于直觉命题逻辑的自然扣系统ND +⊥a，用于古典命题逻辑的ND +¬¬AA，但是绅士观察到的推论架构“落在介绍/ emim框架之外......”。 （经典命题逻辑通常给予自然扣除介绍ND +⊥a+¬AA，但在该系统中，Ex Falso QuodLibet规则是多余的，因为⊥nd+（¬¬a/ a）b。）

古典和直觉逻辑之间的区别预测了绅士的工作。 但是，凭借其引起的联系的推理定义，自然扣除了新的光线区分：经典，直觉和其他逻辑家可以同意主命结缔组织的定义，他们的逻辑概念之间的差异与之有关的差异像被排除的中间的法律一样可接受的原则，这些原则是独立于联系人的意义。

2.3.2序列结石

在Gentzen的命题序列Calculi中，以不同的方式引进了同样的观点。 这些结石以搜索的形式存在逻辑推断：形式的“γ→δ”的表达，其中希腊字母代表（可能为空的）公式的有限序列。 协调“搜索箭头”→左侧右侧的序列称为前一种和加工。 Sequent Conculus再次与每个命题连接一对规则相关联，这次“左”和“右”规则：

一个，b，γ→δa∧b，γ→δ∧（l）γ→θ，aγ→θ，bγ→θ，a∧b∧（r）一个，γ→θb，γ→θa∨b，γ→θ∨（l）γ→δ，一个，bγ→δ，a∨b∨（r）γ→θ，a¬a，γ→θ¬（l）一个，γ→θγ→θ，¬a¬（r）γ→θ，ab，γ→θa⊃b，γ→θ⊃（l）一个，γ→θ，bγ→θ，a⊃b⊃（r）

在搜索结算中，这些左/正确规则的命题连接函数与另一组结构推理规则一起函数。 古典微积分PK有七个：

γ→θd，γ→θthinning（l）γ→θγ→θ，dthinning（r）d，d，γ→θd，γ→θcontraction（l）γ→θ，d，dγ→θ，dcontraction（r）δ，d，e，γ→θδ，e，d，γ→θexchange（l）γ→θ，e，d，δγ→θ，d，e，δexchange（r）γ→θ，dd，δ→λγ，δ→θ，λcut

PK中的证明是由这些逻辑和结构规则的迭代构建的有限分支树，每个叶节点是形式��→��的基本搜索。 标记为根节点的搜索被称为端部。 当PK证据的结束例子有表单→A，我们写PK A. Gentzen对PK进行了几次观察：

pk a if，且仅在cpc a if，of，ock，nd +（¬¬a/ a）a

如果通过要求搜索箭头的右侧在大多数公式中修改PK，并且相应地重写∨（R）规则

γ→aγ→b∨a∨（r）γ→aγ→a∨b∨（r）

得到的微积分PI是这样的PI A IF，且仅IPC A IF，IF，ock，ock（⊥/ a）a，其中ipc代表了HEYTING的正式扣除系统，用于命题直觉逻辑及其等同物。 （显然，规则交换（R）和收缩（R）在PI中没有发挥作用，可以省略。）

剪切消除定理：如果只需删除规则“剪切”，所得到的Calculi PK和PI-是这样的，那么PK A IF，且仅在PK-A和PI A IF，且仅当，只有（并且只有）A.

所有出现在PK或PI的任何地方的所有公式都是在终序中出现的公式的子级。 （这个“Subficalula属性”显然不会持有PK和PI校样。）

观察2在逻辑学家的方式提供了另一种观点，逻辑人可能不同意原则的有效性，如中间的法律，而不不同意命题结缔组织的含义。 pk和pi的治疗χ和¬是相同的; 它们之间的唯一区别在于推理的背景结构。

观察1允许立即得出结论，关于所谓的逻辑的经典真理功能解释，PK是完整的。 绅士没有得出这个结论，因为他对搜集微积分进行了不同的理解，因为可以证明规则“切割”完全捕捉到逻辑后果的一般概念 - 所以绅士们在1932年展示 - ，观察3，“切割”从PK中可以消除，表明命题连接的左/正确规则是完整的，这意义上是无可可遏的公式的逻辑后果本身与他们来说是无法动工的（参见Franks 2010）。 这种框架完整性的方式具有进一步的优点，即可以说PI以相同的意义完成。

2.3.3 PK和PI的建设性完整性

然而，由于观察4，可以简单地证明通常的意义上的PK的完整性。

证明。 如果公式⋀γ⊃⋁δ对经典真实功能解释有效，让我们调用搜索γ→Δ有效。 随着人们的期望，很容易检查所有PK的规则是否保持有效性。 更令人惊讶地，除了减薄外，相同的规则，在向后读取时保持有效性。 拨打这种推理数字“可逆”。 现在假设其中一个是包含n逻辑连接的搜索γ→Δ。 直接的数学诱导表明，如果γ→Δ是有效的，那么它存在PK证明。 首先假设�= 0（γ→Δ不包含逻辑连接）。 然后必须有一些原子��，它在其前一种和其成功中出现。 显然γ→δ可以通过一系列稀疏和交换推断来证明γ→Δ。 现在具有诱导假设，当�=�时，γ→δ可提供γ=�+ 1。 选择γ→Δ中的任何公式，这些公式不是原子的，并识别其主要连接。 例如，假设它处于γ中，其主要连接是⊃。 然后，我们可以开始从自下而上的校验，使用Aïb作为我们所选公式和θ代表γ删除的公式a⊃b的选定发生：

θ→δ，ab，θ→δa⊃b，θ→δγ→δ⊃（l）交换（l）

由于可处于⊃（l）的可逆性，这棵树的叶子节点都标有含有K连接的有效顺序。 归纳假设保证他们有PK样品。 因此，γ→Δ具有PK。 每个连接的类似参数都适用。 在γ为空的特殊情况下，Δ包含单个（有效）公式，该结构显示PK-A IF = CTTA。 ◻

正如所提到的那样，格子没有介绍这个完整性定理的这个非常简单的版本。 由于他对削减消除感兴趣，作为他的规则完整的表达，他追求这一点，提供了一种精心证明的转型技术。 但是，了解PK的完整性 - 导致替代裁员验证：假设PK A.因为所有基本顺序都是有效的，并且所有PK规则都保留有效性，= CTTA。 但是pk-是完整的，所以pk-a。

在这个完整性论证中隐含结构的思考实际上表明，以这种方式可以测试任意公式的有效性，因此为古典逻辑提供了一个新的决策程序：施工的最终结果将是诸如叶节点表示如何构建的树对γ→δ的伪造解释。

同一参数的版本也适用于PI，不当然 - 以显示它是关于其经典真实功能解释的完整，而是表明它是基于Kripke帧的另一种解释所完成的。 对这种直觉逻辑分析的方法有趣的是，我不需要提前考虑什么样的解释想要展示PI。 只需在算法构建无缺陷的PI证据即将成功，或者指示在直觉案例中应用的伪造解释（参见Takeruti 1987 [2013]）。