命题逻辑（四）

3.非古典解释

经典命题逻辑显然是一个有价值的框架，不仅是组织推理原则，而且为了提供一个相当简单的设置，以便展示基本理论现象，如完整性，正式的一致性，公理独立等。 但是，其系统发展的价值的相当值衡量标准在于沿途偏离古典框架和设计命题连接的替代解释。 我们已经触及了一些适应症：从弗雷格正式扣除系统中排除中间的中间原则的独立性，物料条件的难以分析普通指示情绪的真理条件“...然后”陈述等。我们调查一些命题逻辑最普遍的替代系统。

3.1多值逻辑

我们已经指出了具有大于2的价值的真实功能解释，可用于为公理系统提供独立性证据。 Gödel（1932）定义了一个序列{��} =2∞的N值逻辑，概括了经典解释：

�（¬a）= {0�（一）=�-1�-1otherwise�（a∧b）=最大{�（一），�（b）}�（a∨b）=分钟{�（一），�（b）}�（a⊃b）= {�（b）�（一）＜�（b）0otherwise�（⊥）=�-1

使用=��a（a）= 0，对于从{0,1，...，�-1}到原子公式的所有赋值。

�2只是古典的真理理论。 �3被用来展示Frege第五公理的独立性。 Gödel在一项演示中使用了整个序列，即直觉逻辑在任何有限的真实实际功能解释方面都没有完成。

除了这样的功利主义作用之外，多价逻辑对自己的权利引起了兴趣。 重要的例子是（强且弱）的Kleene 3值逻辑，这意味着将真值值分配给部分递归函数的命题。 其他3个值逻辑被提出为物料有条件的改进，作为对指示性情绪条件的解释（见Cobreros等，2014）。 4值逻辑已被用来模拟包含冲突信息的数据库的计算 - 这里的值与信息状态“true”，“false”，“两个”，以及“既不”（见Belnap 1977）。 格雷厄姆牧师1992年在相关逻辑系统的开发中应用了相同的框架，再次提供有条件语言的形式化。

另一类重要的多价逻辑是无限值的“模糊逻辑”。 这些已被使用，以便对具有模糊术语的命题进行分析，这可以被认为是承认真理程度。

3.2建设性逻辑

我们已经注意到，只需拒绝LEM就会导致与古典解释的微妙偏差：经典真相功能解释落后，但可以保留自然扣除中明显的连接的推理定义。 直观的命题微积分IPC已经过分研究了深度。 其突出特征是：

1.“脱位属性”：仅当IPC A或IPCB.Gödel（1932,1933A）包含IPC具有分离属性的第一个观察结果时，IPCa∨b仅限IPCa∨b的事实。 第一个录制的证据是Gentzen 1934-35，这是PI削减消除的琐碎后果：PI-PROVIPE的唯一方法可以具有端子→a∨b，是最后推断为减薄（R）或∨（r）。 如果推断稀疏（R），则之前的搜索将是→。 因为pi是一致的，这是不可能的。 因此，先前的搜索必须是→a或→b。

据猜测，IPC可以表征为具有脱位属性的最强的命题逻辑（较弱的逻辑是Johansson的MPC的一个例子，对应于自然扣除ND的纯粹系统）。 1957年，Kreisel和Putnam研究了“房地独立”推断

¬a⊃（b∨c）（¬a⊃b）∨（¬a⊃c）

并观察到这一点

¬a⊃（b∨c）的IPC⧸（¬a⊃b）∨（¬a⊃c）

虽然逻辑KP = IPC + Indprem也具有Disjunction属性。 今天，众所周知，IPC和CPC之间存在无限的不同逻辑系统，其中许多无数有脱位性。

2.真实功能的失败：直观地了解直观主义是用建设性验证的概念取代真理的理想理念。 一些作者建议在命题情况下，这可能导致3值逻辑：一个值，指示语句是建设性验证的，另一个值表明它已被建设性地驳斥，以及指示何种情况下的第三个值。 这似乎至少符合IPC的拒绝lem。 但是，由于只有少量的3值语义环境，其他人能够排除这种可能性的这种可能性。 这导致猜测合适的语义可能有价4或可能5.Gödel的1932年证明规定了任何有限价的所有真实功能解释。

由于真实功能的失败，需要一个了解IPC有效性的新框架。 已经介绍了足够的拓扑，代数和Kripke帧语义，并且完整性结果展示了这些框架和各种证明系统之间的对应关系。 我们已经表明，IntuitionSing序列微积分PI关于KRIPKE帧的完整性论点是PK的简单建设性完整性定理的变化，相对于经典的真理理论。 同样，参数表明PI是可解析的：给定公式A，算法返回A或伪造的Kripke帧的PI证明。

还有一个非正式的，直观地了解IPC理论，称为BHK解释。 根据这种解释，分离属性是∨符号定义的正式模拟：a∨b证明只是意味着已证明A或B. 以一种类似的方式，有一个a∧b的证据意味着已经证明了a和b; A 1B的证据是允许任何将A证据转换为B的证据的结构; ¬A的证据是一种允许将A证明待转化为⊥的证据的结构。 在结缔组织的含义的规范中，“可证明”是指任何手段的非正式可证明，而不是在特定系统内的正式证明。

因为BHK解释指定，而不是像a∨b和a⊃b等表达式的表达式，但它意味着说这样的表达式是可提供的，而且通常称为“暗示”运算符在直觉设置中称为“暗示”操作员。 这有时误读了随着条件结缔组织与含义关系之间的经典区别而异。 但是，正如我们所看到的，在古典概念上，表达⊢a⊃b表示含义，即，每个任务都有条件索赔的真实性。 然而，在直觉的概念上，连接措施以符合它们所规范的表达方式的意味着意味着什么。 与相关性逻辑中的连接的理解相同的概念图，其中⊃通常被描述为一种含义操作者（其经典治疗是为了接受“物质意义的悖论”，而不是“物质条件化的悖论”。）

3. IPC的醒目特征是存在的推理规则，如不可导出的indprem

¬a⊃（b∨c）的IPC⧸（¬a⊃b）∨（¬a⊃c）

但是，尽管如此，保留了IPC的财产。 这些规则的其他例子是

（a⊃b）⊃（a∨c）（（a⊃b）⊃a）∨（（aəb）⊃c）薄荷的规则（¬¬a⊃a）⊃（¬¬¬¬a¬a）¬¬a∨¬a

是否有权说这些规则是直观推理的有效模式？ 这个问题是一种暧昧的典型逻辑的方式脱敏。 因此，可以在CPC本身中派生保留作为经典有效性的属性的任何规则。 其申请的规则所关闭的规则已关闭其申请组合延长了IPC衍生规则导致新概念：前规则称为“可接受”。 引诱逻辑的直觉研究从而揭示了在决定性有效性的基本概念中的基本区别，在法律许可与定理的合法推论和它也适用于任意假设之间。

由于从直觉角度来看对逻辑结缔组织的原始理解是符合含有它们的陈述的条件，因此可能并且许多提交人认为，可否受理是概念的概念对IPC的概念。 另一方面，将IPC与MPC区分开了什么，是exfalso QuodLibet的规则的衍生能力。 该规则（以及析出三段论）已在MPC中受理，因此在IPC中的衍生推断中明确地将其列为它的决定表明了一些识别终端的重要性。 绝对可以说的是，衍生能力和可否受理之间的区别在建设性逻辑中是重要的，以便它不在CPC中。

4.在IPC中可以推出三个De Morgan推论，但推理¬（a∧b¬a∨¬b是不可能的。 因此，IPC用作背景理论，可以测量该推理的强度。 人们可能会猜测IPC +¬（a∧b¬a∨¬b是完全古典的，但实际上这个系统仍然不证明lem。 然而，它确实证明了被排除的中间（WLEM）的所谓的弱法律：¬a∨¬¬a。 此外，所有De Morgan的推论都可以在IPC + WLEM中衍生，因此可以说WLEM和¬（A 1B）¬a∨¬b在基础理论上等同于基础理论。 逻辑IPC +¬（a∧b¬a∨¬b有时被称为de morgan逻辑或jankov的逻辑，占据IPC和CPC之间的系统中间的系统层次结构中的一个独特的位置。 它在Medvedev晶格中具有自然实现，可解性。 该设置是Baire空间��（来自�到�的函数集）以及生产该空间子集的一个元素的问题。 Baire空间的子集称为质量问题，它们的元素称为解决方案。 如果有一种有效的程序将第二种解决方案转换为第一的方法，则据说一个质量问题减少到另一个块状问题。 如果一个定义质量问题的重复度的晶格�，则�的一组身份对应于定理默诺逻辑（Sorbi 1991）的集合，因此质量问题理论提供了对该逻辑的建设性解释。 （这就像交换电路的建设性模拟，交换电路是CPC的实现。）与IPC不同，在De Morgan逻辑中不可允许的规则很大（Prucnal 1976）。 因此，人们认为WLEM，站在完整的LEM的地方，允许建设性的解释，而不会表现出无法允许的允许规则。

5.我们已经观察了Gentzen Calculi如何突出IPC和CPC之间的某些关系。 Kolmogorov，Glivenko，Gödel，Gentzen的翻译方案在这些和其他系统之间发出了明显的其他关系。 我们从ValériiGlivenko（1929年）的结果开始：

定理6.如果cpc a，则ipc¬¬a。

证明。 首先遵守关于ND +⊥a的三个简单事实，IPC的自然扣除当量：

v1nd +（⊥/一个）¬¬（b∨¬b）

v2¬¬bnd+（⊥/一个）+（c∨¬c）b

v3¬¬¬bnd+（⊥/一个）¬b

对于主定理的证明，假设CPC A.然后通过V2我们具有ND +（⊥/ a）+（c∨¬c-c）a，因此在Nd +⊥a+（c∨¬c-c）中的证明：

p1∨¬p1⋱p2∨¬p2⋱⋯⋅⋅⋅p�∨¬p�⋅⋅⋅a

作者，v1，存在nd +⊥aproofs：

⋱⋅⋅⋅¬¬（p1∨p1）⋱⋅⋅⋅¬¬（p2∨p2）...⋱⋅⋅⋅¬¬（p�∨p�）

从这些件中可以构建一个nd +⊥aproof：



完成主要定理证明。 ◻

我们观察两个有冠辞：

V4IFCPC¬A，然后是IPC¬A。

这是从主要定理和v3的立即进行的。

只有在IPC是时，v5cpc才不一致。

对于CPC不一致，则存在公式A，使得CPC A和CPC¬A。 但是IPC¬¬A和IPC¬A。

Glivenko的定理提供了一个简单的翻译�v的古典逻辑，直觉逻辑被�v（a）=¬¬A¬¬A¬A¬A¬A¬A¬A¬A¬A¬A¬A¬A¬A¬A¬A¬mby，cpc a if，only ipc�v（a）是一个翻译。）。 这种翻译是有限的，因为它不会延伸到量化理论。 Kolmogorov（1925）提供了一个变化�k，如下：

对于所有命题变量，�k（�）是¬¬�

�k（¬a）是¬�k（一）

�k（b∧c）是¬¬（�k（b）∧�k（c））

�k（b∨c）是¬¬（�k（b）∨�k（c））

�k（b⊃c）是¬¬（�k（b）⊃�k（c）

Gödel/ Gentzen（1933）翻译�g是由以下定义的：

�g（�）是¬¬�，所有命题变量

�g（¬a）是¬�g（一）

�g（b∧c）是�g（b）∧�g（c）

�g（b∨c）是¬（¬�g（b）∧¬�g（c））

�g（b⊃c）是�g（b）⊃�g（c）

很容易显示CPC A IF，且仅ipc�k（a），如果，并且仅ipc�g（a）。 与�v不同，Kolmogorov和Gödel/ gentzen的方案可以扩展到量子。 后者可以进一步扩展到算术和设定理论的理论（参见Troelstra＆Van Dalen 1988）。

1933年，Gödel与IPC提供了类似的转换到模态逻辑S4。 S4是补充具有新的基态符号的CPC，因此如果A是公式，则◻a是公式，这是一种新的推理规则

a◻a

和三个新的公理

◻a⊃a

◻a⊃（◻（a⊃b）⊃◻b）

◻a⊃◻◻a

哥德尔将公式的翻译�◻从IPC划分为S4的语言：

�◻（¬a）是◻¬◻�◻（一）

�◻（a⊃b）是◻�◻（一）⊃◻�◻（b）

�◻（a∨b）是◻�◻（一）∨◻�◻（b）

�◻（a∧b）是◻�◻（一）∧◻�◻（b）

并陈述，没有证据：

（*）IPC A IF，且仅IF，S4�◻（a）。

Gödel进一步宣称，“a∨¬a的翻译在S4”中也不导出，也是一般的“◻a∨◻b的任何条式◻a∨◻b中已经可以在S4中可以提供”：

（**）◻a∨◻b仅在S4◻a或S4◻b时

（*）和（**）在一起显然需要IPC的分解财产。

3.3相关性和连接性逻辑

回归近似自然语言表达的问题，一些作家提出通过规定形式a⊃b命题的真实条件规定更强的条件来克服材料的明显不足。 相关性逻辑管理员建议材料有条件展示的许多功能似乎像扬声器的直觉那样脱离有条件表达的真实性，这些特征源于对其前所未有的条件的真理的ascriptions性。 作为确保相关性的正式措施，他们提出了“可变分享条件”。 然而，变量共享通常被认为只是相关的必要条件，并且正在进行描述足够的正式条件的项目。

Connexive Logicians的目标是为了使有条件陈述成为真实的直觉，因此与其前所未有的否定应该不相容。 对条件陈述的真相的这一要求具有一个强大的历史，出现在支持哲学家Chrysippus和Sextus的逻辑手稿中，并且在菲律的相反意见时明显地获得了更多的支持Melaga。 在现有的分析中已经出现了相关的想法，亚里士多德声称，如果不是A，那么A.这是“亚里士多德的论文”，可以形式化为¬（¬a⊃a），这显然是无效的经典和直觉地。 有时而不是公式¬（a⊃¬a）被称为亚里士多德的论文。 连接性逻辑系统作为公理，以及原理（a⊃b）⊃¬（a⊃¬b）和（a⊃¬b）⊃¬（a⊃b），其旨在将归因于上述Chrysippus的原始思想正规。 （这些后两项原则是在基础理论IPC的基础理论上，有亚里士多德的论文）。

通过纳入经典无效的定理原则，由于CPC的最大性，这种逻辑风险差异化。 一些方法通过拒绝自然扣除的∧消除规则等经典原则来解决这个问题，从而避免任何公式及其否定是定理的。 其他方法是“滞后”，即，它们允许定理A和¬A，但不允许从这种矛盾推导任意公式。 与上述4值的真实作业常见的方法往往是可解释的。

3.4线性逻辑

如果古典框架的许多出发是通过想要研究常规语言表达式的真实条件的基础，而是通过普通语言表达的真理条件的激励，可以认为是沿相反方向的推动的线性逻辑（在Girard 1987中引入）。 尽管（可能是甚至是因为甚至是因为甚至是因为）缺乏与普通的“......然后”逻辑理论的原因陈述的逻辑意义，可以被认为是在正式逻辑的精细结构中发现线性逻辑，以缺乏普通的“......那么”的逻辑意义。发挥特定的推理跟踪角色，即普通表达式可能太原油以表达。

我们之前看到的顺序微积分在经典和直觉逻辑中的不同不包括在推理规则中的引导规则，而是在推理的背景结构中 - 具体地，在成功的情况下在存在或不存在多种配方中。 通过调整对推理的其他结构方面的调整，进一步分析这种关系。 众所周知，PK的操作规则可以以“上下文共享”或“无关”形式写入。 运营规则在上面进行了上下文共享演示文稿，但规则

γ→θ，ab，γ→θa⊃b，γ→θ⊃（l）-cs

可以改为可以获得与上下文相关的演示文稿：

γ→θ，ab，δ→λa⊃b，γ，δ→λ，θ⊃（l）-ci

这些演示文稿的等价易于验证：

= A 1B，γ→θγ→θ，AB，γ→θa⊃b，γ，γ→θ，θ⊃（l）-ci}交换和收缩=γ，Δ→λ，θ，Aγ→θ，a}薄荷和交换{= b，γ，δ→λ，θb，δ→λa⊃b，γ，δ→λ，θ⊃（l）-cs

但我们看到他们的等价取决于结构规则变薄和收缩的存在。

在命题线性逻辑中，有两个相同的操作员，⊗和＆＆＆＆＆，以及两个不关联的运算符⊕和＆。 ⊕给出了一个上下文共享左规则和正确的规则，与“内置变薄”类似于∨（r）的直觉版本。 它是它的结构双重：其左规则是独立的上下文，其正确的规则就像经典∨（r）。 同样，⊗（r）是独立于上下文的，并且⊗（l）就像经典∧（l）一样，而（r）是上下文共享和（l）建立在变薄中。 带有上下文共享规则的连接＆和⊕称为“添加剂”; ⊗和与上下文相关的规则称为“乘法”。 但没有用于稀释和收缩的结构规则，因此添加剂和乘法规则不等同。