逻辑构造（一）
1. 诚实的辛劳
2. 逻辑分析和逻辑构造
3. 自然数
4. 明确描述
5. 类
6. 级数、序数和实数
7. 数学函数
8. 命题和命题函数
9. 物质、空间和时间的构造
10. 从逻辑构造到测量理论
11. 逻辑构造的后继者
参考书目
主要文献：罗素的作品
主要文献：怀特黑德的作品
主要文献：N. 维纳的作品
次要文献
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相关条目
1. 诚实的辛劳
罗素 1924 年列表中最早的构造是著名的“弗雷格/罗素定义”，即 1901 年的数字是等数类的类（罗素 1993， 320) 这个定义沿袭了上个世纪为微积分提出的极限和连续性概念的定义。罗素并不满足于采用皮亚诺-戴德金公理作为自然数论的基础，然后展示如何从这些公理中逻辑地推导出数的性质。相反，他定义了“数”、“后继”和“0”的基本概念，并提出通过精心选择的逻辑概念定义来表明，这些公理可以仅从逻辑原理中推导出来。
罗素将自然数定义为等数类的类。任何一对（有两个成员的类）都可以与任何其他对建立一一对应关系，因此所有对都是等数的。数字二于是被等同于所有对的类。当等数类之间存在这种一一映射时，它们之间的关系称为“相似性”。相似性仅根据量词和身份的逻辑概念来定义。有了如此定义的自然数，皮亚诺公理就可以仅通过逻辑手段得出。在自然数之后，罗素将“系列、序数和实数”（1924，166）添加到他的构造列表中，然后以物质的构造结束。
罗素将 A. N. 怀特海德 (A. N. Whitehead) 于 1914 年采用的解决方案归功于他所采用的感知数据与物理学的关系问题：
我的朋友兼合作者怀特海德博士让我意识到了这个问题的重要性，这里所提倡的观点与《哲学问题》中所提出的观点之间的几乎所有差异都是由他造成的。我对点的定义、对瞬间和“事物”的处理建议以及将物理世界视为构造而非推理的整个概念都归功于他。（罗素 1914b，vi）
直到后来，在罗素反思其哲学的一篇文章中，他也将他早期的逻辑提议描述为“逻辑构造”。在《逻辑原子论》一文中，首次具体阐述了这种用构造代替推理作为哲学中的一般方法的方法：
怀特海德博士和我根据经验发现，一个非常重要的启发式准则适用于数理逻辑，并且此后应用于其他各个领域，它是奥卡姆剃刀的一种形式。当一些假定实体具有清晰的逻辑属性时，在很多情况下，假定实体可以被由不具有这种清晰属性的实体组成的纯逻辑结构所取代。在这种情况下，在解释迄今为止被认为是关于假定实体的命题时，我们可以替换逻辑结构而不改变所讨论命题的任何细节。这是一种经济，因为具有清晰逻辑属性的实体总是被推断出来的，如果出现这些实体的命题可以在不进行这种推断的情况下进行解释，那么推断的基础就不成立，我们的命题主体就无需采取可疑的步骤。该原则可以表述为：“只要有可能，就用已知实体的构造来代替对未知实体的推断”。（罗素 1924，160）
罗素在《数学哲学导论》中经常引用的这段话中提到了逻辑构造。他反对引入具有隐含定义的实体，即那些遵循某些公理或“假设”的事物：
“假设”我们想要的东西的方法有很多优点；它们与盗窃相对于诚实劳动的优点相同。让我们把它们留给别人，继续我们的诚实劳动。（Russell 1919，71）
他指责我们需要证明存在任何满足这些公理的对象。这里的“辛苦”是制定数字定义的工作，以便仅使用逻辑推理就可以证明它们满足公理。
将逻辑构造描述为“不完整符号”源于使用上下文定义，这些定义为每个可能出现定义符号的句子提供分析或替代。定义没有给出明确的定义，例如一边是定义表达式的等式，另一边是定义项，或者给出单独应用该术语的必要和充分条件的通用陈述。虚构与用“不完整符号”表达之间的联系可以从罗素通过类理论构造有限基数和序数中看出。通过对类术语的上下文定义，“无类”理论使所有数字都成为“不完整符号”，因此数字可以被视为“逻辑虚构”。
构造和逻辑虚构的概念一起出现在罗素“逻辑原子论哲学”讲座的这个叙述中：
你发现，某个被设定为形而上学实体的东西要么可以被武断地假定为真实的，那么你就无法论证它的现实性或反对它的现实性；或者，你可以构造一个逻辑虚构，它具有相同的形式属性，或者更确切地说，具有与假定的形而上学实体形式类似的形式属性，并且它本身由经验给定的事物组成，并且逻辑虚构可以替代你假定的形而上学实体，并将实现任何人想要的所有科学目的。 （Russell 1918，144）
不完整的符号、描述、类别和逻辑虚构在讲座前面的以下段落中相互等同，然后与“日常生活中熟悉的物体”等同：
除了描述之外，还有许多其他类型的不完整符号。有类别……以及外延的关系，等等。这种符号集合实际上与我所说的“逻辑虚构”相同，它们几乎涵盖了日常生活中所有熟悉的物体：桌子、椅子、皮卡迪利、苏格拉底等等。它们中的大多数要么是类别，要么是系列，要么是类别系列。无论如何，它们都是不完整的符号，即它们是仅在使用中有意义而本身没有任何意义的集合。（Russell 1918，122）
在下文中，将解开这些逻辑构造的各种特征。结果似乎是一系列相互关联的分析，它们至少在某个方面有相似之处。共同点是，在每种情况下，一些以前必须在公理中假设的正式或“简洁”的对象属性现在可以作为定义的逻辑结果推导出来。根据定义的形式，被替换的实体可能是“虚构”、“不完整符号”或仅仅是“构造”。
2.逻辑分析与逻辑建设
将Russell的逻辑结构视为逻辑分析开始的方法的逆转操作的乘积是错误的。 分析实际上是罗素的现实主义和原子哲学的独特方法，施工方法仅出现在后面。 拉塞尔的新哲学在十九世纪末（拉塞尔1956,11-13）的剑桥哲学中普遍的自觉地自觉地反对。 拉塞尔首先需要捍卫分析过程，并争论复杂实体实际上“有机团体”的理想主义者的观点，并且对这些团体的任何分析失去了一些东西，因为口号是“分析是伪造的”。 （1903，§439）我们分析的主题是现实，而不是仅仅是我们自己的想法：
所有复杂性都是概念性的，即它是由于整体能够逻辑分析，而是真实的意义上，它没有对心灵的依赖，而是只在对象的性质上。 在思想可以区分元素的地方，必须有不同的元素来区分; 虽然，唉！ 脑子通常不会区分不同的元素。 （1903，§439）
作为现实的最终成分是逻辑分析所发现的，逻辑结构不能成为逆转操作，因为通过将物品撤消回到一起撤消分析，只返回我们到我们开始的复杂实体。 那么是构建已经分析的内容的重点？
分析与建设之间的区别刻意侧行弗雷格斯和罗素学者对分析性质的重要探讨。 在他的算术（1884，§64）的基础上举办了弗雷格，也可以分析关于数量的标识的一个主张，作为类别的相似性。 他以不同的方式描述了这一点是“重新处理”一个和相同的内容。 后来的弗赖格断言，可以以不同方式将函数应用于参数的结果来观看相同的思路。 作为思想的逻辑形式是将概念应用于参数的结果，这意味着将不同的逻辑表格分配给同一思路。 解决与Frege着名的成分作用论文的明显冲突，思想是从其成分建立起来的，即通过和大遵循其句法形式，Michael Dummett（1981，第15章）区分了两种分析概念Frege，一个作为“分析”正确，另一个是“分解”。 Peter Hylton（2005,43）认为，罗素存在有问题的分析概念，据说含有明确描述的句子具有分配给它们的复杂量化结构，“on denoting”（1905）为他们“真实的结构”。 在他对（2007,8）的介绍中，迈克尔Beaney在他对讨论罗素这种区分的重要性的论文中提供了“分解”和“转型性”的两种分析。 詹姆斯莱丁声称，实际上，该项目的第一种形式的分析，该项目是找到命题的最终成员，属于罗素早期的“Moorean分析”的早期项目。 事实上，到数量作为班级班级的数量，拉塞尔已经采用了莱文呼叫“罗素的PELOPO分析”。
这种辩论肯定与弗雷格哲学的研究以及与罗素作为一个运动的创始人的角色的联系，但它可能与拉塞尔自己的术语与“分析”的术语保持不同。 虽然彼得希森在他的“参考”（1950）中为Russell的“分析”是明确的描述，但事实上，术语不会出现在“on denoting”中。 Russell指的是他的“理论”的描述，并承认这不是一个提案，即将被这样的句子所达成的是我们一直意味着什么，而是说出他的稍微复杂的量词和身份符号：
这可能看起来有点令人难以置信的解释：但我不是一个礼物的理由，我只是陈述了这个理论。 （罗素1905,482）
然后他继续通过“处理”三个谜题，捍卫他的理论，包括“当前法国的本国秃头”是真实还是假的着名例子。 在没有意义上，他呼吁在发出其中一个句子时可能想到的发言者。 由于这些事实，似乎罗素的方法最好是通过类比来最好地了解科学理论的逻辑方法。 在这种模型上，“逻辑分析”的结果将是定义和原始命题或公理，从中可以通过逻辑推断来源的正式科学理论的规律。 将一个理论的减少到另一个理论包括使用还原理论的语言重写目标理论的公理，然后证明它们作为该减少理论的定理。 然后，建设是最好被视为选择定义的过程，以便可以派生以前原始语句作为定理。 （见Hager 1994和Russell 1924.）
这幅图景与这种以语言为导向的“理论建构”概念最为契合，而非哲学分析项目。它也遵循了数学传统中建构概念的使用。欧几里得在每次论证之前都会“建构”一个图形，该图形会出现在接下来的证明中。戈特洛布·弗雷格在他的《算术基本定律》（1893 年）中的每一次证明都以“分析”开始，非正式地解释定理中使用的概念和推导策略，然后是实际的、无间隙的证明，这被称为“建构”。因此，从历史上看，没有将建构视为分析阶段之后的综合阶段的概念，因为这两个过程具有可比性质，但方向相反。
即使用理论建构的阶段来描述，分析和逻辑建构也不只是简单的逆向操作。罗素强调，在分析中发现和区分的对象是“真实的”，它们之间的差异也是“真实的”。因此，对定义和原始命题的“选择”存在限制。在罗素列举的逻辑构造的各种情况下，演绎系统与现实本体之间的关系有所不同。分析命题和“复合体”（如事实）是为了找到它们所组成的真实对象和关系。另一方面，逻辑构造会产生一种理论，真理通过逻辑推理得出。逻辑构造产生的演绎系统的一部分真理只是一些需要分析的“前理论”真理的“重构”。只有它们的演绎关系，特别是它们从理论公理中推导出的可推导性，才与构造的成功有关。逻辑构造并不能捕捉到人们开始的理论前实体的所有特征。
人们对逻辑构造的大部分关注都集中在它是否是一种统一的哲学方法论，将引入罗素在 (Russell 1914b) 的副标题中所说的“哲学中的科学方法”。从弗里茨 (1952) 到塞恩斯伯里 (1979) 的评论家都否认罗素的各种构造符合统一的方法论，并质疑“虚构”和“不完整符号”语言是否适用于所有例子。然而，下面将展示构造如何落入几个自然家族，这些家族可以用这些术语中的各种术语以相当高的准确度来描述。
3. 自然数
罗素将自然数定义为相似或等数类的类，首次发表于 (Russell 1901)，这是他的第一个逻辑构造，也是后来的模型。相似类是那些可以通过某种关系一一映射到彼此的类。 “一对一关系”的概念是用逻辑概念定义的：当对于每个 x� 都有唯一的 y� 使得 xRy�R�，并且对于 RR 范围内的每个这样的 y� 都有唯一的 x� 时，RR 就是一对一。这些存在性和唯一性的概念来自逻辑，因此数字的概念仅根据类和逻辑概念来定义。罗素在《数学原理》中宣布了他的逻辑主义纲领的目标：“证明所有纯数学都只处理可以用极少数基本逻辑概念定义的概念，并且它的所有命题都可以从极少数基本逻辑原理中推导出来……”（罗素 1903，xv）。如果类也被证明是一个逻辑概念，那么这个定义将完成自然数数学的逻辑主义纲领。
朱塞佩·皮亚诺 (Peano 1889, 94) 曾陈述过初等算术的公理，后来由罗素 (Russell) (1919, 8) 表述如下：
0 是一个数字。
任何数字的后继都是数字。
没有两个数字有相同的后继。
0 不是任何数字的后继。
如果一个属性属于 0，并且每当它属于 x� 时就属于 x� 的后继，那么它就属于每个数字。
对于皮亚诺来说，这些是数字公理，它们与类和命题的公理一起描述了这些实体的属性，并导致推导出表达这些实体其他重要属性的定理。
理查德·戴德金 (Dedekind 1887) 也曾使用 链 的概念列出了具有类似公理的数的性质， 链 是一个无限的集合序列，每个集合都是下一个集合的子集，它是有序的，具有自然数的结构。戴德金随后证明了归纳原理 (上面的公理 5) 适用于链。 (参见 Dedekind 条目)。尽管罗素认为“最值得注意的是，戴德金先前的假设足以证明这个定理”(Russell 1903, §236)，但他比较了皮亚诺和戴德金的两种方法的简单性以及他们处理数学归纳法的不同方式，并得出结论：
但从纯逻辑的角度来看，这两种方法似乎同样合理；需要记住的是，有了基数的逻辑理论，皮亚诺和戴德金的公理都是可以证明的。 （Russell 1903，§241）
当罗素后来谈到“‘假设’方法”时，他想到的正是皮亚诺和戴德金，他将他们的方法相对于构造的“优势”比作盗窃相对于诚实劳动的优势。
为了完成他的项目，罗素需要找到定义和一些“非常少量的基本逻辑原理”（Russell 1903，xv），然后进行所需的推导。只有通过“无类理论”找到类的充分定义以及推导数字和类的属性所需的逻辑原理，才能完成《数学原理》（Whitehead and Russell 1910-13）。这种数字构造是一个明显的例子，将实体定义为其他实体的类，以便能够将某些属性证明为逻辑定理，而不必依赖假设的盗窃。然后，罗素利用来自描写理论的语境定义手段消除了类别，将命题函数的逻辑概念作为基础，从而表明类别原理是逻辑的一部分。
4. 明确描述
明确描述是罗素将其描述为“不完整符号”时所想到的逻辑构造。另一方面，“逻辑虚构”的概念最直接适用于类。其他构造，例如关系的定义域和值域的概念，以及对算术发展至关重要的一对一映射的概念，只是在间接意义上“不完整”，因为它们被定义为某种类型的类，而这些类又是构造。
罗素的描述理论是在他发表在《心智》杂志上的论文《论表示》（罗素 1905）中提出的。罗素的理论提供了“F 是 G”形式的句子的逻辑形式，其中“F”被称为明确描述，而“F”则是不明确描述。分析表明，“F� 是 G�”等价于“有且只有一个 F� 并且它是 G�”。有了这个解释，可以仅使用量词和身份逻辑来推导出描述的逻辑属性。《数学原理》∗14 中的定理表明：（1）如果只有一个 F�，则“F� 是 F�”为真，如果没有，则“F� 是 G�”始终为假，然后，（2）如果 F=G�=�，且 F� 是 H�，则 G� 是 H�。这些定理表明，适当的（唯一指称的）描述表现得像专有名词，即逻辑的“单称项”。其中一些结果存在争议——斯特劳森 (1950) 声称，“法国现任国王是秃头”这句话应该没有真值，因为法国现任国王并不存在，而不像罗素理论所预测的那样“明显”是假的。罗素在 (Russell 1959, 239–45) 中对斯特劳森的回复有助于理解罗素的哲学方法论，而逻辑建构只是其中的一部分。然而，只有通过评估建构的逻辑后果才能对其进行判断，因此斯特劳森以适当的方式挑战了罗素。
