模型理论（一）

1.模型理论的基本概念

2.模型 - 理论定义

3.模型 - 理论后果

4.表达力量

5.模型和建模

6.模型理论作为哲学问题的来源

参考书目

学术工具

其他互联网资源

相关条目

1.模型理论的基本概念

有时我们写或说出一个句子，无论是真假的什么都不表达，因为缺少了一些关键的信息是什么意思。 如果我们继续添加此信息，那么S表达了一个真假的陈述，我们被称为解释S，所添加的信息被称为S.如果我恰好的解释是为了使S说明真实，我们就是我的模型，或者我是一个满足s，符号'i⊨s'。 另一种说明我是一个模型的方式是说，我在我身上是真的，所以我们有模特理论真理的概念，这是特定解释中的真理。 但是，人们应该记住，在我被解释为我的情况下，声明是真实的，这是一个令人难以置信的是真实的'; 所以模型 - 理论真理是寄生在普通的普通事物上，我们可以随时释放它。

例如，我可能会说

他正在杀死他们所有人，

并提供“他”是“他”是35岁的新月，Beetleford的alfonso，并且“他们”是他鸽舍的鸽子。 此解释解释（a）某些表达式的对象是指的，（b）一些量程器范围内的类别。 （在这个例子中，有一个量词：'所有这些'）。 由项目（a）和（b）组成的解释通常在模型理论中非常出现，并且它们被称为结构。 模型理论的特殊类型使用特定类型的结构; 例如，数学模型理论倾向于使用所谓的一阶结构，模型逻辑模型理论使用克莱波斯结构等。

前一段中的结构I涉及一个固定对象和一个固定类。 由于我们今天描述了这一结构，因此班级是Alfonso鸽舍的鸽子今天，而不是明天会来取代它们的鸽子。 如果Alfonso Arblaster今天在他的鸽舍里杀死了所有的鸽子，那么我今天满足了引用的句子，但明天不会满足它，因为Alfonso无法两次杀死同一鸽子。 根据您想要使用模型理论的内容，您可能很乐意评估今天（默认时间）的句子，或者您可能希望一次录制它们是如何一次满足的，而不是另一个时间。 在后一种情况下，您可以相对于模型的概念并写出“i⊨ts”表示我是时刻t的模型。 这同样适用于句子中其他隐式索引特征可能被拾取的其他内容。 例如，如果您相信可能的世界，您可以在要评估句子的可能世界中索引⊨。 除了使用集合理论之外，模型理论完全不可行，关于存在什么类型的东西。

请注意，某个结构中的对象和类携带标签将它们转向句子中的正确表达式。 这些标签是结构的重要组成部分。

如果使用相同的类来解释所有量化器，则该类称为结构的域或Universe。 但有时候有量词范围在不同的课程上。 例如，如果我说的话

其中一个毫不犹豫的疾病正在杀死所有的鸟类。

您将寻找一种解释，将一类疾病分配给“那些东西疾病”和一类鸟类“鸟类”。 据说，给出不同量化器的两个或更多个类别的解释被认为是多种排序的，并且课程有时被称为排序。

如果我们从句子S开始，那么上面的想法仍然有用，这确实会说某些东西是真或假的而无需进一步解释。 （模型理论家说，这种句子完全被解释。）例如，我们可以考虑一个完全解释的句子的误解我的误解，这使得这使得它的误解被称为非标准或意外的S.数学分支的非预期或意外模型。被称为非标准分析基于关于真实或复杂数字系统的数学陈述的非标准模型; 请参阅下面的第4节。

人们还谈论了自然语言的模型 - 理论语义，这是一种描述自然语言句子的含义的方式，而不是一种给予他们意义的方式。 该语义与模型理论之间的连接是一点间接的。 它在于Tarski的真相定义为1933年。有关更多详细信息，请参阅Tarski真实定义的条目。

2.模型 - 理论定义

句子将所有可能的解释分为两类，那些是它的模型的课程以及那些不是的类。 通过这种方式，它定义了一个类，即所有模型的类，写入mod（s）。 要采取法律例子，这句话

第一人称将该财产转移到第二个人，他们持有该财产以获得第三人的利益。

定义一类采用标记为4元组的结构，例如（在左侧写入标签）：

第一个人= alfonso arblaster;

酒店= Alfonso House背后的遗弃土地;

第二个人=约翰·迪亚;

第三人=理查德罗。

这是一个典型的模型定义定义，定义了一类结构（在这种情况下，律师称为信托的班级）。

我们可以将模型 - 理论定义的想法从单一句子S扩展到一个句子; mod（t）是所有解释的类，这些解释是T的所有句子的模型。当使用这种句子的句子以这种方式定义一个类时，数学家表示，T是一个理论或一组公理，并且那个是一个公开的class mod（t）。

举例为以下一组一阶句子：

∀x∀y∀z（x +（y + z）=（x + y）+ z）。

∀x（x + 0 = x）。

∀x（x +（ - x）= 0）。

∀x∀y（x + y = y + x）。

这里，标签是附加符号'+'，减号' - '和常量符号'0'。 解释还需要为量词指定域。 通过一个省，这组句子的模型正是数学家被称为阿比越亚群体的结构。 附带条件是，在abelian组A中，域应包含符号0的解释，并且应该在符号+和 - 的解释下关闭它。 在数学模型理论中，一个构建该条件（或用于其他功能的相应条件和恒定符号）到结构的定义中。

每个数学结构都与特定的一阶语言相关联。结构包含某些谓词、函数和常量符号的解释；每个谓词或函数符号都有固定的元数。这些符号的集合 K 称为结构的签名。签名中的符号通常称为非逻辑常量，它们的旧名称是原语。签名 K 的一阶语言是使用 K 中的符号以及等号 = 构建其原子公式的一阶语言。（参见经典逻辑条目。）如果 K 是签名，S 是签名 K 语言的句子，A 是签名为 K 的结构，那么由于符号匹配，我们知道 A 使 S 为真或为假。因此，人们将阿贝尔群类定义为所有那些签名 +、−、0 的结构的类，这些结构是上述句子的模型。除了它使用正式的一阶语言之外，这正是代数学家对阿贝尔群类的通常定义；模型理论形式化了一种在数学中极为常见的定义。

现在，阿贝尔群的定义公理有三种符号（标点符号除外）。首先是具有固定含义的逻辑符号 =。其次是非逻辑常数，它们通过应用于特定结构来获得解释；应该将量词符号与它们分组，因为结构还决定了量词的范围。第三是变量 x、y 等。这种三级符号模式允许我们以第二种方式定义类。我们不是寻找使句子为真的非逻辑常数的解释，而是通过选择特定结构 A 来固定非逻辑常数的解释，并寻找将 A 的元素分配给变量，从而使给定公式在 A 中为真。

例如，让 Z 成为整数的加法组。其元素是整数（正数、负数和 0），符号 +、−、0 具有其通常含义。考虑公式

v1+v1=v2。

如果我们将数字 −3 分配给 v1，将数字 −6 分配给 v2，则该公式在 Z 中成立。我们通过说对 (−3,−6) 在 Z 中满足此公式来表达这一点。同样，(15,30) 和 (0,0) 满足它，但 (2,−4) 和 (3,3) 不满足。因此，该公式定义了整数上的二元关系，即满足它的整数对集。在结构 A 中以这种方式定义的关系称为 A 中的一阶可定义关系。一个有用的概括是允许定义公式使用 A 中某些特定元素的附加名称；这些元素称为参数，然后关系可以用参数定义。

第二种定义，在结构而不是结构类中定义关系，也形式化了一种常见的数学实践。但这次这种实践属于几何而不是代数。您可能认识到实数域中的关系，其定义公式为

v

2

1

+v

2

2

=1。

它是实平面中以原点为中心半径为 1 的圆。代数几何中充满了这种定义。

20 世纪 40 年代，一些人（主要是俄罗斯的 Anatolii Mal’tsev、美国的 Alfred Tarski 和英国的 Abraham Robinson）想到，经典逻辑的元定理可用于证明以我们刚刚描述的两种方式定义的类的数学定理。1950 年，Robinson 和 Tarski 都应邀在马萨诸塞州剑桥举行的国际数学家大会上就这门新学科发表演讲（当时该学科还没有名字——Tarski 于 1954 年提出了“模型理论”这一名称）。罗宾逊在那次大会上的演讲的结论值得引用：

本文中提出的具体例子将表明，当代符号逻辑可以为实际数学的发展提供有用的工具——尽管绝不是万能的工具——尤其是代数的发展，以及代数几何的发展。这是莱布尼茨早在 1679 年写给惠更斯的信中表达的抱负的实现。（罗宾逊 1952，694）

事实上，马尔采夫几年前就已经在群论中对模型论进行了相当深入的应用，但在当时的政治条件下，他在俄罗斯的工作在西方还不为人所知。到二十世纪末，罗宾逊的希望已经充分实现；参见一阶模型论条目。

除了上述两种定义外，模型论中至少还有两种其他定义。第三个被称为解释（我们开始的解释的一个特例）。在这里，我们从结构 A 开始，构建另一个结构 B，其签名不必与 A 的签名相关，方法是将 B 的域 X 和 B 的所有标记关系和函数定义为在 A 中可以通过某些带参数的公式定义的关系。进一步的改进是找到 X 上的可定义等价关系，并将 B 的域视为不是 X 本身而是该关系的等价类集。以这种方式构建的结构 B 被称为在结构 A 中解释。

一个简单的例子，同样来自标准数学，是对结构 N 中整数组 Z 的解释，该组由自然数 0、1、2 等组成，标签为 0、1 和 +。为了构造 Z 的域，我们首先取所有有序自然数对的集合 X（显然是 N 中的可定义关系），并且在这个集合 X 上，我们通过

(a,b)∼(c,d) 定义等价关系 ∼ 当且仅当 a+d=b+c

（同样可定义）。Z 的域由此关系的等价类组成。我们通过

(a,b)+(c,d)=(e,f) 定义 Z 上的加法当且仅当 a+c+f=b+d+e。

(a,b) 的等价类变为整数 a−b。

当结构 B 在结构 A 中得到解释时，关于 B 的每个一阶陈述都可以转换回关于 A 的一阶陈述，这样我们就可以从 A 的理论中读出 B 的完整理论。事实上，如果我们不仅对单个结构 A 进行这种构造，而且对理论 T 的一系列模型进行这种构造，并且始终使用相同的定义公式，那么所得到的结构都将是理论 T′ 的模型，可以从 T 和定义公式中读出。这为理论 T′ 在理论 T 中得到解释的陈述提供了精确的含义。科学哲学家有时会尝试这种解释概念，以精确地说明一种理论可以归结为另一种理论的含义。但科学理论之间归结的现实例子似乎通常比这种简单的模型理论思想所允许的要微妙得多。请参阅物理学中的理论间关系条目。

第四种可定义性是一对概念，即理论中特定关系的隐式可定义性和显式可定义性。请参阅一阶模型论条目第 3.3 节。

不幸的是，曾经有一个关于模型论公理的非常混乱的理论，也被称为隐式定义。到十九世纪末，数学几何学已不再是一门空间研究，而是研究满足某些“几何”公理的结构类别。几何术语如“点”、“线”和“之间”仍然存在，但只是作为公理中的原始符号；它们不再具有任何相关含义。因此，几何学家不再对欧几里得的平行公设（作为关于空间的陈述）是否可以从欧几里得关于空间的其他假设中推导出来这个老问题感兴趣。相反，几何学家表明，如果以理论 T 的形式写下欧几里得其他假设的最新版本，那么就有可能找到不满足平行公设的 T 模型。 （请参阅 19 世纪几何学条目，了解罗巴切夫斯基和克莱因对这一成就的贡献。） 1899 年，大卫·希尔伯特出版了一本书，他在书中构建了这样的模型，所使用的解释方法正是我们刚刚描述的。

出现问题，因为希尔伯特和其他人描述了他们在做什么的方式。 历史很复杂，但发生了很大的事情。 例如，十九世纪中叶的人们注意到，例如，在阿比越一组中，减去函数是可定义的0和+（即：-A是元素B，使得A + B = 0）。 由于对减去的这种描述实际上是定义阿比越亚群体的公理之一，我们可以说（使用从J. D.Gergonne的术语，他们不应持有由其制作的后期使用的原因）隐含地定义的Abelian组的原理减去。 在行话中的时间中，一个人表示不是原理定义了函数减去，但它们定义了概念减去。 现在假设我们转换周围并尝试根据减号和0来定义加号。这种方式无法完成，因为人们可以有两个具有相同0和减去但不同加上函数的abelian组。 十九世纪的数学家而不是说这一点，即在减去和0的情况下，公理仅部分地限定了加号。吞下了那么多，他们继续说，合理在一起形成概念加上的隐含定义，减去0，并且这种隐含的定义只是部分，但它就需要知道这些概念，就像我们需要知道的那样。

一个奇迹如何发生在五十年内没有人挑战这种废话。 事实上，有些人确实挑战了它，特别是在他的VorleLeungenüberneuereGeometrie（1882年）第12节中的Gyometer Moritz Pasch坚持不懈地告诉我们“点”的含义，'相反，他说，这是公理，使我们在概念之间的关系。 如果一个人认为一个结构作为一种有序的套装的N组等，那么一个类mod（t）成为一个n-ary关系，Pasch的帐户与我们同意。 但他无法拼写细节，并有一些证据表明他的同时代人（以及一些更新的评论员）认为他说公理可能无法确定“点”和“线”的含义，但他们确实确定了“与”和'之间的关系术语等关系的含义。事件有'！ Frege的拆除了隐含的定义学说是掌握的，但它来拯救希尔伯特来说，拯救希尔伯特，在他的勇敢的人的开始，他的公理机构给出了“关系”谎言的确切和数学上充分的描述''，'和'同时'之间。 幸运的是，希尔伯特的数学是本身的，而且可以简单地绕过这些哲学人造PA。 我们现在作为正确描述的模型定理账户似乎在1890年代周围的Giuseppe Peano周围的小组中首先已经浮出水面，它通过Bertrand Russell的数学原则达到了英语世界1903年。

3.模型 - 理论后果

假设l是签名k的语言，t是l的一组句子，φ是l的句子。然后是关系

的MOD（t）⊆mod（φ）

表达签名K的每个结构，这是T的模型也是φ的模型。 这被称为模型 - 理论的后果关系，并且写得简称

t⊨φ

双重使用⊨是一个不幸。 但是在L是一阶的特定情况下，完整性定理（参见古典逻辑的条目）告诉我们，如果且才有当φ的证明是来自t的证据，那么常写的关系

t⊢φ

由于⊨和⊢表达在这种情况下完全相同的关系，模型理论家通常避免使用⊢进行模型 - 理论后果的双重使用。 但由于以下不限于一阶语言，因此安全建议在这里坚持⊨。

在十九世纪中叶之前，逻辑教科书通常教导学生如何检查论证的有效性（用英文发言），通过表明它具有许多标准形式，或通过将其解释为这样的形式。 标准形式是英语的句法和/或语义形式。 该过程是危险的：语义形式几乎通过定义在表面上不可见，并且没有纯粹的句法形式，可确保参数的有效性。 出于这个原因，大多数旧教科书都有一个关于“谬误”的长篇部分 - 无效参数似乎有效的方式。

1847年，乔治布尔改变了这种安排。 例如，验证参数

所有君主都是人类。 没有人类是无可救药的。 因此，没有犯罪是非君主。

Boole将解释符号p，q，r作为类的名称：

P是所有君主的班级。

问是所有人类的阶级。

r是所有无潜水生物的课程。

然后他会指出原来的论点释放到一个定理的后果：

（p⊆q），（q∩r= 0）⊨（r∩p= 0）

（这个例子来自Stanley Jevons，1869年.Boole自己的帐户是特殊的，但我相信JEvons'示例准确代表了Boole的意图。）今天我们将写下∀x（px→qx）而不是p⊆q，但这基本上是p⊆q的标准定义，因此我们与粘石之间的差异很小。

在他们跟随Bole的情况下，现代教科书的逻辑教科书确定了英语参数，通过将它们减少到模型 - 理论后果是有效的。 由于至少在一阶逻辑中的模型 - 理论后果的类别，并且在旧的论证形式的模糊不清中，这种风格的逻辑教科书已经不再停止崩溃章节。

但是有一个警告从旧教科书中幸存下来：如果以一种不是模型理论后果的方式正式化你的论证，它并不意味着论证无效。 它可能只意味着在正式化之前，您未能深入分析参数中的概念。 旧的教科书用于在一个名为“主题”的RAGBAG部分中讨论这一点（即查找您可能错过的参数的提示）。 这是来自西班牙的彼得的13世纪的Submulae Logicales的一个例子：

“有一个父亲。 因此有一个孩子。'......这个论点的有效性来自哪里？ 来自关系。 maxim是：当相关的一对中的一个被定位时，另一个是另一个。另一个。

希尔伯特和Ackermann，可能是建立现代风格的最多大部分的教科书，在他们的第三节中讨论了一个非常相似的例子：'如果有一个儿子，那么有一个父亲'。 他们指出，任何尝试如何通过使用象征主义来证明这一点

∃xsx→∃xfx

注定要失败。 “只有在概念上分析出现的两个谓词的含义时，才有可能只有在概念上分析出现的两个谓词。 当然，分析恰恰是西班牙彼得所提到的关系。

另一方面，如果您的英语论证转换为无效的模型 - 理论后果，则对后果的反例可能会很好地提供关于如何描述将符合您的论区的情况以及结论假的情况的线索。 但这是不保证的。

人们可以提出一些关于现代教科书程序是否真正捕捉到逻辑后果的明智概念的问题。 例如，在Boole的情况下，他依赖于一阶逻辑的正式证据，他依赖的设定理论后果甚至都不使用任何设定理论的公理; 并且通过完整性定理（参见古典逻辑的条目）对于一阶逻辑也是如此。 但对于其他一些逻辑，它肯定不是真的。 例如，某些时间逻辑的模型 - 理论后果关系预设了关于时间的物理结构的一些事实。 此外，正如Boole自己所指出的那样，他从英语参数到其设定理论形式的翻译要求我们相信，对于参数中使用的每个属性，都有一个具有属性的所有东西的相应类别。 这危险地靠近Frege的不一致理解公理！