结合逻辑（三）

4.3分类（或代数）纤维

为了克服原始抗纤维方法的局限性，暴露在最后一个小节中，A. Sernadas和合作者提出，在Sernadas等人。 1999年，使用类别理论的概念工具进行纤维的一般定义。 泛化的核心思想很简单：假设L1和L2是要组合的两个命题逻辑。 为简单起见，假设不共享任何连接，即要获得的逻辑L的语言是两个逻辑的连接的自由组合。 在分类术语中，L的特征C是L2的L1和C2的签名C1的共同组成（不相交的联合），在签名的基础范围中。 然后L，它是同时延伸的C延伸的最小逻辑L1和L2，被定义为逻辑类别类别中L1和L2的副系数。 L的最小性出席1999年Gabbay中表达的标准（另见第5节），并符合融合逻辑的理想，参见Kracht和Wolter 1991.这种组合过程称为无约束纤维，可以推广，可以推广，通过允许C1和C2分享一些连接。 因此，通过这种第二种匹配获得的逻辑以一种语言定义，使得识别L1和L2的某些连接。 通过该操作产生的逻辑被称为约束纤维，通过考虑两个逻辑L1和L2，分别在签名C1和C2上考虑C1和C2中包含的特征C0。 此签名恰好包含在整个组合过程中要识别（或共享）的L1和L2的连接。 在计算在签名c1⊕c2上限定的L1和L2的无约束纤维（即，副产物）l1⊕l2（C1和C2的副系），获得了一种新的逻辑L。 这种逻辑，通过共享（或约束）C0通过共享（或约束）C0来通过识别两个连接（相同的ARINITY）IFF在C0中的相同连接中来获得L1和L2的纤维化。 在类别理论方面，要求将逻辑类别从逻辑类别到签名类别的逻辑类别成为一个Cofibration。 然后，如果IJ：C0→CJ是包含态度（对于J = 1,2），HJ：CJ→c1⊕c2是CONORODUCT的规范注射（对于J = 1,2）和问：c1⊕c2→C是h1∘i1和h2∘i2的CoEcalizer，那么受约束的纤维化L是N Q的Cocartesian提升的Cocomain。

为了举例说明分类技术（不输入技术细节），假设L1和L2是通过Hilbert Calculi定义的两个模态逻辑，其分别在第4.1和4.2小节4.2的相同签名C1和C2上定义逻辑包含Modus Ponens的规则和必然。 然后c1⊕c2由两个否定¬1和¬2，两个含义→1和→2以及两个盒子◻1和◻2组成。 因此，L1和L2的无约束纤维纤维l1⊕l2是通过加入二氧化碳的公理模式和推理规则来定义的c1⊕c2上的Hilbert微积分。 此逻辑在其他公理和推理规则之外，两个版本的Modus Ponens（每个含义）以及有必要规则的两个版本（每个框）。 应当注意，通过使用用于写入每个微积分的公理和规则的固定的模式变量，通过匹配而获得的结石也通过示意性公理和推理规则形成。 因此，例如，在L中的Modus Ponens的规则中：

ξ1（ξ1→1ξ2）

ξ2

模式变量ξ1和ξ2可以用混合式代替。 诸如

¬2p（¬2p→1◻2（q→2◻1r））

◻2（q→2◻1r）

是新的，因为公式¬2p和χ2（q→2◻1r）不属于L1的语言。 当然，类似的更换适用于l1⊕l2的其他推理规则和公理。

继续解决这个例子，现在我们现在想要分享（或识别）否定，以及两种含义：这是一个合理的移动，例如，这些连接是经典的。 在这种情况下（φ→1¬2ψ）将表示与（φ→22¬1ψ）的命题相同。

为此，考虑符合¬和→→→中的签名C0，因此¬2在c1⊕c2中识别，并且→1用→2识别。 由此产生的签名是C，它只包含连接¬，→，◻1和◻2。 在结果逻辑L中，定义为C，现在只有一个Modus Ponens规则：

ξ1（ξ1→ξ2）

ξ2

然而，仍然存在两个必要规则，因为C中仍然存在两个盒子。因此，所得到的L是由C0约束的L1和L2的纤维化。 此过程精确地始终掺合模态逻辑的融合。 这里的新颖性是，这种技术适用于广泛的逻辑，这不一定限于（普通）模态逻辑，就像融合一样。

受限制和无约束的纤维，是分类，是通用结构，因此享受明确定义和理论上可预测的正式性质。 从通用结构中获益，为了处理代数纤维，它足以定义适当的签名和逻辑系统。 实际上，可以在不同类别的逻辑系统中进行相同的抗纤维结构（共同组织或Cocartesian升降）。 这是对纤维的分类视角的显着优势。 文献中有几个提案致力于通过代数纤维组合以不同方式呈现的逻辑：命题Hilbert Calculi，Sequent和HyperseCherseChuli，一阶模态逻辑，高阶模态逻辑，非真实功能逻辑，通过有序代数（包括广义Kripke模型）进行语义呈现的逻辑等。

连接到逻辑组合（以及特别是代数匹配）的重要问题是保存如完整性，插值等的元键值，例如，当L1和L2是语义上的完整逻辑系统时在句法上，在哪种情况下是他们的纤维也完成？ 在这方面，Zanardo等人。 2001年和Sernadas等人。 2002A给出了这个问题的部分解决方案。 在Rasga等人中证明了对进口逻辑技术的健全性和完整性的保存。 此外，在一系列论文中（Marcelino等，2015年，Marcelino和Caleiro 2016年，以及Marcelino和Caleiro 2017A），S.Marcelino等。 通过无约束纤维来研究保存可解除性（即，通过在不共用连接的情况下通过代数纤维进行）。 关键结果是通过在每个组件中的衍生方面获得的系统中的衍生的一般性表征。 在这些论文中也分析了决策程序的复杂性。 因此，结果表明，纤维逻辑的决策问题可以减少到给定逻辑的最差决策问题。 这意味着，特别地，如果两个给定逻辑L1和L2的决策问题均在复杂性C类中，则不受约束纤维化l1⊕l2的决策问题也在C中，只要C包含基本复杂性“P（也称为PTime）并且是为具有多项式的组成而关闭。 通过Sernadas等人引入的组合称为逻辑组合的逻辑组合的机制提供了元曲润的其他实例。 2012年（见第4.6款）。 具体而言，保存健全和完整性（参见Sernadas等，2012），Craig插值（参见C. Sernadas等，2013）并获得规则的可否受理（参见RASGA等，2016年）是针对此方法获得的。 另一方面，如第4.1款所述的模态逻辑融合的情况下，转移结果已被广泛研究。

除了通过上述纤维化的纤维化保存的研究外，纤维逻辑的语义并不是很容易从组件的语义中确定。 也就是说，组件逻辑模型和表征混合语言中最小逻辑的模型之间没有自然对应关系，其同时扩展给定的逻辑，即它们的纤维。 这个问题远非简单：例如，在Marcelino和Caleiro 2017A中，显示了抗纤维的行为，每个逻辑的行为，每个都是单个有限矩阵的一个特征，可以产生由单个矩阵无协调的逻辑（甚至无限的）。 在Marcelino和Caleiro 2017B中，通过表征通过非法矩阵语义呈现的逻辑的无约束纤维的语义，给出了解决这个问题的第一步。 通过允许通过多值真理函数而不是普通的真实函数来解释，通过多值真实函数来解释逻辑矩阵（或NMatrices）概括了逻辑矩阵。 NMATRICES在亚铁和LEV 2001中正式引入（另见竞技器和LEV 2005），为单个有限矩阵提供无可争议的逻辑的语义账户。 然而，若干作者（Rescher 1962; Rescher 1962; Ivlev 1973,1985,1988和Kearns 1981的使用已经考虑了NMATrices逻辑的使用;和Crawford和Etherington 1998）。 通过使用NMATrices的两种不同的录像，在Marcelino和Caleiro 2017b中，示出了由单个Nmatrix提出的两个命题逻辑的偏差纤维，其特征是单个NMATrix通过使用这些产品从给定的产品中获得。 这包括矩阵呈现的逻辑的纤维化，因为每个逻辑矩阵尤其是非确定性矩阵。

融合与代数纤维之间的关系值得一些评论。 当限于模态命题逻辑时，融合是在解释系统类别中代数匹配的特定情况，其中通过有序代数呈现逻辑：足以考虑通过电源集代数定义的解释系统Kripke模型。 在句法水平，融合也是希尔伯特Calculi类别中的代数纤维的特定情况，在命题签名的领域中。 与一阶模态逻辑一样多，方法分歧，主要是因为有不同的语义账户来处理一阶模式。 例如，Sernadas等人的模态一阶逻辑的语义方法。 在代数纤维的背景下，在融合的背景下与Kracht和Kutz（2002）的背景不同。

代数纤维推广（至少在命题水平）的事实中，模态逻辑的融合使前方法变得非常自然，有用。 此外，结构的普遍性允许人们在非常不同的逻辑上下文（逻辑类别）中定义代数纤维，例如非真实功能逻辑，高阶逻辑，搜索结算等，因为它将在第5节中显示，不同逻辑之间的态度概念影响了通过不同类别的逻辑系统中代数纤维获得的逻辑强度。 对于代数匹配的一般账户，例如，Caleiro等人。 2005年和Carnielli等人。 2008。

4.4可能的翻译语义

将上面描述的逻辑组合到拼接方法中的组合方法：它们用于组合创建扩展给定逻辑的新系统的逻辑。

如第2节所述，存在逆向：分裂方法，其中给定逻辑系统被分解成其他系统。 在Carnielli 1990中引入的可能翻译语义（简称，PTS）（另见Carnielli 2000），是这一观点的少数几个支持者之一。

PTS的概念最初被定义为尝试使用递归和可口语义解释赋予某些逻辑。 实际上，通过有限矩阵不可特征的几个不可能的逻辑逻辑可以通过合适的许多值逻辑的组合来表征。 分解的想法非常自然：给定逻辑L，呈现为一对L =⟨c，其中c是签名，⊢l是后果关系，一系列翻译文件：l（c）→l（ci）（fori∈i）被考虑在考虑。 这里，L（c）和L（CI）分别表示由签名C和CI定义的式的代数。 召回从逻辑L进入逻辑L'的转换是保留衍生能量的相应公式组之间的映射F，即：γ⊢lφ（在源逻辑L中）意味着f（γ）⊢l'f（φ）（在目标逻辑L'中）。

一对p =⟨{li}i∈i，{fi}i∈i⟩，如上所述称为l的可能的翻译框架。我们说p是l如果每个γ∪{φ}⊆l（c）为l的转换语义那

γ⊢lφfi（γ）⊢lifi（φ），每个i∈I。

这意味着L中的矩阵相当于通过翻译来检查每个因子逻辑LI中的衍生能力。 在许多情况下，因子逻辑LI由有限矩阵呈现。 由于公式的长度是有限的，它足以测试有限数量的翻译，以便确定L的公式是否在L中是有效的。因此，检查L公式的有效性相当于执行有限次数的合法性测试。 当原始逻辑L不可通过有限矩阵不可特征时，这种可解除性属性具有实际优势。 例如，在Carnielli 2000（另见Marcos 1999），由无法以有限矩阵特征的逻辑构成的N.Da Costa的逻辑逻辑逻辑的良好层次结构{CN}n∈n。通过有限矩阵呈现其因素的PTS的方法; 这对每个逻辑CN进行了决策过程。

为了举例说明PTS作为分裂方法的概念，考虑Carnielli和Marcos 2002中引入的滞后逻辑BC。特别是，这种逻辑是正式不一致（LFI）的逻辑，表达公式的一致性的一致连接性。 因此，从φ和¬φ不遵循，通常是任意式ψ。 但是，{φ，¬φ，∘φ}需要任何公式ψ。 BC的签名C由滞后否定¬，一致性运算符∘和古典连接∧，∨，→。 它被证明在Carnielli等人。 2007年，BC，以及许多其他正式不一致的逻辑，不能通过有限矩阵来表征。 尽管如此，BC通过可能的翻译将BC分解成三个值逻辑的多个副本，如下所示：考虑签名C1 = {¬1，¬2，∘1，χ2，∘3，∧，∨，→由两个否定，三个一致性运营商，结合，分离和含义组成。 让M成为下面显示的域{t，t，f}的c1的矩阵，其中{t，t}是指定值的集合。

∧t t f

t t t f

t t t f

f f f f

∨t t f

t t t t

t t t t

f t t f

→t t f

t t t f

t t t f

f t t t

¬1¬2

t f f

t f t

f t t

∘1∘2∘3

t t t f

t f t f

f t t f

让{fi}i∈i是满足条款（tr0），（tr1），（tr3）和（tr4）的满足子句（tr1），（tr3）和（tr4）的所有映射f：l（c）→l（c1）的系列。

（tr0）f（p）= p for p一个命题变量;

（tr1）f（¬φ）∈{¬1f（φ），¬2f（φ）};

（tr2）f（φ#ψ）=（f（φ）#f（ψ）），用于＃∈{∧，∨，→};

（tr3）f（∘φ）∈{∘1f（φ），∘2f（φ），∘3f（φ）};

（tr4）如果f（¬φ）=¬2f（φ）则f（∘φ）=∘1f（φ）。

可以显示映射{fi}i∈i的映射，以定义以可解除的方式描述BC的PTS（参见Carnielli等，2008）。 作为一个例子，可以很容易地检查φέ¬φ→¬∘φ是BC的定理：只要考虑所有主要的翻译和测试，所有这些都是三值Tautologies。 另一方面，¬（φ¬φ）→∘φ不是BC的定理，可以通过示出使用上述三值表的至少一个翻译不是Tautology的至少一个。 对于BC和相关逻辑的替代PTS表征，请参见Marcos 2008。

此示例显示非实际功能连接，例如BC的滞后否定¬或BC的一致性运算符∘，可以通过将其（通过翻译）解释为不同的真实功能连接来模仿。 解释（或分解）结缔组成更简单的想法可以与狸和lev提出的非确定性矩阵语义的概念有关，并在第4.3款中提到。

实际上，在Carnielli和Coniglio 2005中，示出了可以通过适当的可能的翻译语义来模拟非确定性矩阵。 特别地，熟悉的矩阵语义是可能的翻译语义的特定情况，以及文献中发现的逻辑之间的翻译的历史例子。 这些事实证据表明可能的翻译语义是用于分解逻辑的广泛适用的概念工具。

4.5暂时化，参数化和机构

除了合并逻辑的逻辑和哲学进口外，还对基于这些技术开发应用的真正兴趣。 对组合逻辑方法感兴趣的主要区域之一是软件规范。 几乎完全开发了组合逻辑的某些技术，目的是将它们应用于该领域。 在本节中，将简要提及其中一些方法：暂时化，参数化和机构。

在手指中引入了暂时化，1992年引入了Gabbay（参见手指和Gabbay 1996），并在Caleiro等人中推广。 1999朝着称为参数化的方法。

以粗略的术语，参数化包括将给定逻辑L的原子部分替换为另一个逻辑L'。 因此，逻辑L是参数化逻辑; 原子部分是形式参数，逻辑L'是参数逻辑。 正式地，考虑基于L签名的混合签名，作为常量添加L'的公式。 在暂时化的特定情况下，参数逻辑是时间逻辑。 反过来，可以证明参数化是一个特定的受约束匹配的情况（召回第4.3章）。

该方法可以通过从Carnielli等人取出的简单示例来解释。 2008：考虑一个命题模态逻辑L，用一阶逻辑LFOL参数化，以描述数据基础的动态。 得到的逻辑以通过通过一级公式的L中的突变常数替换L的公式中的突出常数来定义。 也就是说，可以自由地使用方式，但是不能应用于模态公式的量词（其他命题连接，例如否定和含义）。

新逻辑的语义结构是Kripke结构，其中命题常数的估值被一类“放大”映射（在黑招和de Rijke 1997的缩放）中替换，其中一阶语义结构与a相关联修复了每个状态的单个变量的分配。

新逻辑的演绎系统由两个逻辑的规则形成。 L的规则可以与参数化语言的公式实例化，但一阶逻辑规则只能应用于纯一阶公式。

参数化（特别是暂时化）和约束纤维之间的一个重要区别是对称程度：参数化语言和推理规则是本质上不对称的，而这不是约束纤维的情况。

由J.Goguen和R. Burstall（参见Goguen和Burstall 1984,1992）作为计算机科学的“抽象模型理论”引入了机构，并且足以开发规格语言的概念，如构造规格和规格实施。

机构理论主要适用于由多个逻辑系统定义的软件规范（参见，例如，DiaConescu和Futategi 2002）。 因此，在软件开发的抽象视图下，可以在异构设置中使用不同的形式主义指定相同程序的不同组件。 这是通过在它们之间使用机构和态度的形式化（例如，Tarlecki 2000）。 关于机构态度的问题是不允许使用涉及来自不同逻辑的连接的公式。 通过使用所谓的羊皮纸和羊皮纸态友，在Goguen和Burstall 1986和Mossakowski 1996中提出了解决这个问题的解决方案。

4.6结合逻辑的新视角

尽管代数纤维适用于组合充足的逻辑系统，但某些类型的逻辑，即诸如线性逻辑等的子结构逻辑，以及配备无限制的语义的逻辑，位于范围之外这种组合方法。 此外，在语义层面，通过其自身的性质，代数纤维并不能够保持原始逻辑的所有模型的代表（导致抗纤维的崩溃问题，参见第5节）。

目的仍然仍在扩大代数纤维的应用范围，以便使其能够处理副结构逻辑和赋予非确定语义的逻辑，以及组合每个逻辑的点模型，一种形式主义对于代表逻辑及其组合，基于多图的总体概念（或简称短，M-Graphs）是由A. Sernadas和他的合作者提出的（参见Sernadas等，2009A，2009B）。 多图是图形的图，其中每个边缘的源是节点的有限序列（而不是唯一节点）。 关于签名，M-Graph的节点被视为各种，并且M-Edges被视为语言构造函数。 从语义观点来看，节点是真实值，M-Edge是真实值之间的关系。 最后，关于演绎系统，节点是语言表达式，M-Edges是推理规则。 由M-Traphs（A.K.A.Graph-理论纤维）描述的逻辑纤维由每个组合逻辑的点组合模型定义，与通常的语义纤维的常规概念相比，其中组合了整个类别的模型。 这允许以一种非常自然的方式避免倒塌的问题（参见下一节）。

作为该图形定理设置的立即应用，在Coniglio等人中证明了通过图形 - 理论纤维保存的有限模型性能。 2011年。由于（在合理的条件下）有限型号属性需要可解锁性，因此该结果特别有用。