结合逻辑（二）

在大多数情况下，这种烦恼不会发生，其中组合的逻辑是关于某种语义的逻辑，并且在同质化的方式上句法呈现。 但是，可能会发生逻辑以特殊的方式发现; 例如，线性逻辑和其他子结构逻辑没有通常的后果关系，因为通过使用多式商或公式的序列来完全显示推导。 例如，使用常规模态逻辑的这种逻辑的组合并不明显，尽管两者都完成了。

尽管如此，还有逻辑仅由语法手段合理地呈现，或者仅由语义方式呈现。 这种情况是例如扭转组的一阶理论，已知是非公正的，并且仅以句法（验证理论）术语呈现的不完整的模态逻辑。

可能解决异构逻辑问题的可能解决，它自然地引导我们对“逻辑是什么？”的更深层次的问题，是考虑大多数逻辑的共同组成部分（但仍然排除某些子结构逻辑）：它们各自的后果关系。 因此，给定L1和L2以不同的方式呈现，总是可以提取相应的后果关系，然后将它们组合（例如，在适当的后果关系中，以其在适当的后果关系中）。 但是，通过这种方式，产生的逻辑L以非常抽象的方式呈现：从L可获得的唯一信息是其后果关系，因此每个逻辑组件的特征和特征明确丢失。

返回第一个例子（将序列结石与公理系统相结合），在Cruz-filipe等人中提出了更好的解决方案。 2008年：该想法是为校对系统定义抽象的形式主义，一般足以编码文献中发现的主要校验机制。 因此，在将L1和L2的重新装修之后作为这种类型的抽象证明系统之后，所得到的组合逻辑L是一种抽象证据系统，其中可以识别在L中的衍生中每个组件的原始推断规则的“遗传迹线”。后者问题，即如何在S. Marcelino等人仔细分析了组件的衍生方面的介质在纤维逻辑中的表征衍生。 在一系列论文中Marcelino等人。 2015; Marcelino和Caleiro 2016; 和Marcelino和Caleiro 2017a。 请参阅第4.3小节。

尽管上面提到的结果相结合了异构逻辑，但似乎更合理的是将以各种方式定义的逻辑组合，而且事实上，这是文献中大多数提案的情况。 例如，模态逻辑（作为融合，产品和匹配）的通常组合在公理呈现的系统或Kripke模型的类之间进行。 因此，频繁地定义不同类别的逻辑系统（后果关系，希尔伯特计算，代数，代理逻辑等），其中它们之间的适当态度，其中逻辑的组合（或分解）出现为通用结构。 在第4.3款中描述的代数纤维，是这种方法的一个很好的例子。

4.结合和分解逻辑的方法

4.1融合和产品

R. Thomason（1984）引入了常规模态逻辑融合的方法，并构成了一个组合逻辑的第一常规方法之一。 在原始制定中，它将正常的模态逻辑分别组合在语法和语义上（通过希尔伯特式公理和Kripke语义）。 该方法的主要特征在以下段落中描述。

考虑kripke模型的表格

⟨w，r，v⟩

这样W是非空集（世界一组），r⊆w×w是二进制关系（可访问性关系）和V：P→℘w从一个命题变量集中进入W的电源组是估值图。 让L1和L2是在包含连接¬（否定）和→（含义）的相同经典签名上定义的两个命题正常模态逻辑。 表示L1和L2的必要性算子。 让M1和M2分别是L1和L2的Kripke模型的类别。 由于这两个逻辑都是正常的，因此授予两种方式◻1和◻2满足正常公理k和必然规则。 然后将L1和L2的融合定义为具有两个独立盒子◻1和◻2的正常双峰逻辑L与连接器¬（否定）和→（含义）一起。 L的语义由形式的Kripke结构的m级给出

⟨w，r1的，r2的，v⟩

这样⟨w，r1，vκ和⟨w，r2，v⟩分别属于m1和m2。 换句话说，融合的每个结构对应于一对模型：L1的型号，R1，v⟩，R2，r2，v⟩为L2共享相同的世界W.技术上说话，融合的每个结构都有，如减少，L1模型和L2的模型。

给定结构M =⟨w，R1，R2，v⟩，可访问性关系R1用于评估盒1，而R2用于评估χ2。 由于L1和L2的签名的联合自由地生成L的语言，因此它含有混合式，例如φ= 1（◻2p→p）。 现在，结构M在世界w∈w的情况下满足φ，如果对于每个W1W1，M在W1处满足（◻2p→p），则才能在世界w∈w。 但这意味着，存在w2，使得w1r2w2和w2∉v（p）或w1∈v（p）。

作为公理学的担心，通过加入两个系统的（Schema）的公理来获得L的Hilbert微积分。 因此，在其他情况下，两个k公理，两个必变规则，只有一个模式庞登（因为含义→是共享的）。 考虑到L的语言具有混合式（如上所述），现在可以通过混合式更换在给定逻辑的模式规则中的模式变量。 例如，φ可以通过应用盒子1的必要规则来从公式（◻2p→p）中的L中导出。

当通过用纯粹的神声逻辑融合纯的含有逻辑来定义含有纯粹的含有逻辑的静态逻辑来定义静态逻辑时，融合的一个有趣例子。 这种组合用于分析Hume的“在上文第1节”（见上文第1节）。 其他直观的融合示例在1969年通过M.配件的开拓纸配件给出，其中含有和故障模式（在引入融合的概念之前）。

从那时起，融合已经成为一个很多工作的主题。 重要成果是融合对模拟的应用以及模态逻辑之间的特性转移问题。 仿真使正常单极逻辑的强度显式，因为它们可以在某种意义上模拟所有模态逻辑（参见Kracht和Wolter 1999）。 关于转移，在Fine和Schurz 1996中，广泛地研究了诸如完整性，有限的模态性，脱钩性和插值之类的性质的保存，并且在Schurz 1996中进行了广泛的研究。获得了更多的一般和更深的结果，获得了相同的精神Kracht和Wolter 1991，以及对大多数结果的调查可以在Kracht和Wolter 1997中找到。这些结果表明，融合的稳健性作为模态逻辑范围内的组合方法，用于满足保护性能的要求组合的逻辑。

研究了完整性结果（和其他模型 - 理论属性）的问题可以从命题模态逻辑转移到其量化对应物，并且研究了通过融合来从单峰定量的模态逻辑与其多峰组合的逻辑在Schurz 2011中，该文件还涉及完整性如何从量化的模态逻辑与具有非刚性指定器的定量模型逻辑转移的问题。

rasga等。 2010定义了标有真实值的模态逻辑系统的融合的分类方法，并显示完整性的保存需要一些仔细的假设，而无需进一步的秘密保存。 可以以这种方式对各种逻辑（除了模态逻辑之外）可以以这种方式对待。

一个有趣的票据是，在语法和语义角度来看，组合逻辑之间存在显着差异。 例如，通过简单地将两个逻辑的公理和规则放在一起，应该直观地获得两个希尔伯特计算的加入，而语义对应物并不明显确定。 关于此，融合的替代方法是纤维语义（参见第4.2小节）。

融合，即使是用于组合模态逻辑的非常自然的方法，也不明显地伸展到具有正常模态逻辑的非正常模态逻辑的组合。 此外，Fusion专门用于组合模态逻辑，不能以不同性质的逻辑以显而易见的方式扩展。 在下面的第4.3款中描述的代数纤维构成融合的概括（在命题水平），并且通常解决了逻辑组合的问题。

组合（模态）逻辑的另一种早期方法是所谓的模态逻辑产品。 在Segerberg 1973和Šehtman1978中独立引入的这种机制适用于代表时间空间信息。 给定两个模态逻辑L1和L2如上所述，产品L1×L2是混合签名的双峰逻辑（赋予两个盒子），其特征在于表格的克莱波克结构的类

⟨w1×w2，s1，s2的，v1的×v2⟩

从Kripke模型⟨w1，r1，v1⟩和⟨w2，r2，v2⟩分别定义L1和L2。 访问性关系S1，S2‖（W1×W2）×（W1×W2）定义如下：

⟨u1，u2⟩s1⟨w1，w2⟩iffu1r1w1和u2 = w2;

⟨u1，u2⟩s2⟨w1，w2⟩iffu2r2w2和u1 = w1;

（v1的×第2版）（p）= v1的（p）×第2版（p）。

模态逻辑产品的令人惊讶的特点是模特之间的一些新的相互作用。 这些新的有效公式是一种桥梁原则（召回第1节）。 使用标准符号◊1φ对于可能性运算符，¬◻1¬φ（并类似地为◊2），以下桥梁原则始终在产品逻辑中有效：

（◊1◊2p→◊2◊1p）换向1;

（◊2◊1p→◊1◊2p）换向2;

（◊1◻2p→◻2◊1p）教堂 - rosser属性1;

（◊2◻1p→◻1◊2p）教堂 - rosser property 2。

由于这种相互作用，不可能直接获得两个模态逻辑产品的Hilbert微积分，如融合的情况下。 必须将桥梁原则明确地添加到原始公理学的联盟，以确保完整性。

通常，模态逻辑产品的公理化是一个细腻的问题，并且可能出现一些有趣的现象。 例如，二维模态产品逻辑S5×S5具有有限的公共结构，但对于n≥3，n维产品逻辑S5n是非合理的公正结构。 在Kurucz和Marcelino 2012中发现了可明显的公正的二维产品的第一个示例，如K4.3×S5，这不能有限地公开。 这些是逻辑的例子，使我们可能称之为有限碰撞现象的逻辑，其中有限的公理性属性在产品的作用下被破坏。

通过分析二维，在Hampson，Kikot，Kurucz和Marcelino 2020中解决了在Hampson，Kikot，Kurucz和Marcelino 2020中找到了针对非有机公正逻辑的规范公理化的问题。模态产品逻辑涉及差异差异的单向逻辑，由Von Wright 1979作为“别处”的逻辑引入。 该逻辑由在所有帧⟨w，≠中有效的一组单峰公式定义，其中≠是非空集合上的非身份关系; 这些帧称为差异帧。 逻辑Diff可以被称为所有帧⟨w，r⟩的逻辑，其中R是伪等态关系，即R是对称和伪传递的，如果r（x，y）和r（y，z）则x = z或r（x，z）。 由于特别是等效关系是差异的帧，后者是S5的子伯。 本文证明，尽管差异是S5的一个有限的公正子系统，但二维产品逻辑差异×差异是非合理的，并且可以通过无限的方式起作用Sahlqvist公理。 让Diff×Sqdiff是'Square'版本的Diff×Diff，其特征在于所有产品的家庭，⟨u，u⟩×⟨v，v⟩的差异框架，使得设置U和V具有相同的基数; 因此，Diff×Sqdiff包含逻辑Diff×Diff。 本文证明，前者不是后者的有限公理延伸，并且可以通过添加无限许多SAHLQVIST公理来公理化。 模态逻辑Diff×Diff×Diff和Diff×Sqdiff是未充满公共结构的有限公共型号的产品的第一个例子，尽管通过显式无限的规范套（Sahlqvist）公理。

与融合一样，逻辑产品技术不允许直接泛化到模态之外的逻辑。

4.2匹配（通过函数纤维）

模态逻辑的纤维语义最初提出在Gabbay 1996a和Gabbay 1996b中（另见Gabbay 1999）。 与融合和产品一样，纤维机的机制也仅适用于模态逻辑。 假设与第4.1小节中相同的符号。 因此，给定L1和L2，我们首先定义纤维语言（或语言的纤维化），这是◻1，χ2，¬和→从命题变量产生的语言。 基本思想是考虑克里普克模型与两个转移映射一起具有尊重（实际）世界：H1从L1的模型M1的模型M1的型号M1的一组中，以及来自模型类别的世界的模型M2和H2。L2的M2为L1的模型M1。 当L1的Kripke模型必须在实际世界W1处评估形式◻2φ的公式时，然后将有效性检查转移到其实际世界中Kripke模型H1（W1）内的◻2φ的有效性检查。 在实际世界W2的L2的Kripke模型中的形式◻1φ的公式评价是类似的，但现在使用地图H2进行。

因此，L1和L2在Carnielli等人的函数中通过函数的纤维纤维，或者纤维纤维，或者在Carnielli等，L2中被称为2008）是一个正常的双峰逻辑，如下所示，如下所示：让

上半年：

⨄

m∈m1

wm→

⨄

m∈m2

{⟨m，w⟩：w∈wm}

和

下半年：

⨄

m∈m2

wm→

⨄

m∈m1

{⟨m，w⟩：w∈wm}

是一对转移映射。 为简单起见，我们假设m∈m1的世界WM集是成对不相交，而M2的相同保持相同。 给定m∈m1∪m2，w∈wm和纤维语言的公式φ，⟨h1，H2，M，w⟩中的Φ中的φ令人满意，由⟨h1，H2，M，w⟩⊩φ相同地定义每当φ的主连接是布尔（¬或→）时，或者φ是原子的。 对于模态，满意度定义如下：假设（不损失一般性），m∈m1，并且让H1（W）=⟨m2，w2⟩，带有M =⟨wm，RM，vm⟩和M2 =⟨wm2，RM2，VM2‖。 然后：

⟨h1，下半年，是，w⟩⊩◻1φ

IFF⟨h1，H2，M，W1∞φ，每个W1使得WRMW1;

⟨h1，下半年，是，w⟩⊩◻2φ

iff⟨h1，h2，m2，w2⟩⊩◻2φ

IFF⟨h1，H2，M2，w3⟩⊩φ，每个W3使得W2RM2W3。

I = 1,2和m∈m2的H1，H2，M，w⟩⊩◻iφ的定义是类似的。

然后，⟨h1，h2⟩满足φ，由⟨h1，H2νφ，如果⟨h1，H2，M，w⟩⊩φ表示为⟨h1，H2，M，w⟩⊩φ。 最后，每当⟨h1，H2νφ，每对一对⟨h1，h2⟩的时，φ在纤维语义中有效。

例如，给定H1，H2如上所述，让⟨w2，R2，v2⟩∈m2和w2∈w2使得H 2（W2）=⟨⟨w1，R1，V1∞，w1⟩。 然后：

⟨h1，下半年，⟨w2，r2的，v2⟩，w2⟩⊩◻1◻2¬p

iff，H2，⟨w1，R1，v1⟩，w1⟩⊩◻1◻2¬p

iff，H2，⟨w1，R1，v1⟩，W

'

1

⟩⊩◻2¬p，每w

'

1

这样W1R1W

'

1

。

假设h1（w

'

1

）=⟨⟨w

'

2

，r

'

2

，v

'

2

⟩，w

'

2

⟩。 然后，后者是有效的iff

⟨h1，下半年，⟨w

'

2

，r

'

2

，v

'

2

⟩，w

'

2

⟩⊩◻2¬p，

每一个w

'

1

这样W1R1W

'

1

; 即，每次w

'

1

这样W1R1W

'

1

每个w

“

2

这样的w

'

2

r

'

2

w

“

2

，⟨h1，H2，⟨w

'

2

，r

'

2

，v

'

2

⟩，w

“

2

⟩⊩¬p。 这相当于对每个w说，

'

1

这样W1R1W

'

1

每个w

“

2

这样的w

'

2

r

'

2

w

“

2

w

“

2

∉v

'

2

（p）。

关于公理学，在某些情况下，通过匹配通过匹配而获得的逻辑可以由给定逻辑的（架构）公理的联盟公共化。 但有些逻辑可能需要添加一些新的桥接原则（混合规则和公理），以确保完整性的保存。 这可以解释融合和纤维方法之间的一些差异; 如Gabbay 1999所暴露的纤维的完整性并不能完全作为替代品的替代品，如Kracht和Wolter 1991年和罚款和Schurz 1996中的更替代品。更多关于本次讨论，请参阅Kracht 2004。

通过功能纤维技术是融合和产品的有趣替代方案，但与其竞争对手一样，它不能以任何明显的方式扩展到非模态逻辑（参见康涅利省和Fernández2005进行适应方法通过功能与矩阵逻辑的纤维化）。 通过函数与涉及义的义齿的思考失败的一个原因是它不是普遍的构造（以范围为单位）。 此外，通过纤维所获得的逻辑缺乏对公理化的系统定义是该技术的另一个负面方面。 下一小节描述了纤维的概括，其解决了所有提到的问题。