几何的精神主义（二）

当然，仅列出一组结构不足以谈论几何理论，所以必须表明，因为它确实通过SuppeS完成，即可以进行形式起理处理。 列出了一组关于B和D操作的必要公理，因此可以证明在上面的示例中绘制的图形确实是平行四边形。 此外，证明了表示定理，以便积分是归因于合理坐标。

必须进行两个重要评论。 首先，仍然有待地表明，这种基本的几何理论可以一直扩展到一个全面的几何理论，这可以被认为是古典几何形状的可言替代的替代品。 当他写的时候，我认为自己似乎非常有信心：

我自己的信念是，一个人可以全部距离，或者几乎几乎整个距离，以纯粹的过度的方式，......（2001：136）

其次，对建筑的重点开辟了一种对距离功能问题的新方法。 对于每个单独的情况，我们不需要一般距离函数，但是，我们必须能够将坐标属性与图中存在的点且更多。 然而，它仍然可以看到基本操作，B和D，可以在不丢失这一重要属性的情况下延长。

伯克（2022年）制定了更新的建设性提案。 虽然与所提出的那样相似，但至少有一个主要差异。 Burke只谈论点而不是关于线条（即，线条减少到有限数量以识别它们）。 正式的语言包含基本操作或建筑和基本关系。 前者处理：（C1）（定向）段扩展，（C2）横杆（'行'由线CD的线CD的相对侧的两个点A和B形成在一个点中），（C3）角度传输，（C4）圆圈交叉口，和（C5）正交性。 后者包括：（R1）众所周知的关系关系，（R2）段共同，（R3）相同的角度方向，（R4）角度同时，和（R5）共面。 Burke，如Suppes，也使用量词免费首级谓词逻辑，同样是相同的原因。 还有两种额外的功能要提及。 第一个是每个结构都以有限区域内的有限数量开始。 然后他证明，无论进行哪种基本建设，最终该地区最多将增加一倍。 第二个是，他的方法从飞机到3D空间很容易伸展。

这里可以在这里制作类似的评论，关于Burke方法中距离功能的可能性。 在第2.5节中，我将单独解决此问题，并讨论如何在精神裁决设置中对此问题进行处理。 首先，从物理方面是一个完全不同的方法。

2.4直接物理示例：特殊相对论理论的离散版本

1936年，石棉提出了一个相当简单的离散理论。 我们在物理学中使用的唯一方法是标签，x，y，z，t，并且当离散时，这些可以始终用整数标记。 在短的小册子中汇集了这一主题的五个讲座，Silberstein将自己限制在一个空间和一个时间参数上。 虽然他承认问题更高的问题（1936：15），但他不处理它。 因此，距离问题变得相当微不足道，因为在一条线上，离散距离功能和欧几里德距离功能一致。 他的提案是初级的，即最小的距离，viz。 两个相邻点xi和xi + 1之间的距离等于1，同样用于时间坐标，使得1变为最大速度，放置等于c，因此c = 1。 定义衍生物的类似物，差分方程被差分方程所取代，在有限差异方面的模拟导出泰勒序列，并且可以模仿大多数经典物理学。 值得一提的是，讲座包括粗略计算时间的尺寸，即最小的时间单位和汉古，即（一维）空间的最小单位。 假设A是一厘米和B在一厘米中的汉顿数量一秒钟，然后

（1 /一个）

（1 / b）

=

b

一种

= C = 3.1010cm / s，或b =3.1010⋅a。

如果我们修复了一个下限，例如10-8厘米（这实际上是Silberstein的建议！），那么B =3.1010�a≥3.1018，是一秒钟的时间数。 他进一步将离散的空间框架应用于特殊的相对论，并且在这里也是如此。 这种方法非常有趣是事实上，在经典案例中似乎不需要额外的条件。 这是一个插图。

特殊的相对论理论依赖于表达式，这里限于一个空间尺寸，X2-C2T2。 因此，对新坐标X'，T'的任何改变都必须满足X2-C2T2 = X'2-C2T'2。 假设我们写x = ax'+ bt'和t = cx'+ dt'，那么逆关系将是

x'=

（dx'-bt'）

（公元-bc）

和t'=

（ax'-ct'）

（公元-bc）

。

但是，如果x，x'，t和t'均必须是整数，然后必须是ad-bc = 1。 最后一个条件是我们使用整数以离散方式思考的事实的纯粹后果。

2.5解决一些部分解决方案和问题

在本节中，将讨论三个特定问题，如果要认真对待离散几何形状的任何提案：距离函数问题，维度问题，各向异性问题以及识别问题。

距离功能问题。 存在一个相当破坏性的论点，其示出了离散几何形状的真正距离功能的不可能。 它可以追溯到1949年，首先由Hermann Weyl制定：

如果一个正方形是由微型瓷砖构成的，那么沿着侧面有沿着对角线的瓷砖; 因此，对角线应该与侧面的长度相等。 （Weyl 1949：43）

已经制定了至少三种解决问题的解决方案。

van Bendegem（1987）认为，在有限几何形状中，这应该是线条和点具有扩展的基本事实。 特别地，线路应该具有恒定宽度（独立于线的方向）ND，因此ND表示一个大（有限）数量，对应于形成Nd的正方数。 给定线，宽度始终被定义为垂直于该行。 现在假设该线具有对应于线和X轴之间的角度α的方向。 然后在X轴上投射时该行的宽度Nd将是[

nd

sinα

其中表达式[x]表示少于或等于x的最大整数。

[具有两个平行线的网格从左上角到右下角，靠近底部是交叉两条线的水平线（其与左平行线的角度用alpha符号标记）。 在水平线段上方连接两个平行线，另一个线段（N_D / SIN（alpha）指向此的箭头）从其与右行线的交叉点到下面的左行线的点（n_d指向该线段的箭头。该第一行段和左行平行线之间的角度用alpha符号标记。]

图2

然后将两个点P和Q之间的距离D定义为由来自P到Q的线和宽度Nd形成的矩形中的平方数，除以Nd。 这样的想法是，尽管在离散几何线必须必须具有宽度，但这不是必不可少的特征，所以它可以被分开。 因此：

d（p，q）=nl⋅[

nd

sinα

]（divnd）。

这里的NL对应于与P和Q之间的X轴平行的层数，并且n（divm）是n的n级的商。

作为一个插图，考虑韦尔骨头问题。

[具有两个长矩形的网格，长轴上的一个定向的顶部（标记为'p'）/底部（标记为'q'），在长轴上向左（标记为'q'）/右（标记为'r'）; 它们在另一个左侧的底部重叠。 长期同步图在另一个右侧的顶部重叠。 两个矩形的长边标记为N_L和短边，N_D。 从平行图的一侧到另一侧的水平线段标记为“[SQRT（2）N_D]'。 平行图和左/右矩形之间的交叉角标记为'alpha = pi / 4。]

图3。

我们具有右侧角度的三角形PQR，使得为了简化，右侧PQ和QR彼此等于并与网格的轴对齐。 假设右侧的正方数为NL。 然后

d（p，q）= d（q，r）

=nl⋅[nd]（divnd）

= nl，

当然，[nd] = nd。 但是，斜边具有α=的角度

√

2

2

。 因此，

d（p，r）=nl⋅[

nd

sinα

]（divnd）

=nl⋅[

√

2

⋅nd]（divnd）

=nl⋅[

√

2

] n，

其中[r] n表示最多n小数的数字r。 不需要计算来表明PythAgorean定理保持的（近似近似），即D2（P，Q）+ D2（Q，R）= D2（P，R）。 最后，有一个简单的解释为什么Weyl问题发生：它对应于限制情况Nd = 1。 当nd = 1时，然后[

√

2

⋅nd] = [

√

2

] = 1，因此D（p，r）=nl⋅1= nl和pythagoras'定理失败。

虽然宽度ND的引入显然解决了问题，但它同样清楚缺点是什么。 没有古典欧几里德几何形状在背景中，实际上没有办法施工。 在离散的几何形状本身的方面没有定义线，最重要的是，根据未明确提及的欧几里德距离函数计算线L的X轴上的投影宽度。 简而言之，有两个距离功能的混合物。

Peter Forrest（1995）提出了另一种解决方案。 他通过引入一系列离散空间EN，M，其中n对应于空间的“经典”维度，M是比例因子，要理解如下：m是决定两点或不相邻的参数，这是基本（和唯一）他的几何的概念。 因此，在情况下，n = 2，点由整数（i，j）和两个点（i，j）和（i'，j'）标记为邻近，并且（i-i'）2+（j-j'）2≤m2。

一旦规定了邻接，可以容易地导出距离功能：P和Q，D（P，Q）之间的距离是连接P和Q的点链中的最小数量的“链路”，使得每个距离在连接P和Q的点链中的最小数量的“链路”，使得每个距离是P和Q的点链中的最小数量的“链路”。 接下来没有问题表明通过两点的直线是具有最短距离的点链。

如果参数m具有小值，则结果距离功能不是欧几里德。 更具体地说，如果m = 1，那么我们再一次，威尔的情况再次出现。 但如果，例如，M = 1030（Forrest Homenself提出的图），那么情况会发生变化。 然后可以表明离散空间上的距离功能将近似于靠近一个想要的欧几里德距离功能。 在没有呈现所有细节的情况下，人们可以表明欧几里德距离功能de和离散距离函数d是由比例因子相关的，即de

（p，q）

d（p，q）

=常数（m），其中常数由m的值确定。 不再需要计算，以表明原始距离功能D满足PythAgorean定理。

如果一个人正在寻找这种方法的弱点，那么不可避免地必须最终得到邻接的基本概念。 在欧几里德术语中定义邻接的原因是什么？ 毕竟，诸如（i-i'）2+（j-j'）2≤m2的条件看起来可以作为欧几里德。 在范比德（1997）中建议了可能的出路。 离散方法的一个优点 - 事实上，这似乎是严格的精度建议一般持有 - 这是在严格的精神框架中截然不同的定义。 因此，更具体地，可以在（至少）两种方式中定义一个圆：

作为一组点P，其具有固定距离到固定点，

作为一组点P，使得给定固定线段AB，由APB形成的角度是直角。

经典地说，这两个定义是等同的。 然而，它们不是在离散的几何形状中。 如果，例如，距离函数被定义为连接两个给定点的Hodons的最低数量，则两个定义不等同。 使用定义（a），圆圈将具有正方形的形状（所谓的出租车几何形状中的众所周知的事实），从而无用以定义上面完成的邻接。 另一方面，定义（b）产生一个数字，可以将欧几里德圈近似像一个人喜欢。 以这种方式在离散框架内可以接受Forrest对邻接的定义，因为没有参考欧几里德距离功能。

第三种解决方案将在Crouse和Skufca（2019）中找到，这提出了一个有趣的合成，以解决距离功能问题的两个提案。 他们建议的是一种物理解释，使三件事成为可能。 首先，它允许在普朗克长度和时间方面确定HODONS和Chronons的最低尺寸。 其次，它表明，就“测试”霍顿的距离（当然，在离散的最小步骤中）的距离方面提出了与A到B的距离的定义。 这会立即解决各向异性问题，因为没有方向是特权。 第三，它不假设将网格（或类似结构）的先验存在作为绝对参考帧。 这开辟了重构他们所做的特殊相对论理论的可能性。 尽管未提及石棉的方法（见上文第2.4节），但它显然有关，并且可以被认为是一种改善，因为物理基础是哲学上更好的动机。

如果这些提案和建议可以被认为是对Weyl的瓷砖问题的充分响应，最近，另一个禁止方法（和伴随定理）的另一个优秀示例将在Fritz（2013）中找到。 从周期性图的抽象制定开始，即一组顶点和一组边缘。 出于实际目的，周期性可以被认为是晶体结构。 这意味着我们有一个基本的有限单元，可以通过该基本单元的迭代副本来覆盖整个图形。 作为示例是二维结构。 顶点可以用两个数字（I，J）标记或“加权”。 轨迹（Fn）n∈n是一系列顶点的序列，使得携带Fn和Fn + 1的顶点通过边缘连接。 接下来我们定义这种轨迹的（宏观）速度为

u =

林

n→∞

（fn-f0）

n

，

这听起来完全可以接受。 示例：从F0 =（0,0）开始的Fn =（n，0）的轨迹将具有宏观速度1，如fn-f0 =（n，0），除以n，该叶子（1,0）。 在没有进入细节的情况下，他表明，这种图表中的所有（宏观）速度的几何结构不能对应于欧几里德空间的几何结构。 原因很简单（尽管证明不是）：在图中，即使在宏观层面也将始终被挑出，“特殊”方向和各向异性将保持可检测。 因此，排除了从离散水平到宏观，连续，欧几里德和各向同性水平的过渡。 这是一个真正有趣的结果，因为它在所有尝试使用直接的尝试时投射了阴影，通常是从离散的离散到连续水平的情况下过渡。 同时，它恳求从显微镜到宏观水平的更复杂的转变，例如，通过考虑线的宽度。

维度问题。 虽然它是基础的，但在这个问题上没有得到很多关注。 如果该平面由一个离散的元素，霍顿或原子组成，则该组必须具有尺寸为零。 例如，为了确定维度，必须配备拓扑，唯一可能的候选者是离散拓扑。 这需要维度为零。 任何一个人都可以选择基于概念的概念，以简单地删除维度的概念，规定了概念的概念和拓扑的概念，因此没有精神概念。 或者一个搜索模拟，但它根本不清楚。 一个人不应该尝试做的是从订购关系中获得维度的概念。 假设HODON由整数（i，j）标记在一些合适的坐标系中，例如-l≤i，j≤L，其中l是一些上限。 然后是相当不同的订购关系是可能的。 一种可能性是在i + J＜k + L时且仅在I + J＜K + L时定义（i，j）＜（k，l）。 但是，如果才能且仅在i = k，则才能定义（i，j）＜（k，l），然后是j＜l。 因此，它需要额外的参数来声明在给定集合的所有可能的订单关系中，一个且只有一个具有特殊状态。 但是，在第3节中，我们将看到，使用图表理论的工具，确实可以给出维度的定义。

各向同性问题。 如果飞机从方形汉顿建立，那么在上面的段落中，霍顿以这样的方式排列，使得每个霍蒙都触及四个其他汉顿，即，平面可以被建模为方形网格，那么很明显有方向，在这种情况下，将有两个优选的方向。 然而，如果代替正方形，则六边形被视为汉顿，然后有三个优选的方向。 因此，无论霍蒙的形状是什么，都会有优选的方向，这意味着空间是各向异性的。 请注意，这些案例只不过是上面讨论的托比亚斯弗里茨一般方法的特殊情况。 但是，对于物理应用，人们希望具有各向同性（或至少尽可能接近）。

两种方法也是可能的，不会落在弗里茨禁止定理下。 无论是霍蒙斯有明确的形状，还是没有。 在第一种情况下，已经提出了该平面的常规周期性平铺，因此应该寻找不规则的非周期性平铺，例如Penrose平铺。

[PeNrose瓷砖图案，大量几种不同类型的平行图，其组合在一组10个以形成多个10侧图和3组，形成多个交织6针侧图形]

图4

虽然没有完成制定的示例，但似乎是一个有希望的攻击线。 在彭罗第展的情况下，有趣的是，有趣的是，没有经过典型的直线，正是由于非周期性。 在第二个案例中，模糊是可能的。 作为他（1995年）的彼得福雷斯特，并在其（2019年）捍卫的Crouse和Skufca，这是一个离散空间的具体代表的整个想法，例如，从小正方形建立的基本误解了。 如果HODON具有特定形式，那么人们无法避免询问关于霍顿的部分的问题，例如其边界，但如果汉顿是可能的最小空间实体，则没有意义。 在van Bendegem（1997）中捍卫的中间位置是考虑一系列离散的几何形状GI，每个都有一个特定尺寸的霍蒙，嗨，即Hi hj，对于i≠j，另外，有m和n使m＜嗨＜n，所有我。 然后可以将超级技术应用于该系列。 这意味着如果在每个几何gi中是真的（假），则声明将是真的（false）。 在所有其他情况下，它是未定的，即，在某些情况下，某些情况下，在某些情况下为真实。 现在，如果a是陈述“Hodons具有尺寸α”（其中α是特定的数字），如果a对应于至少一个HI中，则将其未定义。 然而，这种方法介绍了与含量相连的所有问题，这并不一定是一个令人鼓舞的情况。 对于这个问题而言，可以从图中的框架内给出原始答案。