几何的精神主义（一）

1.一些一般考虑因素

1.1逻辑学家

1.2数学家

1.3计算机科学家

1.4物理学家

1.5哲学家

2.离散几何形状作为直接类似物

2.1欧几里德平面几何形状的标准公理化

2.2芬兰学校和自然几何形状

2.3建设性方法

2.4直接物理示例：特殊相对论理论的离散版本

2.5解决一些部分解决方案和问题

3.离散几何形状作为经典几何的发电机

3.1一般框架

3.2使用图形的原型示例

3.3一个特例：组合层次结构

3.4它可以是一个经验问题吗？

4.接下来需要做什么？

参考书目

学术工具

其他互联网资源

相关条目

1.一些一般考虑因素

考虑到最重要的事情是给出了一个特定的采用离散几何形状，科学和/或哲学背景是作者，与之相关的，与之相关，他们的意图是什么。 他们是逻辑学家，数学家，计算机科学家，物理学家或哲学家（列出五个最常见的情况）吗？ 他们想解决仅仅是技术，身体还是哲学问题？ 他们是否担心基本方面或者是他们的研究对象，以进一步发展现有的理论？ 对于说明这些问题的五种类型的作者来说，这是一个值得注意的详细信息。

1.1逻辑学家

逻辑学家通常有兴趣展示理论，物理或数学的潜在逻辑结构，以及探索是否有替代方案，通常是通过改变潜在的逻辑原则。 一个人可以想象一个基于古典逻辑的几何形状，但是，例如，在直觉逻辑上，其中原则如排除的第三，即，除了任何语句p，或双否定，即，如果没有 - NOT-P然后P，不再保持。 目标通常是找到所有可能性的完整分类。 这种方法意味着逻辑学家工作和开发离散模型，不一定认为这些模型在某种意义上是正确的或真实的。 他们只是有助于了解更好的古典几何形状。

这种方法的完美插图是空间逻辑的工作，见Aiello等。 （2007）出色的概述。 作者将他们的方法与时间逻辑所做的工作进行比较（参见此百科全书中的时间逻辑的条目）。 有很多方法可以模拟时间：具有起始和/或最终点，离散或连续，线性，循环或分支，...... 逻辑任务是构建一种允许一个关于所有这些结构的语言，并能够区分它们。 在时间逻辑中，这种语言使用运算符FP（“这将是P”）和PP（“它已经是P”）。 一个示例：如果将来是时间是线性的，则此属性可以表示如下。 假设给出了FP和FQ，然后只有三件事：f（p＆q），即p和q将是这种情况，或f（p＆fq），即p将首先发生，然后p（fp＆q），即，另一方面。 在一个公式中：（FP＆FQ）→（f（p＆q）或f（p＆fq）或f（fp＆q））。 以一种完全类似的方式，构建这种语言是空间逻辑想要实现几何形状，因此与我们将在第3节中讨论的建议有关。

一种不同的逻辑方法是在逻辑中建设性和构造性之间的建设性之间的连接。 Naibo（2015）是一个很好的例子，导致对几何形状的一个相当特殊的观点，因为作者声称“欧几里德几何形状可以被视为理论，其中没有由一组扩展对象扮演语言表达式的作用但是被组成而不是由与算法过程相对应的建设性动作表示的强度对象”（Naibo 2015,158）。 这些方法与第2.3节中讨论的建设性，更具体和非密集方法有关。

1.2数学家

数学家可能正在寻求或研究现有理论的离散或有限的对手，以便看到，例如，这两种情况都可以证明定理。 从所谓的逆向数学的角度来看，这本身就是有趣的。 核心问题是要了解必须要求某些定理所需的内容？ 参见，例如Simpson（2005）和Stillwell（2016年）。 因此，在离散几何形状中保持的证据是独立于关于离散或连续性的任何假设。 然而，人们可能会深入到数学的基础以及从基础角度研究有限几何形状。 一种这样的方法是严格的精神动症（尽管有时也使用术语超出精神主义或超直觉，但也不是作为其他基础理论的子学位，而是作为其自身的替代品。 它与许多形式的构造主义共享，基本观点是在数学对象和概念就可以在可以执行或执行的结构方面可访问的数学对象和概念。 各种形式彼此区分，以及如何理解“执行”或“性能”的概念。 大多数建构主义者允许潜在的无限，即，如果一个过程或算法将在未来某个时刻终止，那么结果被接受为构造。 查看桥梁和Richman（1987）以概述和进入建设性数学。 严格的精神主义希望进一步走一步，并认为不被认为是一个结果，因为所有计算资源都是有限的，因此在达成的结果之前，这些资源已经用完了这些资源。 额外的资格有助于使希尔伯特的精神主义进行粗略地说，粗略地说，可以被视为在荟萃层面上的精神度形式（尽管数学理论可以谈论无限结构，但仍然是这样的证据理论必须具有有限的长度）。 可能是预期的，严格的精神主义不是数学哲学中的热门观点。 然而，已经提出了许多提案。 在Welti（1987）中可以找到实际（虽然现在有些日期）的历史和账户。 在第2节中，更多将来会说这些提案。

1.3计算机科学家

在计算机科学中，提出的理论和提案已经与逻辑和数学的理论和提议具有相当不同的性质，尽管他们确实互相激励。 这里的问题恰恰在于将从经典几何类似模型的转换设置为模型，其中域（通常）由构成（计算机）屏幕的有限像素或单元格组成。 显而易见的缺点（从本条的角度来看）的是，几乎所有这些模型都在背景中呈现经典（无限）模型，因此，与依赖于证明古典分析的数值分析程序的正确性。 大多数关注都是在原始模型和离散模型之间证明对应的问题，以确保获得的图像在某些方面，忠于原始。 简单的数学例子涉及三维欧几里德表面中的孔数。 人们希望确保在数字图像中出现的每个孔确实对应于原始数学对象中的孔。 有关详细说明，请参阅Borwein＆Devlin（2009）。 然而，如此，所说，有一些工作，不想依赖于经典的连续背景，而是寻找“适当的”公理和/或像素几何形状的正规。 查看Kulpa（1979年），最近，Danielsson（2002）对于一些很好的例子。

一种不同的调查涉及使用环境的使用（参见这项百科全书中的入学信息，以概述）作为古典几何形状的替代方法，通常被称为单表仓或表仓学。 主要特征不是将一个点作为原始概念，但通常是一个区域，通常具有有限扩展（或未指定）。 主要动机是在认知心理学与计算机科学之间的相互作用中找到。 视觉感知和认知的建模是一个主要例子。 虽然与有限几何有明显的连接，但目前并不真正研究。 罕见的例子是Galton（1999）和Schmidtke（2016年）。 在2.2节中提到的，在2.2节中提到的情况下，也可以找到旁边和连接和拓扑和“自然几何”之间的连接。

另请注意，这些理论不应与具有能够理解几何对象的计算机程序混淆。 这是自动推理研究领域的一部分 - 见Chou等人。 （1994）对于一个很好的介绍，并且在这种百科全书和其基本对象中的入门自动推理是证据，而不是证明的数学对象。

1.4物理学家

正如通常所知的那样，物理学中的一个热门话题是搜索量子（场）理论和一般相对论理论的统一。 如果成功，着名的“一切理论”会导致。 与同样众所周知的一样，解决问题的最难的问题是如何处理时空。 量子（现场）理论需要作为背景的空间和时间，而在一般相对性中，空间时间的结构主要由质量和存在的能量决定。 一个方式 - 和大多数第3节涉及这样的例子 - 是找到一个“更深的”结构，使两个理论和从某种意义上产生从更基本的概念产生空间和时间。 显然，如果要找到这样的理论，它不会仅仅产生“只是”模型，但它实际上将被视为真实的现实表现。 这些模型中的大多数，作为其中一些模型可能在当前时刻，结果是离散的，因此这些提案在逆向的情况下，例如，与逻辑师一起，请声称是正确的描述。 对于最近的非正式概览，请参阅Rovelli（2016），特别是第11章，“无限结束”。

需要制作两种言论。 首先，从数学的角度来看，这个条目的焦点是几何形状，而不是其他可能以离散方式重构物理理论的可能性。 在Carroll（2023）中发现了这种替代方案的优秀示例，其中量子力学是不通过空间和/或时间的离散而是通过希尔伯特状态空间。 这个空间在标准演示中具有无限数量的维度，但如果只有有限（虽然大）尺寸，那么怎么了？ 其次，从历史的角度来看，必须添加的是，一些物理学家试图找出现有古典物理理论的离散对应物看起来像是这样的。 通常，这种尝试的哲学支撑往往是具有相当特殊的。 在第2节中，将呈现一个这样的示例。 通常，这种尝试没有创造一个重大轰动，他们很快就消失在背景中，但他们确实包含一些有趣和相关的想法。

1.5哲学家

在一个相当简单的意义上，所有上面都涉及哲学家。 关于逻辑系统的讨论，关于Zeno悖论，关于SuperTaSks关于模型和表示的基础悖论的逻辑系统，通常是属于哲学家领域的主题。 此外，他们带来了其他哲学和/或科学域的论据。 假设来自认识论或本体论的角度出现了出色的论据，声称世界应该被认为是离散的，那么这些论点可以支持寻找这种离散的世界观，包括制定离散几何形状。 即使在数学的角度来看，理论也看起来相当笨拙或难以与之合作，而不是因为哲学考虑，它必须是如此。 没有这种支持论点，这样一个案例中的一个人的立场会更弱。 最后，他们还注意了这件事的历史方面。 它相当突出，但这将不会在这里展示，看看我们在历史过程中提出了许多提案，以证明空间，时间和人应该被视为有限和/或离散。 参见，例如，Sorabji（1983）和Moore（1993），适用于二十世纪的发达的历史悠久历史概览，白（1992年），以及富兰克林（2017年），Lyons（2017年）和Sewell（2022年）最近贡献。

如上所述，这五个群体是最重要的，所以完整性尚未证明并且既未显示互斥。 此简短概述仅适用于列出所涉及的各方的不同意图，动机，目的和方法。

2.离散几何形状作为直接类似物

第一个解决问题是古典理论将是什么。 由于大多数已经完成的工作已经限于飞机，此演示文稿也将仅限于该特定情况（在大多数情况下，延伸到更高维几何形状被认为是完全简单的）。 但是，这是不够的，因为有不同的路线来遵循平面几何形状的呈现。 一种可能性是接受（欧几里德）平面的任何公理化，希尔伯特在他的Grundlagen der Geometrie中的1899年制定 - 并且显示有哪些变化（a）公理理论的有限模型，以及（b）近似于古典（无限，欧几里德）模型尽可能接近的有限型号。 第一次尝试之一追溯到40年代末期，50年代初期，因此将在此作为示例（意义上，它具有所需的所有正质量以及似乎与此类尝试结合在一起的奇怪）。 更具体地说，它涉及1949年至1957年期间与G.Järnefelt的部分合作的Paul Kustaanheimo的工作。接下来将讨论帕特里克认为的完全不同的线条的提案John Burke最近的类似方法。 然后遵循Ludwik Silberstein的一些较旧的提议，其中几何形状直接嵌入物理理论，特殊的相对论理论是精确的。 本部分的结论部分涉及一些特定的问题和暂定解决方案。

2.1欧几里德平面几何形状的标准公理化

Hilbert型公理化看起来像什么？ 首先要做的是修复（正式）语言。 通常，一个具有标识的一阶谓词逻辑，即包含变量名称的语言（以及可能是常量），函数的名称（如有必要），谓词的名称包括标识谓词，逻辑连接和量词，以及集合语法规则形成句子。 对一阶逻辑的限制意味着只能量化变量。 如果没有进入细节，应该备注的是，可以选择更具表现性的语言，例如，允许通过谓词量化。

一旦选择了一种语言，下一个问题就是确定语言的原始术语。 对于平面欧几里德几何形状，这些是点和线，但有时是线条定义为特定点组。 接下来必须选择基本谓词。 目前，存在许多不同的公理疗法。 最常用的谓词是：入射关系（“一个点A在一个线上”），之间的关系关系（“点B和C之间的指向A位”），等距关系（“距点A到B的距离与点相同的距离相同C至D”），同时关系（“由两个点A和B确定的一行的一部分是一致的一部分，由两个点C和D”）决定。 注意，所有这些都没有必要发生在公理化中。 例如，如果没有引入线路作为原始术语，则通常没有发病关系。

下一步是引入一组公理以确定上述关系的某些属性。 作为一个例子，如果公理化使用发生率关系，那么该关系的典型公理是：

通过两个点可以绘制一条直线。

每条直线至少有两点。

至少有三个点不在相同的直线上。

最后，一个寻找一个解释或公理模型。 这意味着我们以函数（如果有的话）和谓词的原始术语（例如）和谓词的含义搜索函数（如果有的话），使得公理是相对于解释的真实陈述。 虽然我们经常在开发公理化时有特定的解释，但它并不排除存在相当意外的模型的可能性。 在一个感觉的精神派模型中，依赖于下一段显示的可能性。

2.2芬兰学校和自然几何形状

Paul Kustaanheimo是一批基于赫尔辛基的数学家的成员，他都以某种形式的有限几何形式感兴趣。 最着名的成员是G.Järnefelt，P.Kustaanheimo和R. Lehti。 他们的灵感的起源将在J.T的工作中找到。 Hjelmslev开发所谓的“自然”几何（“DieNatürlicheGeometrie”，见他的1923年），也称为“物理”几何形状（如上所述，本身与模特有关）。 他们的方法尚未知道任何延续，一个例外是Reisler和Smith（1969）。 然而，以一种奇怪的方式，在稍后的意义上讨论了与suppes的方法，即几何形状主要被视为（差不多）的实验科学，即统治者和指南针的几何计统计，创造尺寸的平面，等等。 当然，由于我们人类只能以有限方式操纵有限的对象，因此离散几何形状必须导致。

Kustaanheimo的提案 - 我在这里重现了粗略概述他在Welti（1987：487-521）中提案的优秀介绍，它比原始工作更可达 - 基于以下推理。 欧几里德几何形式的经典公理理论的标准模型包括真实数字的笛卡尔乘积。 或者，如通常配制，平面中的点映射到几个实数，其坐标。 实数具有无限字段的数学结构。 但也存在有限的领域。 那么为什么不用有限的领域取代无限的实数字段，所谓的伽罗瓦领域？

可以获得的最佳结果是每个有限的Galois字段满足欧几里德几何形状的大部分公理。 然而，情况并非如此。 Kustaanheimo的研究结果稍微复杂略高：

并非所有有限的领域都会这样做。 如果我们调用p，如果有限字段的域中的元素数，则p必须满足某些条件。 这意味着只有特定大小的有限字段，即P的特定值是潜在的候选者。

对于P的“良好”值，完整的模型不会做。 例如，采取直线。 根据他们在有限场中的定义，事实证明，有两种直线：打开和关闭。 后者违反了一些公理，因此将模型限制为开放式。 该模型的限制称为模型的欧几里德“内核”。

简而言之，人们不能声称任何有限的领域都会做，而是只有一些，而且对于这一点只是其中的一部分。

这种方法提出了一些重要的哲学问题：

很明显，模型的大小是一个重要的特征。 这有什么意思吗？ 或者，负面地，这意味着不同尺寸的字段不适合作为模型？ 假设作为欧几里德几何形状是宇宙几何结构的良好模型。 声称宇宙必须含有恰好P点（不是P-1，而不是P + 1）是有意义的吗？ 一种新的毕达哥兰主义似乎在这里徘徊。

直线的示例表明，存在“很好”的几何物体（满足大部分公理的那些）和“坏”几何物体。 忽略坏人可能是数学上有趣的策略，但它不会从完整的模型中消除它们。 换句话说，虽然它们不在模型的“内核”中的任何相关部分，但它们就在那里。 那是什么意思？ 为了继续上述实验，问题是宇宙中“坏”对象的对象？ 如果他们不对应任何内容，为什么我们需要他们首先找到“好”对象？

在防御kustaanheimo的方法中，必须说无限和有限型号之间的连接通常比一个人更复杂。 有限模式不仅仅是无限模型的缩小版本。 通常出现不同的结构。 作为一个类比，采取（无限的）自然数。 参加有限的部分，说出数字1到L.在有限情况下，与L相比，谈论小而大的数量是有道理的。这是典型的不可能的。 所以一个人发现额外的结构。 通过使事情有限，出现更详细或“细粒度”结构，在信息的存在下涂抹来说。 也许“良好”和“坏”几何对象之间的区别是一种在经典欧几里德模型中消失的附加功能。 因此，也许素数确实具有重要意义。 但问题仍然存在：这是一种新的毕达哥里主义吗？ 有关Kustaanheimo方法的更多详细信息将在补充文件中找到：有限字段作为欧几里德平面几何的模型。

2.3建设性方法

Suppes方法的原创性驻留在他建议将几何形式制定为建筑的实践中，与Hjelmslev的工作相当，尚未截然不同。 在这里，在基本的生产图或图表中，使用某些仪器，例如统治者和/或指南针，而不是在基础上的现代意义上，即几何的建设性，公理基础的现代意义上，可以理解。

两个元素从（严格）的精神审视角度都很重要。 首先，可以以无量子的方式配制结构; 表述“绘制一条线”并不意味着我们需要谈论平面中的完整线条。 “绘制一条线”将导致特定的有限对象，即线片段，例如，一张纸。 其次，所有考虑的模型都将是有限的，因为无论执行哪些结构，起点将始终是有限的点。

Suppes考虑两个基本操作：操作B，其与Disecting行AB和操作D相对应，其与加倍AB倍增。 结构中的步骤CI由三个元素组成：第一元素是要构造的（新）点，第二元素是已经存在的一对点，并且根据选择的操作，第三元件是B或D。 起始位置由三个给定点，a，b和c组成。

示例：考虑由两个步骤组成的结构（（D，AC，B），（E，BD，D））。 第一步说，以AC开始并构建中点D，并且在第二步中我们采取段BD并双倍。 示意图使清楚发生了什么：

[指向A，B和C形成三角形，线路段AB和BC是实线，线段BC虚线。 Point D在线段中途在线段BC。 虚线段BD进一步延伸到e。]

图1

从三重A，B和C开始，我们构建了平行化Abce。