逆转数学（一）
1.反向数学的历史介绍
1.1数学必需和公理方法
1.2分析的算术
1.3来自递归的反卡片逆转数学
1.4逆向数学的早期发展
2.二阶算术及其子系统
2.1二阶算术的语言
2.2二阶算法的语义
2.3二阶算法的公理
3.基础理论
3.1递归理解
3.2配对，序列和编码的基础知识
3.3整数，理性和实数
3.4Ω型号和可计算性
4.大五
4.1弱König的引理
4.2算术理解
4.3算术转留次递归
4.4π
1
1
理解
5.基本计划和逆转数学
5.1可计算数学，建设性数学和RCA0
5.2精密主义和rca0
5.3有限的简化主义和WKL0
5.4算术可定定性和序列
5.5算术转留次递归和序列限制
6.进一步阅读
参考书目
学术工具
其他互联网资源
相关条目
1.反向数学的历史介绍
1.1数学必需和公理方法
反向数学是数学逻辑的一个相对年轻的子场，在20世纪70年代中期开始作为可计算性理论的生长。 在该领域的创始人（弗里德曼1975）中，哈维弗里德曼始于询问
在数学中开展特定定理或定理体的证明是什么？ 那些孤立证明他们所需的基本原则的正式系统是什么？ （1975：235）
弗里德曼的适当公理的概念证明给定定理是其中一个不仅可以从公理中证明定理，而且可以从定理中证明公理。 换句话说，为了证明定理，并且不仅仅是足够的来说，需要适当的公理。
从这个意义上讲，找到适当的公理以证明给定定理是数学的长期努力。 欧几里德的第五部分假设，平行假设，是一个良好的例子。 为了证明欧几里德几何形状的许多重要结果，例如毕达哥拉斯定理，但历史的数学家已经发现假设令人不安。 刘易斯（1920年）表明，欧几里德试图找到从29起向第29起证明命题的合适原则，并且并行假设在结束时作为假设仅仅是因为没有其他方法证明这些命题。 将在整个古代的尝试来证明平行假设，特别是由普罗卢斯以及中世纪伊斯兰世界和现代时期（Bonola 1912; Rosenfeld 1976 [1988]）。 我们现在知道这些尝试有一个不可逾越的障碍。 如十九世纪所发现的，有些非欧几里德几何形状的型号，可满足另一个假设，但不满足平行假设。 因此，并行假设不遵循其他假设。
为了看看并行假设是为了证明毕达哥兰定理，我们需要从定理到公理的逆转。 我们通过从Pythagorean定理中授予并行假设的证据来这样做，从而建立含义
PythagoreanTheoremžParelell平行假设，
虽然小心仅使用其他几何假设而不是通过使用并行假设本身圆形的原因。 由于毕达哥拉斯定理从并行假设，因此两个陈述是等同的，另一个几何假设模型。 此外，由于平行假设与其他假设无关，因此毕达哥拉斯定理也是如此：毕达哥兰定理也是如此：在所有欧几里德的几何器中都是如此，即，那些并联假设的那些几何形状。。
Hilbert在他的Grundlagen der Geometrie中的欧几里德和非欧几里德几何形状的公理化提供了一种设置，其中可以给出原则之间的等当量证明。 特别是，希尔伯特的公理提供了像正式基础理论的东西，这可以证明毕达哥拉斯定理从平行假设，并相反。 此类证据现在是本科几何教科书中的标准练习（例如，Hartshorne 2000）。 至关重要的是，希尔伯特的基础理论不证明平行假设：由于希尔伯特显示，基础理论具有分析模型（由实数构造的），其中平行假设是真的，但也是假的。 在纯粹的逻辑层面上，如果t是正式的理论，即φ和ψ在t中可以证实，则t证明它们是等同的。 类似地，如果¬φ和¬ψ都是可提供的，那么T也证明了φ和ψ是等效的。 因此，来自希尔伯特的基础理论的平行假设的独立性表明，并联假设和毕达哥拉斯定理之间的等价是非琐碎的，因为它不能在既可证实的琐碎地面或在微不足道的地面上建立这两者都是反驳的。
虽然此条目不会进一步与几何等量的研究进一步参与，但应注意，该领域仍然存在并良好。 例如，PAMBUCCIAN（1996,2001,2006,2009）的工作在其动机中明确哲学，并且在数学中从事方法论和逻辑纯度问题的哲学家之间的兴奋感兴趣。 一些代表件是Arana（2008年; Arana＆Mancosu 2012; Baldwin 2013; Pambuccian 2019），Pambuccian＆Schacht（2021）。 Dean（2021）从不同方向与逆向数学和Grundlagen der Geometrie进行，即它们在Frege-Hilbert争议上的轴承。
第二历史先例是设定理论中选择的公理（AC）。 Zermelo（1904）通过在他的顺序定理证明中吸引它来引起广泛的选择性的首选公理。 在这个过程中，他在原则上点燃了一个争议，这引起了从这些数学亮度的广泛批评，就像亨里普林··博勒尔一样（摩尔1982年）。 在他对这些批评的反应中，Zermelo（1908）认为AC是“科学必需的”，特别是有
在我看来，在我看来，在我看来，没有选择的原则，就不会处理的基本和基本的定理和问题。 （Zermelo 1967：187-188）
Zermelo指的是“基本和基本的定理和问题”包括这种基本问题，因为两组的基数是否总是可比的。 正如毕达哥拉斯定理的那样，历史已经承载了Zermelo的争论，即选择的权利是证明这种陈述所必需的，因为它们暗示了选择的公理模型的Zermelo的其他公理 - Fraenkel Set理论（ZF）（Jech 1973; Rubin＆Rubin 1963,1985; Howard＆Rubin 1998）。 Paul Cohen的发现强制表现出与平行假设的情况的进一步相似，因为所选择的公理显示在基础理论Zf中正式独立。 因此，与顺序定理的陈述的AC等对象是非琐碎的，就像毕达哥拉斯定理一样的陈述的平行假设的等价。
然而，逆向数学与首选公理的等效性之间存在实质性差异，以及更普遍地通过ZF提供的等效性。 反向数学涉及可以由一组自然数表示的结构，而不是与任意基数组成的结构。 正如我们在此条目的过程中，这些结构和涉及它们的定理都比在第一次嫌疑人最初可能更广泛，其中包括经常被称为“普通数学”的重要组成部分。 虽然首选的公理相当于拓扑，功能分析和组合学的许多重要通用定理，但在日常数学应用中很少需要这些结果的全部性。 关于“混凝土”结构的基本特征定理，例如实数，只需要二阶算法的弱子系统的公理。 最后，通过其纯粹存在的性质，选择的公理也是区别：它没有给出来自无限家族的套装的元素的方法或程序，但仅仅断言存在一些这样的选择。 另一方面，在反向数学中研究的集合存在原理都具有可计算性 - 理论方面，因此与可定义相连，这是一种形成此条目的主要主题的东西。 对于像算术理解（§4.2）这样的原则这种连接在表面上，而对于弱könig的引理（§4.1），这是弱könig的lemma（§4.1）它的立即不那么真实，但不太真实（Eastaugh 2019）。
1.2分析的算术
虽然逆向数学的许多方面植根于几何形状，但数学的不同部分提供了许多其他：分析。 这是与基于它的实际数量的连续数学以及基于它的许多结构的数学。 随着分析的许多定理，分析提供了大部分主题，以等同于在逆转数学中研究的集合存在原理。 它也很多反向数学家的工具包，即代表二阶算术中的复杂对象和结构所需的各种编码方案阵列。
反向数学和分析之间的联系的两个方面都可以追溯到十九世纪，当数学一般时，特别是分析，接受了海洋变化。 一种动力是增加数学分析中严谨水平的愿望，用基于原理理论原理和结构的“算术”论证取代几何直觉和无穷大的数量。
在分析算术期间进行的许多重要进步，正如所谓的那样，我们可以单挑三种，特别是特别基础：收敛序列和限制的新定义; 连续功能; 并且实际数字系统本身。 假设x =⟨xn：n∈n⟩是一种无限的实数序列。 然后，实数Y是序列x的极限，在符号Y = in→∞xn中，如果对于每个实数ε＞0，则存在自然数n，使得对于所有天然数字n＞ n，| xn-y |＜ε。 这个限制概念的这种定义仅取决于真实和自然数的概念，以及无限序列的算术操作，绝对值，顺序和概念：无需求助于几何概念。 该开发设置了更彻底的算术阶段，其中实际数量的概念类似地减少。
与连续性和收敛的概念一样，实数在此期间发生重大进化的定义。 从历史上，已经对几何上构思的非理性数，例如2的平方根，作为单位方形的对角线的长度，或π作为其直径的圆形的圆周的比率。 虽然在十九世纪开发了实际数字的算术定义的分析师并未旨在消除这种几何方面，但他们倾向于观察怀疑证明的几何直觉，并希望给出真实数字的理论不依赖于这种直观的考虑因素。
一个这样的理论是Georg Cantor的理论，在理性数字的收敛序列（Cantor 1872,183）方面给出了真实数字的结构。 通过一些不合理的，设x：n→q是从自然数到合理数字的总功能。 我们可以将X视为无限的Rational Quinates⟨xn：n∈n⟩。 X是一种基本序列，如果存在k∈n，例如对于每个m的每个正立标准数ε，| xn + m-xn |＜ε，n∈n为n＞k。 然后，我们可以传统上与基本序列x相关联的实数Y = LIMX，序列x在极限中实现的值。 此外，官员展示了如何将添加，减法，乘法和划分的操作扩展到被视为基本序列的极限的实际数字。
Richard Dedekind在他的1872年专着Stigkeit und Irtalitale Zahlen中，将实际数字的方法产生了基本上不同的方法，作为“切割”或理性数字的分区进入上部和下部。 首先为1858年在苏黎世理工学院教授的介绍性课程，Dedekind的方法采取了实际数字，不适用于理性数量的收敛序列的限制，而是在“削减”中有理数。 一个切口是非空数字集的不空调对（A1，A2），使得a1∪a2= Q和A1向下关闭，而A2向上关闭：如果P和Q是合理的数字，则为P＜Q，如果q∈a1则为Q.A1p∈a1，如果p∈a2则q∈a2。 实数x∈r对应于或“由”或“由”，以便在每个p∈a1，p≤x，每个q∈2，x＜q的情况下剪切（a1，a2），x＜q。
尽管他们的概念差异，但Dedekind和Cantor的建筑有很多共同之处。 他们都将理性数字作为实数的基础，以及一些设定的理论机械。 在Defeekind的情况下，这涉及合理数字的任意子集的概念，而在CORTOR的情况下，它是无限数量的无限序列的概念。 谈论理性数字可以作为陈列望和德德克宁所知道的，原则上谈论自然数量，他们的定义可以被视为将实数减少到“算术”：自然数，以及集合理论的一些部分。 这部分实际上非常小，只需要一组自然数的概念，并且陈列望和Dedekind对实数可以（有一些修改）的定义可以在二阶算术中正式化（参见前者和辛普森的§3.3（1984）对于后者）。
除了作为理性的削减的实际数字的突破性定义还为其对作为算术连续体的基本公理的连续性原则，Dedekind（1872）还含有一个引人注目的方法逆转，如Sieg（1988：344，Fn。16）首先指出。 Stetigkeit und Irtrationale Zahlen的最后一部分致力于分析的基本定理，即单调融合定理和Cauchy收敛定理。 Defekind表明，不仅可以使用连续性的原则来导出这些定理，而是可以使用定理来衍生连续性原则。
从这一点起，算术的故事与逻辑的故事束缚。 通过弗雷格和皮尔斯的量化逻辑的发展，Peano的象征主义，以及罗素的发展型在一起的重要零件在知名现代框架的出现中，适用于算术和分析在希尔伯特学校的工作中的形式化，最特别的是在希尔伯特与威廉·阿克曼和保罗·伯尼昂的合作中。 这些在两卷（1934年，1939年）发表的希尔伯特和伯尼纪念古兰德兰德兰德利克·莫尔伯特·巨大格伦登 有兴趣的读者可能更容易获得第二版（1968,1970）。
在希尔伯特和伯尼亚·格兰德兰的许多贡献中，与数学逆转数学的最明显立即联系和二阶算法子系统的研究进出了第2卷的补充IV（1939/1970）。 该补充剂介绍了算术的几个形式主义，该算术可以被视为逆向数学中使用的二阶算法的公理系统Z2的祖先，在此条目的§2.3中定义。 大部分补充IV使用系统H，该系统H包括自由和结合的第一和二阶变量。 一阶变量的预期范围是自然数。 二阶项是一元函数术语，未设置或谓词术语，并且二阶变量的预期解释是F：N→N（希尔伯特＆伯尼亚1970：467）的函数。 形式主义的这些方面与二阶算法的语言L2非常相似，但在其他方面，系统H与当代练习相当显着发散。 一个方面是包含自由配方变量，其中一些作者如砂光机（2022：2）被解释为将三阶参数和运营商引入系统中。 另一种是，该系统使用了一种形式的Hilbert的epsilon微积分，但在补充IV部分F部分中引入的修正形式k显示了如何修改系统H以消除这种依赖性。 使用函数术语而不是设置条款，持续到以后的工作，例如GRZEGORCZYK，MOSTOWSKI，＆RYLL-NARDZEWSKI（1958），但实际上希尔伯特和伯尼亚也定义了段补充IV用于自由和结合式变量交换自由和结合功能变量的系统L.
已经建立了正规系统H所高阶算术，Hilbert和跨国公司继续将实际分析的大量分段正规化，包括显示最小上限原理的版本。 他们明确评论（希尔伯特和伯尔尼亚1970：482），可以通过单独的数字定理函数代表实数的序列，如现在由各个自然数量的反向数学所做的（参见§3.3详细信息），取决于在能够将数字 - 理论函数的（可计数）序列中的可逆映射定义到各个数字 - 理论函数上，该函数本身来自自然数对的可逆映射到各个数字。 这些代表的存在和使用可以理解为在十九世纪开发的算术传统的延续，尽管现在在正规的正规系统中，而不是非正式数学。
因此可以被理解为逆向数学的发展的基本组成部分，因为它展示了如何减少复杂的数学概念，例如真实数字，连续功能，措施等到更基本的数学概念，即自然数量和集合或集合的概念。 这种还原精神在逆转数学历史中保留了重要性，尽管它以多种不同的方式表现出来。 一个是通过希尔伯特的减少无限性数学的计划，并通过证明理论的还原计划继续。 另一个是在二阶算法的看似奥斯特·本体论中代表各种数学对象的无所不在的用途（特别是§3.2-§3.3用于介绍逆向数学的编码的必要性）。
对于读者有兴趣追踪二阶算法的发展的更详细信息，从希尔伯特和伯纳金的工作中，Dean＆Walsh（2017）的工作是一个重要的起点。 Sieg＆Ravaglia（2005）审查了勇敢的第一个版本的两卷的内容，尽管没有讨论补充IV。 希尔伯特关于算术和逻辑基础的讲座（Ewald＆Sieg 2013）还提供了更详细的关于发展最终出现在Grundlagen的思想的细节。 Sieg（1984,2020）提供了一些关于本节相关的一些概念进展的详细账目，以及它们的哲学改造。 可以在希尔伯特计划的条目的参考书目中找到其他参考文献。
1.3来自递归的反卡片逆转数学
虽然它在希尔伯特学校（§1.2）的工作中有深刻的根源，但逆向数学可能最好地理解（历史上）作为可计算性理论的生长，以及最明确的理论。 特别地，逆转方法可以被视为源自递归监测到古典定理的传统。 这些是可计算对象，其在其量子限制为可计算（递归）对象时见证了经典数学定理的故障。 递归校长的特征示例是斑点序列：具有没有可计算限制的可计算，有界依次的实数序列。 斑点序列是递归对定理等单调融合定理和Bolzano-Weierstraß定理的定理。
Specker（1949）避免了从他的结果中汲取明确的哲学结论，但似乎很清楚他理解它们不仅适用于可计算分析，还可以应用于建设性的数学。 这是逻辑学者的常见态度的时间：因为递归函数的正式概念使我们能够对算法和有效手术的非正式概念进行精确的数学表征，因此假设它也可以让我们了解非正式概念是自然的数学建设。 通过Kleene通过kleene开创了计算性理论，以其对直觉逻辑（Kleene 1945）的可实现性解释开创。 Kleene在可实现性和Brouwer的粉丝定理上（Kleene 1952）的工作导致了他的Kleene树的建造，这是一个没有可计算路径的可计算树，这对于发现弱König的计算性 - 理论性质很重要引理。 一个独立但同样重要的发展是马尔可夫学校在俄罗斯的递归建设性数学的发展，这也试图了解递归职能概念（Nagorny 1994; Kushner 2006; Moschovakis出现的概念）。
许多建构主义者要么接受教会的论文的形式 - 所谓的每个建设性过程在其输出方面都基于其输出到可计算的函数 - 或接受与其一致的系统。 像单调融合定理一样的定理与这种方法不兼容，因为在发现斑点时，有可计算（并且因此是构造的）有限数的有理数，没有可计算限制。 因此，构造主义的斑点序列的极限不仅是因为它意味着它意味着建设性教会论文的虚假性，而且因为它意味着一个原则被称为无所不知的有限原则（或LPO），法律削弱被排除的中间的建构主义者通常也拒绝（Mandelkern 1988,1989）。
发现古典数学定理等单调融合定理或König的引理暗示不可计算的集合的存在是逆向数学的主要步骤。 这是因为这样的结果通常提供更多信息，而不是仅仅是不可计算的集合的存在：它们展示了不可计算的特定复杂性集合的存在，位于算术或分析层次结构中的某个点。 例如，Specker的证据表明，有界数的有界序列的存在的存在意味着用于在每个输入上停止的机器的CODES的集合k的存在。 这是从单调融合定理到算术理解的逆转的想法。
