逆转数学（四）

为了定义算术转发递归，我们必须首先通过订购良好地了解此设置中的意义。 据说二进制关系r⊆n×n如果对于所有x，y∈N，if（x，y）∈r和（y，y）∈r，则据说是反身 如果R是反身关系，则我们定义字段（R）= {x：（x，x）∈r}。 如果且仅if（x，y）∈r，x＜ry if any of（x，y）∈r和（y，x）∉r，则只有（x，y）∈r和（y，x）∉r。 可数线性排序是反射关系，其也是传递的（如果x≤ry和y≤rz，则x≤rz），反对称（如果x≤ry和y≤rx，则x = y）和总共（如果x，y∈field（如果x，y∈field（如果x，y∈field））然后x≤ry或y≤rx）。 我们将lo（r）写为缩写，用于断言R是可数线性排序。 如果R是反射关系，则R如果不包含无限下降链：对于所有F：n→字段（r），则存在n∈n，使得f（n + 1）≮rf（n）。 我们将WF（R）写为缩写，即r熟悉的r is。 可数良好的顺序是可计算的线性顺序R，其也是良好的。 编写WO（R）作为缩写的公式断言，R是可数井排序的，即lo（r）∧wf（r）。

定义算术Transfinite递归的下一步是层次结构的概念：由操作员的重复应用程序的一些初始集合构建的集合系统。 给定公式φ（n，y），设hφ（x，y）是断言x是可数线性排序的公式，并且y是所有对（n，j）的集合，使得j∈field（x）和φ（n，yj），在其中

yj = {（是，我）：我＜xj∧（是，我）∈y}。

该定义背后的想法是Y是迭代由排序x的公式φ定义的操作员的组的层次结构，并且该YJ是在迭代的级别J构造的集合。 算术转发递归的公理方案包括该方案所有实例的通用封闭

∀x（wo（x）→∃yhφ（x，y））

其中φ（n，y）是氧化术。 系统ATR0由RCA0的公理组成，加上算术转发递归的AXIOM方案的所有实例。

鉴于公理的性质，它不成富的是，相当于ATR的定理都具有一些明确的或隐含的连接与可数井排序。 其中一个最根本的，部分原因是其在许多逆转证明中的作用，是看似无害的声明，即任何两个可数井排序是可比的：必须始终是另一个初始部分的同构。 自从在1880年代初期（Ferreirós2007：第六章）中的冠军工作中的成立以来，秩序已经与点集（在最基本的案例中，实数量的套装组）有限。 Cantor在他对Cantor-Bendixson定理证明中使用的可数秩序，每个封闭式集是完美套装和可数集合的联盟。 本定理实际上是相当于π

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理解（§4.4），但是来自描述性集合理论的其他定理只需要算术转发递归。 其中一个结果是每个关闭集包含完美子集的完美定理定理。 另一个是Luzin的分离定理，任何两个不相交的分析集可以通过完美的集合分隔。 本定理标准用于描述性集合，以证明苏尔林套装的定理正是那些补充的分析套装的分析（Kechris 1995：14）。 因此，苏琳的定理也可以在ATR0中证明，尽管它不等于它。

4.4π

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理解

最后五个系统的最后一个是π

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-ca0，其特征公理是π

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理解方案。 二阶算法语言中的公式φ是π

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如果它具有形式∀xθ，其中x是集合变量，θ是算术公式。 公式φ是σ

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如果它具有∃xθ的形式，则具有θ算术和x设置变量。 每一个π

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公式相当于σ的否定

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公式，每一个σ

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公式等同于π的否定

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公式。 π

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理解方案包括所有形式所有公式的普遍封闭

∃x∀n（n∈x↔φ（n））

其中φ是π

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x不自由，虽然φ可能包含其他空闲集和数字变量。 π的原理

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-ca0是rca0的公理加上π的所有实例

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理解方案。 虽然人们也可以定义相应的σ

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理解方案，这结果是不必要的，因为σ的每一个例子

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理解在rca0中被证明是相当于π的实例

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理解。

π

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需要理解，以便在ATR0（§4.3）中可提供完美集的结果。 历史上最值得注意的这样的结果是Cantor-Bendixson定理，这些定理是每个关闭的集合都是完美集合和可数集的联盟。 KREISEL（1959）证明了可计算的封闭组形式F =fp∪fc，使FP是完美的，FC是可数的，但FP和FC的代码是π

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但不是δ

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。 这表明Π

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为了证明Cantor-Bendixson定理，实际上，需要理解，实际上，Cantor-Bendixson定理在ACA0到π

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理解（SIMPSON 2009：定理VI.1.6，PP。219-220）。

其他重要结果在描述性集合中等于π的重要结果

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理解包括Kondô-Addison定理，每个共纳展关系都可以通过协调功能统一，银色的定理，每个协调当量关系都包含多种或22ℵ0的等价类别，以及Σ游戏的确定性

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∧π

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支付套装。 π

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对于群体理论的许多结果，也需要-CA，涉及可数订购组的订单类型和可数雅贝基团的结构理论。 所罗门（2001）表明Maltsev的定理相当于RCA0至π

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-CA，虽然弗里德曼，辛普森和史密斯（1983）对该声明显示了同样的声明，即每个可数雅利安集团是可被分割群体和减少组的直接总和。

π

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-CA0是在逆转数学中标准研究的最强系统，尽管已找到逆转系统。 一个这样的示例是π之间的等效

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关于最大过滤器空间的总体拓扑的理解和语句（Mummert＆Simpson 2005）。 其他陈述，例如确定性公理，甚至更强大（Montalbán＆Shore 2012）。 尽管如此，对于在反向数学中研究的大多数数学陈述，甚至是π

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-ca0是一个更强大的系统，以证明它们是必需的。

5.基本计划和逆转数学

5.1可计算数学，建设性数学和RCA0

RCA0中的数学股票与大量建设性的数学方法，最重要的是，主教的传统，俄罗斯建设性数学和可计算分析中（旧文本也称为递归分析）。 然而，也存在重要的差异，主要是符合被排除的中间（LEM）法律的使用，作为在古典逻辑中配制的理论，RCA0满足。

在正式系统之间的联系中心，RCA0和建设性数学的传统是教会的论文。 在建设性数学的背景下，这指出每个建设性函数都基于递归函数等同于递归函数，即，存在一个在每个输入上停止的图灵机，并产生与构造功能相同的输出。 使用Kleene的T谓词和U功能，我们可以将其形式形式形式化为

∀f∃e∀n∃p（t（e，n，p）∧u（p）= f（n））。

如§1.3所述，在可计算函数方面对建筑概念的解释可追溯到20世纪40年代在20世纪40年代的可计算性理论的早期历史。 由于CT可以作为二阶算法语言作为正式声明，因此我们可以考虑其与二阶算法的经典子系统相关的状态。 CT与RCA0一致，因为RCA0的公理在由所有和仅计算集（§3.4）组成的ω-model rec中满足。 然而，它与暗示不可计算的集合的存在的更强的系统不一致。

俄罗斯建设性数学，在马尔可夫的传统中，拥抱了建设性程序是算法的想法，从而建立了一个教会论文的一种方法（Kushner 2006）。 主教的建设性分析遵循不同的路径：拒绝被排除在中间的法律的道路，而是在他的创造主题论点中接受了布鲁沃的新基础，也不接受与俄罗斯建构主义者的可计算性理论的密切关联。 正如主教所说，他发展分析“凭借建设性数学的本质的绝对最少的哲学偏见”（主教1967年：IX），继续断言“这里没有我们必须的教条符合”。 因此，主教的系统与古典数学，直观的数学以及教会的论文一致。

然而，系统RCA0不是任何这些建构主义观点的忠实形式化：它嵌入的古典逻辑是一个不可逾越的障碍。 中间值定理提供了一个很好的例子是为什么这是这样的。 虽然中间值定理在RCA0中可提供，但证明基本上依赖于通过被排除的中间法律进行的案例区分，因此而不是建设性地提供（桥梁和Richman 1987：5）。 这限制了我们在RCA0中使用可证明的能力作为建设性可加速的标记。 进一步的并发症是通过的，即在RCA0中，诱导限制为σ

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谓词，而构建主义者倾向于在诱导的用途中接受不受限制的量化复杂性。

在某种程度上，像Aberth（1980）和Pour-El＆Richards一样的工作中所呈现的可计算分析提供了与RCA0更好的匹配而不是建设性分析，因为辛普森（2010）表明。 这确实具有各种各样的地区，因为培养福音（1985年）备注，

存在一个连贯的数学哲学，递归数学代表了数学宇宙的真相。 如果一个人认为这个视图，那么受试者的意义超出了仅仅是对反例的产生。 [...] [T]他在教堂的论文下是一个有趣的地方，充满了惊喜（如任何外国），但不是任何意思也是混乱的支持生活。

彻底的建构主义者不采取自然数量以形成完整的无限总体，而在可计算分析中，可计算性理论（使这一假设的标准机械被视为基础（Pour-El＆Richards 1989：VII）。 因此，在RCA0中使用古典逻辑是毫无疑问的。 递归理解，其特征公理似乎为可计算数学制造。 因此，更容易说RCA0中的可证明是在可计算分析中暗示真相，尽管对诱导原理的限制确实意味着，就可计算数学而言，RCA0是一种不必要的限制系统。 此外，递归的反例（§1.3） - 因此，逆转设定存在的原则，这些原则在可计算数学的背景下具有明确的解释，即表明它们是假的。 π

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然而，应从这种分析中排除陈述，因为任何真正的π

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ω-Model REC中的语句将在ω-Model Rec中进行真实，因此无论是否在RCA0中都可以证明它。 有关这一点的进一步讨论，请参阅（Eastaugh 2019：157,171-172）。

5.2精密主义和rca0

正式的系统RCA0还与其他重要的基础计划，希尔伯提主义的优势有关。 希尔伯特的计划是通过纯粹的有限手段证明其一致性来确保坎德尼亚无限数学的现状。 这反映了希尔伯特的双层认识论，其中有限组合陈述具有特殊状态，因为与理想，无限数学的抽象要素不同，他们关注“额外的离散物体，这在所有思想之前直接存在直接体验”（希尔伯特1922：163）。

对于Hilbert，数值方程，真实（有关的内容）命题包括通过先命题连接（否定，结合，分离，暗示）可以由方程形成的更复杂的陈述。 此外，这种陈述的通用封闭还具有合成含义，因为我们可以将它们视为模式：∀xφ（x），其中φ是无量值的，意味着对于任何给定的数字

¯

n

，我们可以以φ（

¯

n

）。 它是一种不合时宜的，但技术上有助于将这类陈述称为π

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算术语言的句子。 与此相比，理想的陈述没有合同含义：它们只是象征性，

本身的公式似乎只是仅仅是由我们的规则管理的事情，并且必须被视为理论的理想物体。 （希尔伯特1928 [1967：470]，重点是原来的）

根据希尔伯特的说法，这些理想的物品是必要的，以便收回逻辑的一般原则，包括中间被排除的法律，因为他认为没有他们是不可能的分析的发展。

因此，希尔伯特进行了一项可接决辩护理想数学的计划。 由于理想的数学可以在逻辑计算中正式化，例如在白头和罗素的Principia Mathematica开发的逻辑计算中，因此Hilbert计划的目的成为分析和集理论的形式的数学理论的一致性。 为此，希尔伯特及其合作者开发了校正理论的工具，包括ε-微分。 在概念方面，真正的命题旨在类似于物理学的实验观察，这可以确认或反驳理论。 在这一类比中，理想的数学就像一个给予一般法律的物理理论，只有单独的实例可以验证。 因此，理想的数学应该是保守的实际数学：任何可以通过理想方法证明的真正命题也应该以合理的方式提供。

鉴于Tait（1981）分析了有限的推理作为原始递归推理，π

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- RCA0在PRA（§4.1）的编制性接受与希尔伯特保守计划相关的哲学维度。 Tait为两个索赔辩称，现在通常被称为Tait的论文。 首先是精神函数f：n→n是原始递归函数。 第二种是有限地提供的π

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（即，实际）句子正是正式系统PRA中可提供的句子。 通过上述保守定理，这些也是π

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RCA0中可提供的句子，而且，RCA0可以证明的可计算功能是总是是基元递归的函数。 虽然RCA0显然在某种意义上是一个无限性的系统，其中可以通过保守定理来执行关于无限目的的大量数学推理的无限数学推理，其后果也有一些索赔可将其降低到综合系统，因此也许以某种乐器的方式可以接受精神派。 这种有限的还原能力在§5.3中进一步讨论。

达特的论文已被广泛讨论并广泛接受，虽然没有他们在路上的批评。 这些批评可以分为两种粗略的类型，历史和概念，虽然这些有时是交织的。 在概念方面，有两组申诉人：那些考虑Tait的分析过于自由的人，如GANEA（2010），以及那些认为过于保守的人。 Kreisel（1958,970）是后者的一个突出的例子，争论将在PA中的可加速度识别出优化的可证明性。 Kreisel和Tait之间的分歧的核心是功能f：n→n的状态，它是可计算的，但不是原始递归，因此在性质上有可谓是合法的，但仍然违反了达泰考虑过度主义的界限。

这种功能的典型例子是Ackermann-Péter函数。 在1928年由Wilhelm Ackermann发现的，其论文提供了第一级实质性示例的第一级一致性证据，随后通过Péter（1935）简化，然后通过罗宾逊进一步简化（1948）。 Ackermann-Péter函数由双重递归定义定义，如

π（0，x）= x + 1，

π（我+ 1,0）=π（我，1），

π（我+ 1，x + 1）=π（我，π（我+ 1，x））。

当代视图与Ackermann-Péter函数是有关的，甚至是贝尔伯特是否被认为是这样的。 在捍卫的观点中，有限的经验性在PA的可证明恰逢PA，Kreisel（1970）指出，希尔伯特在希尔伯特1926年的Ackermann职能明确讨论作为希尔伯特认为该职能是有限的自然。 采取相反的地位，Tait（1981）认为，Kreisel的观点是基于希尔伯特的误读，并且希尔伯特本人没有考虑Ackermann的功能是有合的简单账户，而是相对于非综合类型。 最近，Zach（1998）得出结论认为，虽然在20世纪20年代初，但在20世纪20年代初，Hilbert没有想到他的精神主义，因为他超越原始递归，有理由相信后来希尔伯特，特别是他的合作别墅，越来越多地看着不同的观点并考虑Ackermann-Péter函数，以及通过更高型递归定义的其他功能，自然是合法的。 有关这些问题的进一步讨论，请参见2002年捷联; Zach 2003; 和Dean 2015。

5.3有限的简化主义和WKL0

根据Tait（1981）先进的两个论文，其中§5.2中的RCA0和精神主义的讨论，精神审查功能正是原始递归函数，而精神定理正是π

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PRA中可提供的句子。 假设一个人在确定有限主义数学的程度和限制方面授予Tait's的正确性，并且哥德尔的不完整定理对真正实现来说是一种不可逾越的障碍希尔伯蒂安梦想将所有无限数学降低到有关数学，问题仍然仍然有关惠兰减少可以恢复理想数学的程度。 辛普森（1988年）提出了他所谓的贝尔伯特计划的一部分实现。 辛普森的想法遵循20世纪20年代中期的希尔伯特的想法，其中通过展示了实际数学的无限数学保守的方案所取代了对无限数学的一致性的合约证明的计划：即，如果一个有限的有意义的陈述承认理想的证据，那么它也是有限的。

哥德尔的不完整定理似乎表明，这种保守计划不能成功，至少如果我们接受所有合理的推理，可以在固定的公理系统T如PRA内正式化。 无论我们在何处绘制有限性和无限数学之间的线路，有关数学的数学都不能证明自己的一致性，更不用说，不确定数学。 辛普森接受了这篇关于不完备定理对希尔伯特计划的影响的接受的智慧，但据称我们尽可能达到希尔伯特计划的部分实现。 SIMPSON建议倾斜π的过度减速论计划

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-CKL0在PRA（§4.1）的编制性。 这个想法是任何有意义的有意义的（即，π

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）句子φ可以证明在理想的内部系统WKL0中也可以在PRA中提供，因此通过Tait的论文是有机的。