逆转数学（五）

可以在WKL0中开发的数学是广泛的，并且Prima面向这对辛普森的位置提供了很多物质。 然而，这一观点吸引了其批评的份额。 首先说明一个人可能会拒绝保守的约束，因为DetleFsen（1990）确实如此。 我们将通过这种方式，因为解决它们会带我们太远的地方。 第二种类型的批评是由Sieg（1990）的代表性，将SIMPSOON致力于忠实于历史悠久的希尔伯特计划。 给予这一点索赔它应该的注意力，类似于第一种类型的反对意见，需要比这个条目更详细的研究，但读者被引导到希尔伯特计划的进出点，从中开始调查这个问题。 第三种类型的批评者指出，尽管WKL0的强度，但数学的大量部分 - 即使我们将自己限制在所谓的“普通数学” - 重新浏览的“普通的公理”§4.2-§4.4中的结果证明。 当然，这是对可以在SIMPSON的过度减速症中恢复的数学的程度的公平批评，但它也是一些意义的错位，因为作为辛普森强调，他的计划只是旨在作为部分实现希尔伯特，而不是一个完整的。 此外，随着辛普森所指出的，优化的还原主义不限于WKL0，因为WKL0的严格延伸仍然是π

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- 在PRA上提供，包括系统WKL

+

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Brown＆Simpson（1993）介绍，甚至WKL0 + RT介绍

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（Patey＆Yokoyama 2018）。

从保守定理本身的地位源于一个更敏锐的和微妙的论点。 仅仅是WKL0是π的事实

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- 保守对PRA不足以建立真正的有限化的减少，因为为了吸引它，必须从合理的角度来看保守的结果。 通过吸引Sieg（1985）定理可以部分反驳这种反对，即存在一个原始递归证明转换，这将改变任何WKL0Π的WKL0证明

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判入同一个句子的PRA证据。 如果我们接受Tait的论文，那么证据转型是一种合理的程序，用于从内限的内部制作单一的合法证据，就像希尔伯特（1928年）预期一样。

然而，初始异议可以以更具破坏性的方式拼写出来，绘制已经由Tait（1981）制造的一点，即他的论文提供了对精神主义的外部分析而不是内部分析，这些内部是可从合理立场访问的内部分析。 这是这种情况，优惠员没有在一个职位评估Tait的论文，因为它们的表征涉及无限概念，例如任意函数F：n→n既不理解也不理解的函数f：n→n。 Burgess（2010）认为，由于这，优惠员无法理解Sieg的保守证据，因为提供了一种在形式数学，WKL0中转换了正式系统的证据，以满足性综合系统的证据。 相反，它们只能理解它作为将一个正式系统中的证据转换成另一个正式系统的机制。 然后，它们可以富于施加证明转换获得的每个PRA证据确实是一个有限的证据。 然而，他们不能接受一般声称，所有此类证据都是合理证据，因为这将接受PRA的反思原则，这意味着PRA-A声明的一致性，由Tait的第二个论文和哥德尔的第二个不完整定理，不是有限的（Giaquinto 1983; Dean 2015）。

5.4算术可定定性和序列

由于Hermann Weyl的专着DAS Kontinuum（Weyl 1918），算术可定定是与数学基础的预测方法有关。 Weyl认为现代定型结构的实际结构和相关的分析理论是“房屋[...]在沙滩上建造的大型度”（Weyl 1994：1）。 他为自己设定的任务是基于哪个分析理论，基于哪个罗素的悖论归咎于罗塞尔的悖论，并且比罗素的类型理论体现了数学上更自然的方法。 正如韦斯本人所指出的那样，DAS Kontinuum的思想与罗素和庞加莱的方法有很大的共同之处。 他们同意他们对拒绝执法的理解，韦斯的水平体系对应于罗素的类型理论（Russell 1908; Whitehead＆Russell 1910）。 因此，Weyl的观点已被称为预测性。 尽管有这些共性，但Weyl对他认为是普内华州的账户的不精确至关重要，并且他强烈不同意罗素方式的几个支柱。 特别是，他拒绝了罗素的逻辑论的一些还原论点，这通过等价课程定义了自然数，而Weyl将它们带到基础。 Weyl还拒绝了Russell的还原性的公理，并将其职位“被名副其实的深渊分开”（1994：47）。

在开发他的系统中，Weyl被两个关键视图所指导。 首先，他同意Poincaré关于数学思想的基本性，由无限序列的自然数量所体现的。 其次，他不仅仅拒绝了天真的理解和每个概念（但精确定义）具有相关扩展的想法。 相反，他提出了定义原则，或者在其上，我们现在识别的是一阶可定义的属性可以是不上面的，以便有扩展。 Weyl接受了他的制度的使用将导致损失在Cantor和Dedekind的设定理论正统下接受的一些数学原则。 一个这样的伤员是最小界限公理，原理是每个有界实数的原则具有最小的上限。 尽管如此，最小上限的公理的许多重要后果仍然持有Weyl的系统，例如单调收敛定理和Heine-Borel定理的连续形式。

在DAS Kontinuum发布后，Weyl从分析的设定理论观点脱离了一个更加激进的一步，并拥抱了Brouwer的直觉。 当Grzegorczyk（1955）重新审视Weyl的思路之前，预测分析的主题未再次播放，直到20世纪50年代使用新的可计算性和可定定性理论的新工具重新审视Weyl的想法。 Grzegorczyk通过当时的许多人来说，Grzegorczyk确定了Weyl的分析，其中尤其是初步分析，这意味着每个实际数字必须由基本的（也就是说一阶）定义给出。 这相当于研究分析约束到ACA0的最小Ω模型，算术集的阶级结构。 Kondô（1958）和大多数人（1959年）追求了类似的基本或算术分析方法。 所有三个受到层次理论的发展的影响及其与描述性集合理论的关系，这在其描述性复杂性方面对实数进行了分类。 特别似乎似乎受到法国分析师和“半直觉主义者”博尔埃尔，拜雷和勒贝因的影响，他们首先在二十世纪初推出了我们现在呼叫描述性集合理论。 他们使用了Cantorian集理论的工具来定义其建筑的复杂性（Kanamori 1995）的复杂性定义集合和功能，但对Cororian图片的许多方面持怀疑态度，包括首选的公理（Moore 1982）。

GRZEGORCZYK和MOSTOWSKI均提供与ACA0密切相关的算术分析的方法的公理化。 GRZEGORCZYK的公理（GRZEGORCZYK 1955：337-338）是PEANO算术，在简单的类型理论中配制，但理解为公式，其中唯一的量词是那些最低类型，自然数。 因此，这种限制理解原理是一种算术理解的形式，尽管适用于更高的类型以及自然数。 另一方面，大部分是衍生自Gödel-·伯尼斯集理论GB的公理化（大多数人库1959：184-185）。 GB是一种双重理论，其中第一种变量范围在套件上，以及课程的第二种排序。 在莫斯兹基的系统中，第一种变量范围在自然数和第二种自然数字上的排序范围。 这产生了靠近ACA0的公理系统，其最小Ω模型是arith。

作为Feferman（1988）探索，有几种方式，ACA0没有完全对应Weyl的系统。 首先，目前尚不清楚Weyl是否会接受完整的感应方案（π

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∞

- 或者只是感应公理（IND）。 ACA0只有后者，并添加前者生产证明理论上更强大的系统ACA。 Weyl还承认了不是一阶可定义的迭代原则（原则8），尽管他的方法中的这种差异是他的（Feferman 1998：265）。 然而，ACA0的公理可以对DAS肝内的预测结果有理解，其大量的数学实力表明，Weyl是思想只有在许多应用程序只有足够大阶层理解的系统方便的系统。 进一步阅读序列及其历史发展，见Feferman（2005）。 §2.2院长＆沃尔斯（2017）提供了更完整的叙述Grzegorczyk，Kondô和莫斯沃斯基的算术分析的发展。

5.5算术转留次递归和序列限制

在发现可计算性 - 理论层次结构之后，在20世纪50年代进行了重新兴趣的令人兴趣的兴趣，这导致了一系列概念和技术开发，延伸和改进了预测可定义的概念和在可计算性理论和证明理论方面，令人遗憾的证明，以及提供这些概念的复杂分析。 在GRZEGORCZYK，MOSTOWSKI和Kondô的替代性（§5.4）的算术分析之后，KREISEL（1960）建议，如果他们出现在大滑石等级。 在证明理论上，这导致了Δ的系统识别

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-ca0和σ

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-Ac0作为谓词（Kreisel 1962），因为大型物品组Hyp的类是两个系统的Ω模型。

尽管如此，Kreisel的提议仍然似乎包含一个谨慎的组成部分。 作为自然数的子集，任何过石母种井排序是可疑的，因为通过旨在的结果（1955），因此实际上将是可计算的。 然而，排序实际上的事实是一般的东西，可以令人信地确定：是一个粗略的是π

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属性，因为它涉及量化在订购的所有可能的无限下降序列上，或者等效地，在排序的所有子集上。 实际上，所有代码的集合用于可计算井排序，kleene的o是π

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-COMPLETE，因此是一个QuintESSENCLY IMPRIDIDIAL对象（Kleene 1955：207）。 这次担心已经被Kreisel（1960：27）所指出的，并且可以令人信地证明将可计算的线性排序的思想术语被证明是在20世纪60年代导致的一系列进步。

在大型机制层次结构中体现的是横向的概念：将P（Ω）中的集合分成通过TransFinite迭代构建的级别。 这个想法已经出现在罗素试图克服定型理论悖论并以逻辑学家为基础发现数学的几种形式。 在分析和自然数集合的预测理论的背景下，分枝分析层次是由条件定义的自然数组的Transfinite层次结构

r0的=∅，

rα+ 1 =（rα）*，

rλ=

⋃

β＜λ

λ是极限序数时，

其中d *是通过放置x∈d* iff从d⊆p（ω）获得的集合，当φ中的所有二阶量器被限制为d的所有n∈n，n∈x↔φ（n）时，φnnnaxieφ缩回性在于，只有在较早的阶段在层次结构的一些早期阶段，才能允许二阶量化才能允许。 通过Kleene（1959）显示过石英套装，精确地显示在阶段ω之前的分枝分析层次中的那些

ck

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，即，hyp =rω

ck

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。

一旦证明是要被视为谓词的序列α的条件，那么需要正式的系统，其中这种α控制了允许的预测能力的允许迭代的长度。 这引起了经式分布分析系统的经线进展的发展。 与序数α相关联的系统RAα具有变量x

β

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，x

β

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，对于每个β≤α，并且声称β-th水平的β-th水平的组存在于所有β≤α的公理。

然后可以如下定义谓词序列。 如果α是谓词序数，则≺是（设置编码A）线性排序，并且β是≺的顺序类型，则β是预测的，如果raα⊢wo（≺）是预测的。 这有时被称为自主状态。 因此，通过从0开始产生预测序列，并证明更大且较大的顺序是预测的，在更强且更强的正规系统RAα中，其中在β1的一些较弱的系统Raβ中被证明是α的预测性。 Feferman（1964）和Schütte（1965B，1965A）独立证明了，最少的命令是γ0，现在称为Feferman-Schütte序或序列的顺序。 因此，我们可以表征令人遗症可证明的陈述，作为可以在α＜γ0的一些RAα中证明的那些。

ATR0的证据理论序数也是γ0，就像被分枝分析RA＜γ0=⋃α＜γ0raα的所有预测系统的结合一样。 此外，ATR0是π

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- 通过Ra＜γ0，所以任何π

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在ATR0中可提供的句子φ也将在α＜γ0-in命令单词的一些RAα中可提供，φ将具有预测证明。 符合证明理论的还原程序，对α＜γ0的系统RAα进行证明的证明性的系统被称为可令人遗憾的是。 ATR0不能令人遗憾地还原，因为它仅对逐个分析的所有预测子系统的联盟进行证明，因此可以证明α＜γ0的任何单独RAα的一致性。 然而，由于上述保守结果，ATR0被认为是局部可令人令人遗症的可降低，从中有任何π

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ATR0的后果可以在分布分析的预测子系统内恢复。

该物业LED SIMPSON（1985）建议ATR0可以在类似于有限化的简化学计划（§5.3）方案中发挥重要作用。 这种程序的价值在于，虽然算术经细分递归相当于在更明显的预测系统ACA0中不能恢复的许多数学定理的情况下，但在ACA0和ATR0之间的间隙中发现了很少的结果。 这一情况已经在20世纪60年代由Kreisel指出，他们评论了这一点

在由工作数学家开发的分析部分中，定理通过算术理解公理可实现，或者根本没有预测（在verv函数中不太真实）。 （Kreisel 1962：316）

相比之下，ATR0证明了许多描述性集合理论，代数和其他数学领域无法证明的许多定理，这些地区无法在各个预测系统中证明。 它可以通过替代主义者乐于用来证明π的想法

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然后，通过保守定理，涂抹为令人遗憾的合法的定理是一个持有一些吸引力的定理。

尽管如此，这种观点易于通过Burgess（2010）提出的同样批评的版本，以防止过度的减速主义。 虽然卓越主义者将能够证明保守定理，并且看到任何π

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定理将在一些RAα中提供，这并不是通过本身给予他们对该定理的预测可证明的权证，因为鉴定具有在RA＜γ0中的可加速度的预测可证明是一种预测的外部分析，其中包括其他事实Γ0是一个明确的对象 - 如果Feferman-Schütte分析是正确的，则无法同意的东西。 它们必须验证减少给出的证明是否确实可接受，并且在过程中检查相关α是谓词序数。 因此，还原剂方法的优点必须撒谎，因为伯爵指出，而不是在预测可加速度的快捷方式中，而是通过通过算术转留次递归的公理方案来推理的一些概念优势。 此外，似乎使得令人预测的减少主义具有有吸引力的前景的非常逆的数学结果也存在各种各样的问题。 由于陈述的陈述不仅仅是在ATR0中可以证明，但实际上相当于其特征公理，因此他们本身就严格地说了命运。 因此只有他们的π

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可以通过减少获得的后果，而不是定理本身。

6.进一步阅读

反向数学的主要参考工作和大五位是斯蒂芬辛普森的二阶算法（SIMPSON 2009）的子系统。 Denis Hirschfeldt的专着切片真相（2014）是一本旨在在数学逻辑的研究生的介绍教科书。 它的重点是组合原则，如Rt

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辛普森（2009）没有详细介绍。 Damir Dzhafarov和Carl Mummert的反向数学：问题，减少和证据（Dzhafarov＆Mummert 2022）是对当代逆向数学的全面介绍，呈现RCA0可提供的征得许多减少概念中的一个，也在辛普森，特别是组合原则和逆向数学动物园的当代逆转数学中对许多重要性的最新治疗。 John Stillwell的逆转数学：来自内部的证据（仍然威尔威尔2018年）是一本旨在书的介绍书，旨在至少在数学和数学基础上的本科级别教育和对数学基础的兴趣。 逆向数学是数学逻辑内的一个相对年轻的字段，因此没有明确的历史。 它的起源和主要子系统的起源和主要子系统在Dean＆Walsh（2017年）追踪，这也为关键历史来源提供了简单的参考。

对逆向数学的动机，方法，技术和问题的一般调查是岸（2010年）。 Montalbán（2011）在逆向数学中提供了一个开放问题的清单，尽管读者应该意识到它们现在已经解决了许多，并且在逆向数学的研究方向已经出现了两者出版物（Montalbán2011）和（2010年岸）。 特定注意的两个区域在这些调查中受到了代表性。 第一个是π更细粒度的可再粒度概念

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句子，如卫浴还原性。 最近对WeiHrauch的还原性和可计算分析的调查是Brattka，Gherardi和Paus（2021），而对π的还原概念更一般讨论

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句子可以在Hirschfeldt＆Jockusch（2016年）找到。 第二个是更高阶的逆向数学，其修改二阶算法的正式框架以包括三阶和高阶实体，从而允许在分析，拓扑等中的许多数学对象的更直接形式表示。 海岸（2010年，2013年）提出了一种使用更高递归理论的高阶逆向数学方法，但更多的有影响力的使用高阶算术（Kohlenbach 2002,2005）是Kohlenbach的方法。 在本框架中证明了一些引人注目的结果。 例如，Normann＆Sanders（2019A）表明，堂兄和Lindelöf的lemmas的三阶形式化都意味着完整的二阶算术。 其他最近的工作在高阶逆转数学研究中研究了Transfinite递归（Schweber 2015），堂兄的定理强度如堂兄的引理和仪表整体的性质（Normann＆Sanders 2019b），定理关于开放套（Normann＆Sanders 2020），以及像尺寸和缓慢的拓扑观念（砂光机2020）。

最后，尽管在几个点已经解决了与建设性和直觉数学有关的问题，但此条目几乎专注于古典逻辑的逆向数学。 这使得在建设性或直觉环境中揭示了逆转数学的各种方法。 Ishihara（2005年，2006年）和Veldman（2009,2014）明确发起了当代形式的建设性逆向数学，但该领域的研究人员经常查看朱利安和Richman（1984），因为证明了第一个结果在建设性逆转数学中。 另一个值得注意的早期例子是Mandelkern（1988）。 建设性数学条目第5节提供了对与主教建构主义对应的非正式基础理论中的建设性逆向数学的介绍。 Diener（2020 [其他互联网资源]）提供了与现场结果的务实概述，而Loeb（2012）则提供了对该计划的关键评估。