量子理论与数学严格（一）
1.简介
2.冯·诺伊曼和量子理论的基础
2.1量子力学的可分离希尔伯特空间配方
2.2操作员，量子逻辑和连续几何形状的环
3. DIRAC和量子理论的基础
3.1 Dirac的Δ功能，原则和BRA-KET表示法
3.2量子力学的装配希尔伯特空间配方
3.3哥伦比亚代数
4数学严格：两条路径
4.1代数量子场理论
4.2威斯曼的公理量子场理论
5哲学问题
5.1语用品与公理学
5.2中间地
参考书目
学术工具
其他互联网资源
相关条目
1.简介
有两种竞争数学策略与物理理论一起使用; 一个强调严谨和其他语用品。 务实的方法往往妥协数学严谨，而是提供的表达式的计算和优雅。 在点的情况是无限的概念，非零数量小于任何有限量。 只要在他着名的1734年关于分析人员批评的伯克利在分析师批评的批评中显然出现了数学上严谨的基础，仍然使用了许多其他人在开发和使用各自的物理理论中使用了许多其他人在开发和使用各自的物理理论中使用的穷人。无穷小。 这种批评并没有阻止各种18世纪的数学家，科学家和工程师，如欧拉和拉格朗日，从使用无穷大学获得准确的答案。 尽管如此，对RIGOR的拉力导致了19世纪的发展，Cauchy等人的限制概念，这提供了一个严格的数学框架，有效地取代了无穷大的是无限的理论。 在20世纪下半叶的下半年，罗宾逊最终为无穷无尽的严格基础，但无限的人很少用于当代物理学。 有关Infinitsimals的历史，请参阅连续性和无穷小的条目。
在关于量子力学的数学基础的更新讨论中，竞争的数学策略表现出来。 在Von Neumann（1955）关于该主题的序言中，他指出DIRAC为量子力学提供了一个非常优雅和强大的正式框架，但涉及该框架的“自我矛盾特性不当”框架中的核心作用他还表征为“数学小说” 他指的是，具有以下不兼容的属性：它在实际线上定义了它，除了它是无限的一个点之外，它是零的，并且在整体上集成在真实线上时产生统一。 Von Neumann促进另一个框架，他的特征是“就像明确和统一，但没有数学异议一样。” 他强调他的框架不仅仅是狄拉克的细化; 相反，它是一个完全不同的框架，基于希尔伯特的运营商理论。
DIDAC当然完全意识到Δ函数不是明确定义的表达式。 但是，他没有两个原因陷入困境。 首先，只要一个人遵循控制Δ函数的规则（例如在仅在整体标志下使用Δ函数，就意味着部分不要求在给定点处的δ函数的值），那么就不会出现不一致。 其次，可以消除δ函数，这意味着它可以用明确定义的数学表达式替换。 然而，根据DIRAC的情况下，替代方案的缺点是替代导致更麻烦的表达，掩盖了争论。 简而言之，当语用学和严谨导致得出相同的结论时，由于产生的简单，效率和理解增加，语用学胜过严格。
如在无限的情况下，DIACδ函数最终给出了数学上严谨的基础。 这是在Schwartz的分布理论中完成的，后来用于开发被操纵的希尔伯特空间的概念。 分布理论用于为量子场理论提供数学框架（Wightman 1964）。 用于量子力学（Böhm1966）的装配希尔伯特空间用于量子场理论（Bogoliubov等，1975）。
在量子力学发展中展出的互补方法，严谨和语用学，后来以更引人注目的方式与量子电动力学（QED）的发展更引人注目的方式，更普遍地，量子场理论（QFT）。 强调严谨与两个框架，代数Qft和Wightman的公理Qft相关联。 代数Qft在von Neumann的工作中有没有由他开发的von Neumann的工作，以试图概括希尔伯特空间框架。 Wightman的公理QFT在Schwartz的分布理论中有其根源，后来在装配希尔伯特空间框架中开发。 粗略地，两种方法之间的基本区别是运营商的代数是代数QFT中的基本数学概念，而操作员值分布（田间数量的量子数量）是威斯曼的公理基础QFT。 值得注意的是，代数QFT通常是公理的，并且它只是值得名称“公理”QFT。 但是，该术语通常被认为具体参考基于操作员值分布的方法。 为了避免任何可能的混淆，这种方法在这里被称为“Wightman的公理”QFT。 在拉格朗日QFT中强调语用学，它使用扰动理论，路径积分和重整化技术。 虽然该理论的一些元素最终被放置在一个更坚定的数学基础上，但仍然有严重的问题是它在与代数和威斯曼的公理QFT相同的完全严格的方法。 然而，它在提供了关于实验确定的数量的异常准确的数值结果方面已经表现得非常成功，并且在制定可能的其他方法的可能有利计算中。
QFT的两种方法继续并行发展。 弗莱明（2002年，第135-136页）将此集中在讨论Haag当地量子物理（1996）和Weinberg的量子场理论（1995）之间的讨论中的讨论; Haag的书提出了代数Qft，Weinberg的书提出了拉格朗日QFT。 虽然这两本书都对同一主题表面上表面上表面上，但哈格赋予QFT和其数学结构的精确配方，但不提供用于连接实验确定的数量的任何技术，例如散射横截面。 Weinberg提供了一种与物理直觉进行的务实制定，并提供对执行计算很重要的启发式; 但是，它并不像在数学上严谨。 此外，还有许多重要主题在一本书中检查，同时甚至没有提到另一本。 例如，哈尔格讨论了一共不平等表示，但不是Weinberg。 相比之下，Weinberg讨论了Feynman的路径积分规则，它根本没有通过HAAG提到。 还有人口统计数据问题。 大多数粒子和实验物理学家将阅读和研究Weinberg的书，但很少有人将阅读Haag的书。 由于这些差异，弗莱明（2002年，第136页）表明，人们可能会质疑两本书是否真的是关于同一主题的。 这引起了对QFT的任何配方值得对其基础的哲学关注的问题。 特别是，华莱士（2006年，2011年）和弗雷泽（2009年，2011年）之间存在辩论QFT的解释应该基于QFT的标准教科书或QFT的公理制剂。
2.冯·诺伊曼和量子理论的基础
在20世纪20年代后期，冯·诺伊曼开发了Quantum Mechanics的可分离的Hilbert空间配方，后来成为了最终的一个（从数学严格的角度来看，至少）。 在20世纪30年代中期，他在格子理论上广泛工作（参见量子逻辑的条目），操作员的戒指和连续几何形状。 他表达出发展这些数学理论的一部分是为QFT制定适当的QFT框架和更好的量子力学基础。 在此期间，他注意到两个密切相关的结构，模块化格子和有限的II型因子（一种特殊类型的运营商环），具有他被认为是量子理论的理想特征。 这些观察导致他开发更一般的框架，连续几何形状，用于量子理论。 事项没有锻炼，因为冯Neumann已经预期。 他很快意识到这种几何形状必须具有过渡概率函数，如果要用于描述量子力学现象，并且所得到的结构不是已经可用的操作员环的所有概括。 此外，稍后确定了III型因素是量子理论的最重要类型的运营商。 此外，稍后将在他对格子理论的期望方面提高类似的判决。 适合量子理论的格子是正统的 - 只有在模块化时，晶格才是正向的，但相反是假的。 在三种数学理论中，它是经过证明是量子理论最重要的框架的折扣。 可以使用一条运营商环形在纯粹抽象的代数设置中模拟物理系统的关键特征（这在第4.1节中讨论）。 相关问题涉及是否有必要在希尔伯特空间中选择戒指的代表; 参见Haag和Kaster（1964），Ruetsche（2003），Konz和Lupher（2005）进一步讨论此问题。 在任何情况下，可分离的希尔伯特空间仍然是量子理论的关键框架。 可分离的希尔伯特空间的最简单示例是有限尺寸的示例，在这种情况下，操作者的代数是型因子（n是正整数）。 操作员是N字母的复数矩阵，其通常用于描述诸如旋转的内部自由度。 希望熟悉这些基本示例的读者应咨询量子力学的条目。
2.1量子力学的可分离希尔伯特空间配方
矩阵力学和波浪力学在1925年至1926年间的同一时间内配制。1925年7月，Heisenberg完成了他的精英纸“对运动与机械关系的Quantum理论解释”。 两个月后，出生和乔丹完成了纸张，“在量子力学”中，这是第一次严格制定矩阵力学。 在此之后两个月，出生，海森堡和约旦在Quantum Mechanicics II上完成了“Quantum Mechanics II”，这是初步出生和约旦纸的阐述; 它于1926年初发表。这三篇论文在Van der Waerden（1967年）重印。 与此同时，Schrödinger正在研究最终成为他在波力学中的四篇着名的论文。 第一个由Annalen der Physik于1926年1月收到，第二次于2月份收到，然后在5月的第三个和6月的第四个。 所有四个都在Schrödinger（1928年）中重印。
Schrödinger是第一个提出Schrödinger（1926年）矩阵力学和波力学关系问题的问题，该问题于1926年春季发表于1926年春季，在着名四篇和第三篇论文的出版物之间。 本文在Schrödinger（1928年）也被重印。 它包含数学等同证明的毒素，但它不包含一个严格的等价证明：施罗丁与波力学相关的数学框架是连续和常规功能的空间，太小，无法与矩阵力学建立适当的关系。 此后不久，Dirac和Jordan独立提供了两个框架的统一。 但是，它们各自的方法需要Δ函数的基本用途，这是从数学严格的观点来看的嫌疑人。 1927年，Von Neumann在GöttingerNachrichten出版了三篇论文，将量子力学放在严格的数学基础上，包括矩阵和波力学等同物的严格的证据（即，不使用δ函数）。 这些论文在冯诺伊曼（1961-1963，卷I，数字8-10）中重印。 在他着名的1932年关于Quantum Mechanics（冯Neumann 1955）的序言中，这是他在早期论文中提供的量子力学的可分离希尔伯特空间配方的优雅综述，他承认了简单性和Dirac对量子力学制剂的效用，但最终发现它是不可接受的。 他表明他不能忍受使用什么，然后只能被视为数学小说。 这些小说的示例包括DIRAC的假设，即每个自伴随操作员都可以以对角线形式和他的使用，以及他的使用Δ函数，该von Neumann作为“具有自相矛盾特性的不正确的功能”。 他说的目的是为数学上严谨的量子力学制定一个框架。
以下是冯·诺伊曼战略的简要草图。 首先，他认识到矩阵力学的数学框架，因为现在现在将被称为无限尺寸可分离的希尔伯特空间。 这里的“希尔伯特空间”一词表示具有内部产品的完整矢量空间; Von Neumann在他对Hilbert空间的定义中实施了可分离性（具有可数基础）的额外要求。 然后，他试图指定一组功能，该功能将实例化（无限维）可分离的希尔伯特空间，并且可以用Schrödinger的波力学识别。 他开始在真正的线上与广场上可积聚功能的空间开始。 为了满足完整性条件，所有Cauchy函数的函数会聚（在均值）到某些功能中的某些功能，他指定必须以Lebesgue的方式定义集成。 为了定义内部产品操作，他指定了该组Lebesgue广场可集体功能必须分为等价类模型，模数对一组测量零的关系。 空间的元素是函数等同类而不是函数有时被忽视，并且对解释性调查具有有趣的影响。 例如，它已在Kronz（1999）中争论，例如，可分离的希尔伯特空间不是BoHM本体本体论解释下量子力学的合适框架（也称为Bohmian Mechanics）。
2.2操作员，量子逻辑和连续几何形状的环
在1935年的信函中，冯·诺伊曼说：“我想做出一个似乎不道德的忏悔：我不再相信希尔伯特空间”; 这封信发表在冯·诺伊曼（2005年）。 忏悔确实非常令人震惊，因为它来自量子力学的可分离希尔伯特空间配方的冠军，它在出版着着名论文后立即发布，对该主题的明确工作。 讽刺的是，由于他对Birkhoff的忏悔后不到两年的事实，他的数学理论上是为了取代可分离的希尔伯特空间，具有过渡概率的连续几何形状的数学理论，结果不提供可分离的希尔伯特空间框架的概括。 它令人兴趣地重化，兴趣的是，由于冯纳米姆发起和开发的数学物理的后续发展最终旨在加强分离的希尔伯特空间框架在数学物理学中的侵权（特别是对量子理论）。 这些事项在第4.1节中更详细地解释。
在1932年之后的七年内连续几何形状的von Neumann在von neumann的理论中聚集在一起：量子力学，量子逻辑和运营商环的代数方法。 到1934年，冯·诺伊曼在约旦和Wigner - 他们的文章中，von Neumann已经对量子力学的代数方法进行了大量的举措，“在量子机械形式主义的代数泛化”中，在冯Neumann（1961-1963，Vol。II，21号）。 1936年，他发表了一份关于这一主题的第二份文件，“关于量子机械形式主义（第I部分）的代数概括”，在冯Neumann（1961-1963，Vol.IT第9号）重印。 事实证明，既没有工作都不是特别有影响力。 冯·诺伊曼和百科“Quallum Mechence逻辑”的相关论文也在1936年出版，它在冯Neumann（1961-1963，Vol.4号第7号）转载。 它是在Quantum Logics上开发一个相当大的文献的开发。 然而，应该注意的是，这仅发生在模块化之后，von Neumann的一个关键假设，被正常性（较弱的条件）所取代。 荷兰（1970）清楚地解释了转变的性质：模块化有效地削弱了分配法的弱化（将它们的有效性限制在某些选定的晶格元素中的有效性），并且正交性是模块化的弱化（限制分配法对较少的晶格元素三元组的有效性）。 首先在（Loomis 1955）中首先从模块化到正交性的转变。 矫正矫形器格的快速生长及Quantum Mechence的基础很快。 例如，有关1990年的Quantum Logic的一个相当详尽的Quillogrography，请参阅Pavičić（1992），这是1800多个参赛作品。
对量子理论基础的基本上更大的票据是冯·Neumann（三个与Murray联合发布的三篇论文）在von Neumann（1961-1963，Vol.i，Nos 2-7）中转载。 前两个“在运营商的折戒上”和运营商II戒指的续集“，于1936年和1937年发表，它们是开发的四个。 第三，“在运营商的折戒：减少理论”，写于1937年至1938年，但未出版至1949年。第四个“无限直接产品”，于1938年出版。剩下的二，“关于运营商III的戒指”和“Operators IV的戒指分别于1941年和1943年发表。 这种巨大的运营商戒指的工作非常有影响力，并继续对纯数学，数学物理和物理学的基础产生影响。 运营商的折扣现在被称为“von neumann代数”之后的Dixmier（1981），他们首先通过这个名字提到他们（说明他所做的那样，凭借Dieudonné的建议）在他的1957年介绍中在操作员代数（Dixmier 1981）上的论文。
von neumann代数是在弱操作员拓扑中关闭的希尔伯特空间H上的界限运营商B（h）集的* -subalgebra。 通常假设von neumann代数包含身份运算符。 a * -subalgebra包含代数中每个运算符的伴随，其中“*”表示伴随。 有特殊类型的von neumann代数被称为“因素”。 von neumann代数是一个因素，如果它的中心（这是与代数的所有元素通信的元素）是微不足道的，这意味着它仅包含标识元素的标量倍数。 此外，冯Neumann在他的减少理论纸上表现出没有因素的所有von neumann代数可以被分解为因素的直接总和（或整数）。 有三种互斥和穷举系数类型：I型，II型和类型-III。 每种类型已被分类为（互斥和详尽的）子类型：类型（n = 1,2，...，...，...，...，∞），iin（n = 1，∞），iiiz（0≤z≤1）。 如上所述，型号对应于有限维希尔伯特空间，而Type-i∞对应于无限尺寸可分离的Hilbert空间，该空间提供了用于波和矩阵力学的严格框架。 von neumann和murray区分了II型和II型的子类型，但不能为类型-III因素这样做。 在20世纪60年代和1970年代之前，这些因素没有区分亚型 - 有关详细信息，请参阅Sunder（1987）的第3章或Connes（1994）的第5章。
由于他早先对Quantum Mechence的基础以及与Birkhoff对Quantum Logic的工作，冯·Neumann表示，II1类型的因素可能是对物理学最相关的。 这是一个大幅的转变，因为当时被认为是一组无限的算子在无限维度可分离的Hilbert空间上的一组有限的运算符，这是一种最重要的衡量标准。 下面提供对此班次的简要说明。 看看（Rédei1998）提供的知情和Lucid账户，了解von Neumann对Quantum Logic之间的基本连接的看法，运营商的响铃（特别是II型因子），概率理论的基础，和量子物理学。 值得注意的是，Von Neumann将Type-III因素视为“病理”算子代数的捕获量; 实际上，介绍了分类方案的几年后，展示了这种因素的存在。 讽刺意味着现在主要的视图似乎是III型因素是物理学中最相关的类（特别是QFT和量子统计机制）。 在下面解释为什么von Neumann的计划从未出现过度的后，在第4.1节中进一步阐述了这一点。
