量子理论与数学严格（二）

在介绍了第一个题为“On Of Operators of Operator的戒指”中的第一个纸张中，默里和冯Neumann列出了他们对Quantum Mechanics的可分离希尔伯特空间配方不满两种原因。 一个人与跟踪操作的属性有关，这是测量结果（出生规则）的概率定义中出现的操作，另一个具有所产生的无限可观察运算符的域问题。 当可分离的Hilbert空间是无限尺寸的时，身份的迹线是无限的，这意味着不可能定义正确归一化的实验结果的先验概率（即，可观察到的测量）。 根据定义，实验的先验概率是其中任何两个不同的结果都同样可能。 因此，当存在无限数量的这种结果时，概率必须为零，因为才能仅发生空间是无穷大的尺寸。 尚不清楚为什么von neumann认为有必要对每个实验进行先验概率，特别是因为von ices清楚地认为，他术语中的先验概率（“统一分布”）并不总是存在（von mises 1981，第68页FF。）和von Neumann基本上受到概率基础的影响（von neumann 1955，p.198 fn）的影响。 后来，冯·诺伊曼改变了他表达理由对从概率到代数考虑（Birkhoff和Von Neumann 1936，第118页）的无限维尔伯特空间不满的基础; 即，它违反了汉克尔保护正式法律的原则，这导致了一个试图保留模块化 - 一种条件，该条件持有有限维希尔伯特空间，但不含无限维的Hilbert空间。 无限制的运算符的问题出现在仅在空间的集合元素的仅密集的子集上定义。 这意味着不能通常定义无限的运营商（总和和产品）的代数操作; 例如，两个无界的操作员A，B可以使得B和A的域的范围是不相交的，在这种情况下，产品AB毫无意义。

如果n <∞，则上面提到的问题不会出现用于类型的因素，如果n <〗，也不会为II型而产生。 也就是说，这些因子类型具有有限的跟踪操作，并且不会困扰无限的运算符的域问题。 特别值得注意的是，每个因子类型的投影的晶格（n <∞和型II1型）是模块化的。 相比之下，在无限尺寸可分离的HILBERT空间，I次系数的界限运算符组不是模块化的; 相反，它只是正交的。 这些考虑因素用于解释为什么von neumann将II1型因子视为量子物理学的类型（n <∞）的适当泛化，而不是类型-i∈因子。 从模块化到正交格的文献中的文献的转变有效地返回到冯Neumann之前的位置（在他的忏悔之前）。 但是，正如已经提到的那样，现在看起来这不是最好的举动。

它是von neumanan，希望他的概括量子理论的计划从称为“连续几何形状”的新数学结构中出现。 他想使用这种结构来汇集上面提到的三个关键要素：量子力学，量子逻辑和运营商环的代数方法。 他试图在这些元素之间造成强大的概念链接，从而为概括不需要利用希尔伯特空间的量子力学（与运营商的环）提供适当的基础。 不幸的是，事实证明，对于公正量子力学的目的而言，连续几何形状的阶级太广泛。 该类必须适当地限于具有过渡概率的那些。 事实证明，除了可分离的希尔伯特空间框架之外，那么没有大量的概括。 1937年由冯·诺米曼完成的未发表的稿件由以色列Halperin编写和编辑，然后作为冯Neumann（1981年）发表。 在手稿本身发表之前，在Von Neumann（1961年至1963年，第16卷第16卷第16号）发表的审查，在冯·诺伊曼（1961-1963，第16号）发表了审查。 在该评论中，Halperin说明：

在深度推理200页之后（基本上）之后的最终结果（基本上）：可以在某些有限或无限维的HILBERT空间（IM或II1）中具有有限因子的投影几何形状的每个这样的几何形状。 该结果表明，连续几何形状不提供超过运营商圆环的量子机械现象的新有用的数学描述。

然而，这一不幸的发展并没有完全破坏von Neumann概括量子力学的努力。 相反，他对运营商戒指的工作确实为前进的方式提供了重要的光线。 随后的开发的结果是Von Neumann在物理基础上解决了错误的因子类型。

3. DIRAC和量子理论的基础

Dirac的Quantum Mechence的正式框架非常有用，尽管它缺乏数学严谨性，但仍非常有用和有影响力。 它被物理学家广泛使用，它激发了功能分析中的一些强大的数学发展。 最终，数学家制定了一个合适的框架，将Dirac正式框架放在一个公司的数学基础上，这被称为装配的希尔伯特空间（并且也称为格尔福三胶片）。 这是如下。 在分布理论中，δ函数的严格定义，由施瓦茨从20世纪40年代中期到20世纪50年代初期开发的。 分销理论在20世纪50年代中期中期到底末到末期的杰尔福和合作者的推动理论，制定了迪拉克正式框架的坚实基金会的概念。 Groothendiek对核空间的概念促进了这一发展，他于20世纪50年代中期介绍。 然后，由Böhm和罗伯茨在1966年独立地开发了量子力学的装配希尔伯特空间配方。从那时起，它已经扩展到量子域中的各种不同的背景，包括衰减现象和时间箭头。 Schwartz，Gelfand等的数学发展也对QFT产生了重大影响。 Wightman向20世纪50年代中期发展到20世纪60年代中期，Wightman向20世纪50年代中期开发了QFT的公理方法。 在20世纪60年代末，公理方法明确地将Bogoliubov和同事进入了操纵的希尔伯特空间框架。

尽管这些发展仅受迪拉克的间接影响，但是通过与他正式的量子力学方法相关的数学发展，他的作品其他元素对QFT的发展具有更直接和非常实质的影响。 在20世纪30年代，DIRAC（1933）开发了一种Quantum Mechence的拉格朗日配方，并将其应用于量子领域，后者启发了Feynman（1948），以发展QFT的路径积分方法。 仍然缺乏（River 1987，PP，109-134）缺少的数学基础，尽管已经进行了实质性进展（Dewitt-Morette等，1979）。 尽管存在这种缺点，但迄今为止仍然是QFT最有用和有影响力的方法。 在20世纪40年代，Dirac（1943）开发了一种涉及无限度量的量子电动动力学形式 - 另请参见该连接中的Pauli（1943）。 这对后期的发展有了重大影响，在20世纪50年代早期的普普坦语电动动力学中，在20世纪50年代后期，在20世纪50年代后期，诸如传染媒介Meson Fields和量子重力领域的各种QFT模型中，请参见第2章nagy（1966）的例子和参考。

3.1 Dirac的Δ功能，原则和BRA-KET表示法

如上所述，DIRAC试图证明矩阵力学和波力学的等同物使δ函数的必要使用。 δ函数被狄拉克前的物理学函数使用，但只有在狄拉克非常有效地将其使用以便在量子力学中使用，它只能在物理学的许多领域成为标准工具。 然后，它通过他的教科书（DIRAC 1930）众所周知，这是基于一系列关于剑桥大学迪拉克的量子力学讲座的讲座。 本教科书看到了三个后来的版本：1935年的第二个，1947年第三个，1958年第四次。第四版已被重印多次。 它的持续权力部分是部分地，迪拉克在第三版中引入的另一个创新，他的胸罩形式主义。 他首先在（Dirac 1939）中发表了这种形式主义，但在他的第三版出版之后，形式主义并未被广泛使用。 毫无疑问，这些工具首先是δ函数，然后是bra-ket符号，对物理学家实践和教导量子力学的施法非常有效，这在设置方程和计算的性能方面都是如此。 大多数量子力学教科书使用δ函数和平面波，这是Dirac正式框架的关键元素，但它们不包括在von Neumann的Quantum Mechanics的严格数学框架中。 工作的物理学家以及量子力学的教师和学生通常使用Dirac的框架，因为它的简单性，优雅，力量和相对易用性。 因此，从语用的观点来看，Dirac的框架是von neumann的框架。 装配的希尔伯特空间的概念将Dirac的框架放在公司数学基础上。

3.2量子力学的装配希尔伯特空间配方

数学家很难为Dirac的正式框架提供严谨的基础。 一个关键要素是Schwartz（1945; 1950-1951）的分布理论。 由Groothendieck（1955）开发了另一个关键要素，核空间的概念。 这种概念使得自行伴随的彼得伯尔特空间中的自伴间运营商的广义 - 特征传感器分解定理 - 用于定理查看格尔福兰和维森克（1964，PP 119-127），以及简要的历史叙述它看到Berezanskii（1968，PP 756-760）的卷曲路径。 分解原理提供了一种严格的方式来处理以狄拉克的正式框架中所呈现的方式的观察可观察，如位置和动量。 这些数学发展在20世纪60年代初期，众所周早，弗伦兰和维伦金的表征，它们称为被称为操纵的希尔伯特空间（Gelfand和Vilenkin 1964，PP。103-127）。 不幸的是，他们选择的这个数学结构的名称是双重误导性的。 首先，将其表示为表示一种奇尔伯特空间，在某种意义上被操纵，但必须抵抗这种倾斜度。 其次，该术语操纵具有令人遗憾的非法内涵内涵，如术语已经定义或装配轮盘赌桌，并且这种内涵必须被驳回。 从数学严格（或任何其他相关的角度）的角度来看，没有任何关于操纵希尔伯特空间的非法。 可以使用装配船的概念来绘制更合适的类比：在这种情况下操纵的术语意味着完全配备。 但这种类比有其局限性，因为一个装备船舶是一种齐全的船舶，但（因为第一点表示）操纵的希尔伯特空间不是希尔伯特空间，尽管它是从现在迄今为止的方式从希尔伯特空间产生的。

装配的希尔伯特空间是双对空间（φ，φx），可以使用一系列规范（或半规范）从可分离的Hilbert空间H产生; 使用核算员生成规范的序列（良好的近似含义是跟踪类的操作员，这意味着操作员的模量的迹线是有限的。 在拓扑矢量空间的数学理论中，空间φ的特征在于核Freéchet空间的技术术语。 要说φ是Fréchet的空间意味着它是一个完整的公制空间，并且可以说是核心是核的意味着它是一系列希尔伯特空间序列的投射极限，其中相关拓扑迅速越来越多地越来越富有n（即，即收敛条件越来越严格）; 使用术语核，因为使用核算员生成Hilbert-Space拓扑。 在分布理论中，空间φ的特征在于测试函数空间，其中测试函数被认为是非常良好的函数（连续，n倍可分辨率，具有有界域或至少逐渐下降超过一些有限范围等）。 φX是分布的空间，它是φ的拓扑双重，这意味着它对应于φ上的连续线性功能的完整空间。 它也是一系列希尔伯特空间的归纳限制，其中拓扑曲线迅速粗糙，随着n增加。 因为φ的元素表现得如此良好，所以φx可能包含不太良好表现的元素，有些是奇异或不正确的函数（例如DIRAC的Δ函数）。 φ是φx的拓扑抗双向，这意味着它是φx上的完整连续的抗线功能集; 它是反线性而不是线性，因为标量由标量的复杂缀合物定义了乘法。

值得注意的是，φ和φx都不是赫尔伯特空间，因为每个空间缺少了一个内部产品，该内部产品引起到空间完成的度量，但对于每个空间，空间都有一个拓扑结构。 然而，它们中的每一个都与生成的Hilbert空间H密切相关：φ密集嵌入H中，否则嵌入φx。 另外两点值得注意。 首先，也可以从预先是HILBERT空间生成此类的双对，这是一个具有Hilbert空间的所有特征的空间，除了它不完整，并且这样做具有避免将功能分区分配到等价类中的明显优势（在功能空间的情况）。 术语被操纵的希尔伯特空间通常广泛用于包括从希尔伯特空间或预先勒伯空间产生的双对。 其次，有时使用术语格兰多片三联物代替术语被操纵的希尔伯特空间，尽管它是指有序集（φ，h，φx），其中H是用于产生φ和φx的Hilbert空间。

双对（φ，φx）具有表示在可分离的希尔伯特空间中有问题的量子力学的重要运算符的方法，特别是与可观察到的位置和动量相对应的无限算子，并且在特别有效和荒谬的方式。 如已经注意到，这些运营商在可分离的希尔伯特空间中没有特征值或特征向量; 此外，它们仅在空间元素的密集子集上定义，这导致域问题。 如上所述，这些不受欢迎的功能也有动力寻找可分离的Hilbert空间框架的替代品，如上所述。 在一个被操纵的希尔伯特空间中，对应于位置和动量的操作员可以具有一组完整的特征官能（即，广义特征函数）。 关键结果称为核光谱定理（也称为Gelfand-Maurin定理）。 定理的一个版本说，如果a是在空间φ上定义的对称线性运算符，并且它承认到希尔伯特空间h上的自伴随扩展，则拥有属于双空间φx的完整的特征函数系统（格尔福兰德和Shilov 1977，第4章）。 也就是说，如果满足所说的条件，则可以通过二元度延伸到φx的φx（在φx中的操作员拓扑中）连续，并且AX满足完整性关系（意味着它可以在其方面进行分解特征障碍及其相关的特征值）。 用于延伸到φX的二元公式是⟨φ|axκ⟩=⟨aφ|κ⟩，适用于所有φΣφ和所有κφx。 完整性关系表明，对于所有φ，θνφ：

⟨aφ|θ⟩=∫v（一）λ⟨φ|λ⟩⟨λ|θ⟩*dμ（λ），

其中V（a）是AX的所有通用特征值的集合（即，所有Scalarsλ的集合，其中有λνφx，使得所有φΣφ的⟨φ|axλ⟩=λ⟨φ|λ⟩）。

这些可观察到的被定义的希尔伯特空间表示与Dirac的优雅且非常有用的正式表示一样接近，与在数学上严谨的框架内放置的附加功能。 然而，应该注意的是，有一种意义的是，它是DIRAC框架的适当概括。 索具（基于确定测试函数空间的核运算符的选择）可以导致与操作员相关联的不同广义特征值集。 例如，如果测试功能的空间是X的无限微弱功能的设置，则动量操作员（一个维度）的集合（在一个维度）的集合对应于实线。x为x进入无限，而其相关的一组特征值是复杂的平面，如果测试功能的空间是具有紧凑载体的无限微分功能的集合D（即，在实际线的有界区域外消失）。 如果不需要复杂的特征值，则S将是比D - 参见Nagel（1989）更合适的选择进行简要讨论。 但是存在有希望操作者具有复杂的特征值的情况。 例如，当系统表现出共振散射时（一种衰减现象），在这种情况下，其中一个人希望Hamiltonian具有复杂的特征值 - 见Böhm＆gadella（1989）。 （当然，自伴随运营商不可能在希尔伯特空间中具有复杂的特征值。）

经过杰尔弗兰德及其员工的装备贝尔伯特空间理论发展后，该理论用于开发一种新的量子力学制剂。 这是由Böhm（1966）和Roberts（1966）独立完成的。 稍后据证明，量子力学的操纵希尔伯特空间配方可以处理比可分离的希尔伯特空间配方更广泛的现象。 如已经注意到的，更广泛的范围包括散射共振和衰减现象（Böhm和甘德拉1989）。 Böhm（1997）后来将此范围扩展到包括时间箭头的量子力学表征。 Progogine学院使用量子力学（Antoniou和Progogine 1993）的装配希尔伯特空间配方开发了时间箭头的替代表征。 Kronz（1998,2000）使用该配方在开放量子系统中表征量子混沌。 Castagnino和Gadella（2003）用它来表征封闭量子系统中的变色。

3.3哥伦比亚代数

Dirac Delta功能在量子力学和量子场理论中普遍存在。 但是，对其使用限制了它们的利用率存在标准限制。 在量子力学中，限制在1维度为1维的自由粒子的位置特征酯是“Delta-function归一化”：⟨x'|x⟩=δ（x-x'）。 但是引入第三位置和另一个内部产品，如在⟨x'|x⟩⟨x“中，导致DIRAC DELTA函数的乘积（在这种情况下，分布的分布式的乘积常见变量），一种未定义的表达式。 在量子场理论中，在计算中可能出现自相互作用术语，例如Δ2（x），其也没有明确定义。 在被操纵的Hilbert空间的背景下，这种限制的特点是φX，分布空间的资格，没有内容在其上定义（见上文第3.2节）。

找到严格方法来定义分布乘法的前景看起来特别严格施瓦茨（1954）证明不可能定义包含分布空间并保留连续功能的产品的差异代数。 但是，有些方法可以解决Schwartz的不可能性结果，以便允许分布的乘法。 这样做的一种方法涉及哥伦比乌代数，这些代数在第3.3.2节中讨论; 在第3.3.1.3节结束时简要讨论了其他方法。

3.3.1分销理论的非正式素描

为了非正式地建立一个分发的定义，将分发作为从函数到数字的地图，有助于。 例如，呈现DIRAC DELTA函数的标准方法是：

∫f（x）δ（x-一个）dx = f（一）。

以这种方式查看，Δ正在将函数f映射到数字f（a）。 换句话说，Δ是功能。 对于要明确定义的分发，必须指定它将要映射的功能集，测试功能的空间。 这样做，有必要指定测试功能的域。 在分布理论中，测试函数通常在实数或具有N尺寸RN的实数或真实矢量空间的非空的固定开放子集ω上定义。 当然，开放子集ω可以简单地是RN，因为RN是自身的子集，但不是合适的子集。[1]