逻辑和游戏（二）

第二条评论是，已经在完美信息的游戏中，赢得策略可能不会使用所有可用信息。 例如，在完美信息的游戏中，如果玩家∃具有胜利策略，那么她还有一个获胜的策略，策略函数只取决于先前的∀。 这是因为她可以使用早期的策略功能重建自己以前的动作。

当HITIKKA使用SKOLEM担任他的首级逻辑游戏的策略时，他只取决于其他玩家的前一球的策略。 （对于∃的Skolem函数仅取决于普遍定量的变量。）因为游戏是完美信息的游戏，但在上面的第二条评论中没有损失。 但是，当他搬到逻辑时，要求策略只取决于其他球员的动作真的确实有所作为。 通过修改符号，使得霍奇格斯1997展示了这一点，使得例如（∃y/ x）意味着：“无论x，无论哪个玩家都选择了x”，y独立于x。

现在考虑这句话

（∀x）（∃z）（∃y/ x）（x = y），

再次在一个有两个元素0和1的结构上播放。播放器∃可以如下赢。 对于z，她选择与玩家的相同，选择x; 然后她选择了她选择的z。 此获奖策略仅适用于由于在这款游戏中，∃可以引用以前的选项。 如果第三个量程是（∃y/ xz），她将没有获胜策略，因为该量化器的任何Skolem函数都必须是恒定的。 通过参考她之前选择来传递信息的方式是信令现象的示例。 John Von Neumann和Oskar Morgenstern用桥梁的示例说明了它，其中一个玩家由两个伙伴组成，这些合作伙伴必须通过使用他们的公众移动到彼此信号来分享信息。

第三条评论是，在策略方面，不完美信息的直观思想与IT的游戏理论定义之间存在错位。 直观地，不完美的信息是关于游戏的播放情况，而不是关于策略的事实。 这是一个非常棘手的事情，它继续导致关于IF和类似逻辑的误解。 举例说明

（∃x）（∃y/ x）（x = y），

再次在一个有元素0和1的结构上播放。直观地人们可能认为如果∃不允许在第二个量词中记住她第一次选择的东西，那么她几乎无法赢得胜利策略。 但事实上，她有一个非常容易的：'总是选择0'！

与一阶逻辑相比，如果逻辑缺少游戏语义无法提供的组件。 游戏语义告诉我们，当一个结构中句子是真的时。 但是，如果我们使用N个免费变量进行公式，则公式表达了什么关于结构的元素的有序N组合？ 在一阶逻辑中，它将定义一组它们，即结构上的n-ary关系; tarski真相定义解释了如何。 如果逻辑的任意公式有类似的定义吗？ 事实证明，1997年霍奇格介绍了略有不同的逻辑，它导致该逻辑的语言的Tarski风格的真相定义。 随着一点调整，可以使这个真理定义也适合逻辑。 但对于这两个新逻辑都有一个捕获量：而不是说法当将元素分配给自由变量使公式赋值是真的，而是当一组元素的分配给自由变量，也称为“团队”，使公式成为真正的。 Väänänen2007年的想法是一系列新逻辑研究依赖的概念（参见依赖逻辑的条目）。 在这些逻辑中，语义在没有游戏的情况下定义，尽管原始的灵感来自HITIKKA和SANDU的工作。

在Väänänen的逻辑中，很容易看出为什么需要一个需要的作业集，即团队。 他有一个称为依赖原子的原子公式，表达'x取决于y'，更准确地说，'x完全由y'完全确定。 我们如何在结构中解释这一点，例如自然数的结构？ 它根本没有任何意义询问，例如8是依赖于37.但是如果我们有一个有序的自然数的X队x，则询问是否在x中依赖于第二个成员依赖于X 答案是意味着存在函数f，使得x中的每对（a，b）具有表单（f（b），b）。 这种方法的优势，至少暂时宣传游戏的想法，是它引起了丰富的其他新原子公式。 例如，我们可以介绍包含原子公式x⊆y的含义，即团队中的每个值也发生，也是y的值，或原子公式x⊥y，其含义x和y的值在任何两个任务中彼此独立于团队有一个第三个，它从第二个中从第一和y的值和值取值。 如果我们用数据库中的明显意义识别团队，这些原子将显示在数据库理论中作为数据库约束的示例。

5.其他逻辑的语义游戏

以下善良的结构引起了有趣的游戏。 该结构A由一个元素（我们将调用州的组件组成，添加它们通常被称为世界），S（我们将作为箭头读取的r），以及S的家庭P1，......，S的家族。两个玩家∀和∃通过读取合适的逻辑公式φ作为播放和获胜的一组说明，从给出的状态播放播放游戏g，从而以给出它们的状态。

因此，如果φ是pi，则播放器∃如果s是pi，并且否则播放器∀立即获胜。 公式ψ∧θ，ψ∨θ和¬ψ在上面的HITIKKA的游戏中表现; 例如，ψ∧θ指示播放器∀选择游戏是否应继续为ψ或θ。 如果公式φ是◻ψ，则播放器∀从s到状态t的箭头（即，使得这对（s，t）处于关系r），并且根据指令ψ从状态t进行。 ◊ψ的规则是相同的，除了玩家∃做出选择。 最后，我们说公式φ在S中的SIN为真，如果玩家∃是基于φ的赢取策略，并从s开始。

这些游戏与HITIKKA的游戏代替一阶逻辑，非常相同的方式达到模态逻辑。 特别是它们是为模态逻辑提供语义的一种方式，它们同意通常的Kripke型语义。 当然，模态逻辑的类型和概括（包括密切相关的逻辑，如时间，认知和动态逻辑），因此相应的游戏有许多不同的形式。 兴趣的一个例子是Matthew Hennessy和Robin Milner的计算机理论逻辑，用于描述系统的行为; 这里，箭头处于多种颜色，并且沿着特定颜色的箭头移动表示执行特定的“动作”以改变状态。 另一个例子是Dexter Kozen的更强大的模态μ微积分，具有固定点操作员; 请参阅斯特林2001的第5章。

这些游戏的一个有趣的特点是，如果玩家从某个位置开始获胜策略，那么该策略永远不会指的是戏剧早期发生的任何事情。 它与早期选择的选择无关，甚至甚至播放了多少步骤。 因此，我们有计算机科学家有时会呼吁“记忆”获奖策略。

在Rohit Parikh提出的相关“游戏逻辑”中，在各州之间移动我们的游戏是主题，而不是一种赋予真理定义的方式。 这些游戏有许多有趣的方面。 2003年，Studia Logica杂志曾致力于他们，由Marc Pauly和Parikh编辑。

经济学与计算机科学的影响导致了许多逻辑学用逻辑来分析部分无知条件下的决策。 （参见例如认知逻辑的文章。）有几种方法可以代表知识的状态。 一个是将它们作为我们在本节开始时提到的模态结构中的州或世界。 另一个是使用逻辑或其变体。 这些方法如何相关？ Johan Van Benthem 2006提出了一些非常自然的问题的想法和结果。 另请参阅Johan Van Benthem，Krister Segerberg，Eric Pacuit和K.Venkatesh及其参考文献的论文，参见Van Benthem，Gupta和Parikh 2011的第IV部分“逻辑，代理和游戏”以及逻辑的入境用于分析此区域最近工作的样本游戏。

6.前回游戏

1930年，Alfred Tarski制定了两个结构A和B的概念，即源于等同的概念，即，正如B的那样，B的完全相同的一阶句是真实的。在1946年普林斯顿的会议上，他描述了这个概念并表达了希望能够制定它的理论，这将是“深刻的同构概念等，现在正在使用”（Tarski 1946）。

这种理论的一个自然部分将是两个结构的纯粹结构必要的，并且足够的条件，其两个结构是等同的。 RolandFrańssé是法国阿尔及利亚人，是第一个找到可用的必要和充分条件的人。 哈萨克吉工师A. D. Taimanov的几年后重新发现了它，并通过波兰逻辑师Andrzej Ehrenfeucht在游戏方面进行了重新制约。 这场比赛现在被称为ehrenfeucht-fraïsssssésé游戏，或者有时作为前后游戏。 他们原来是二十世纪逻辑中最通用的思想之一。 它们巧妙地适应各种逻辑和结构。

在一个前后游戏中，有两个结构A和B，以及两个通常被称为扰流器和复印机的玩家。 （名称是由于1990年代初的Joel Spencer。更多最近Neil Immerman建议使用相同的首字母和Delilah;这将扰流板作为男性球员∀和复制者作为女性∃。）游戏中的每一步都是一个扰流板的移动，然后进行复制器的移动。 SPOILER选择两个结构之一的元素，然后重复使用者选择其他结构的元素。 因此，在n步骤后，已选择两个序列，其中一个序列来自B：

（a0，...，一个-1;的b0，...，bn-1）。

如果才能为扰流板赢得剧本，如果且才有一些原子公式（表单的R（v0，...，Vk-1）'或'f（v0，...，Vk-1）= Vk'或'v0 = v1'或其中一个不同的原子公式变量）（A0，...，AN-1）满足于（B0，...，BN-1）中的（B0，...，BN-1），反之亦然。 复制者赢得的责任在不同形式的游戏中不同。 以最简单的形式，EF（A，B），如果才能才能赢得复制者，如果没有它的初始部分是扰流板的胜利（即，如果她没有被任何有限阶段丢失）。 对于每个自然数M，有一个游戏EFM（A，B）; 在这个游戏中，在M步骤之后赢得了胜利，所以她还没有丢失。 所有这些游戏都是由Gale-Stewart定理确定的。 如果复制器具有用于EF（a，b）的获胜策略，则据说两个结构A和B.如果对EFM（A，B）的赢得策略，则为EF（a，b）和m-degated的策略。

可以证明，如果A和B对每个自然数M相同，则它们是次要的等同的。 事实上，如果Eloise在a上的HITIKKA Game G（φ）中有一个获胜策略τ，那么φ的量化范围的嵌套在大多数M级别和复制器都有一个获胜战略ρ在游戏EFM（A，B）中，这两个策略τ和ρ可以组成在B上的G（φ）中的eLoise的获胜策略。另一方面，在EFM（a，b）中的扰流板的获胜策略可以转换为恰好恰好句子，并且B，并且其中量化范围的嵌套具有大多数M级别。 因此，我们对基本等价有必要和充分的条件，并且还有更多。 在前后游戏，语义游戏和强制游戏之间进行比较（见下文7.1），参见Väänänen2023.事实证明，这些游戏具有强烈的相似感，可以表现出来建立三场比赛战略之间的翻译。

着名的Lindström的定理（参见模型理论）使用游戏EFM（A，B）的基本属性来提供一阶逻辑的模型理论表征：最大逻辑满足紧凑性定理和向下的逻辑Löwenheim-Skolem定理。

如果a和b是相当于的，那么它们肯定是等同的; 但实际上，前后等价结果与处于无限逻辑的基本等价相同，这比一阶逻辑更具表现力。 游戏有许多调整，给出其他类型的等价。 例如，摇摇晃晃，Immerman和Bruno Poizat独立地描述了一个游戏，其中两名球员恰好具有每个鹅卵石; 每个玩家都必须用鹅卵石标记他或她的选择，并且必须使用携带相同数量的鹅卵石标记同一步骤中的两个选择。 随着游戏所得的，玩家将用完鹅卵石，因此它们必须重新使用已经使用的鹅卵石。 扰流板在位置（和所有后续位置）赢得的条件与以前相同，除非仅在该位置计数中携带标签的元素。 在该游戏中的复制器赢得策略的存在意味着两个结构对最多P变量使用的句子（允许这些变量发生任何次数）。

前回游戏后面的理论使用关于所讨论的逻辑的非常少数假设。 因此，这些游戏是少数几种模型 - 理论技术之一，也适用于它们对无限的结构，这使得它们成为理论计算机科学的基石之一。 人们可以使用它们来测量正式语言的表现力，例如数据库查询语言。 例如，典型的结果可能会说，某种语言无法区分“偶数”和“奇数”; 我们将通过查找，对于语言公式的复杂性的N个级别，一对有限结构，其中一对有限结构在级别的级别N的前后游戏中具有赢得策略，但其中一个结构具有偶数元素，另一个结构具有偶数元素奇数。 自然语言的语义已经发现，用于比较广泛性量词的表达力量的来回游戏。 （参见彼得斯和Westerståhl2006第四节。）

For most logical languages there is a correspondingEhrenfeucht-Fraïsségame that charcterizes elementary equivalence. This raises the converse question: if anEhrenfeucht-Fraïsségame, with rules what the moves are and who wins each play, is given, is it necessarily the elementary equivalence relation with respect to some logical language? 换句话说，由Ehrenfeucht-Fraïsssssssssssésésésé游戏的某些变体提供的模型之间的二进制相似关系总是转向句子与模型之间的关系？ Mark Nadel 1980调查了这个问题。 有趣的是，Saharon Shelah 2012通过仅提供Ehrenfeucht-Fraïssésésé游戏，定义了一个新的无限逻辑。

还有一种前后游戏，与我们的模态语义相同，以与Ehrenfeucht-FraïssssssssssssssssssssssssSé游戏对应于Hintikka的一阶逻辑的游戏语义。 球员从结构A中的状态S和结构B中的状态T开始。扰流板和复印机如前所述。 每次移动时，扰流板都选择是否在B或B中移动，然后复制器必须在其他结构中移动。 沿着当前状态的箭头向前始终始终进行移动。 如果在他们之间，这两个玩家刚刚搬到了一个州和一个州，在b中的一个状态，而一些谓词pi只是一个s'和t'，然后重复的人一次丢失。 如果没有可用的箭头，她也会失去追逐; 但是如果扰流板发现没有可用的箭头可以在任何一种结构中移动，然后重复胜利。 如果两名球员在B中的A和T在B中的起始状态下播放这个游戏，而且两个结构都刚刚有多许多状态，那么只有当在B中的S处于真实的同一模态句子时，才能显示重复器具有胜利策略。

这结果有很多概括，其中一些涉及以下概念。 让Z成为二进制关系，其与B的状态相关联。然后我们呼叫A和B之间的BISIMULICULID如果复制器可以使用Z在第一对移动之间的前后游戏中作为非法的胜利策略这两个玩家是选择他们的起始状态。 在计算机科学中，双刺激的概念对于理解A和B作为系统至关重要; 它表达了两个系统以与彼此相同的方式与其环境相互作用，步骤步骤。 但在计算机科学家介绍了这个概念之前，基本上与莫德逻辑的语义（1976年）的语义上的博士学位博士学位出现了同样的概念。

7.其他模型理论游戏

本节中的逻辑游戏是数学家的工具，但他们有一些概念上有趣的功能。

7.1强制游戏

迫使游戏也已知描述为Banach-Mazur游戏的描述性设置理论家; 有关数学背景的更多详细信息，请参阅下面的kechris或oxtoby的参考。 模型理论家使用它们作为构建具有受控性能的无限结构的方式。 在最简单的情况下∀和∃播放所谓的模型存在游戏，其中∃声称固定句φ具有型号，而∀声称他可以从φ达到矛盾。 在开始的开始，新的常量符号A0，A1，A2等的可比无限集C是固定的。 ∃通过选择一个分开的分离和存在的声明来保护分离，并通过作为证人选择常数。 ∀可以通过选择与C的结合来挑战结合，如果没有播放矛盾的原子句，则通过C的任意证人选择任意证人。 ∃具有获奖策略（一致性属性是描述获奖策略的一种方式）如果φ具有型号。 另一方面，如果∀拥有胜利策略，那么对他的获胜战略的所有竞争的树（这可以是有限的）与φ的否定的entzen风格证明有关。 这种分析句子的方法与Beth的语义表和对话游戏的方法密切相关（参见第8节）。 另见JoukoVäänänen2023。

为了绘制一般迫使游戏的想法，想象一下，无数的建筑商队正在建造房子A.每个建筑师都有自己的任务来执行：例如安装浴室或壁纸入口大厅。 每个建造者都有无限的许多机会进入该网站并为房子添加一些有限量的材料; 用于构建器的这些插槽是交错的，使得整个过程以自然数计算的一系列步骤进行。

为了表明房屋可以建成订购，我们需要表明每个建筑师分开都可以执行他或她的指定任务，无论其他建设者所做的事情如何。 所以我们将每个建设者想象成为玩家∃在一个游戏中，所有其他玩家都被混在一起，我们的目标是证明∃拥有这场比赛的胜利策略。 当我们分别证明每个建筑师的这一点时，我们可以想象他们要去工作，每个人都有自己的胜利战略。 他们都赢得了各自的比赛，结果是一个漂亮的房子。

在技术上，结构A的元件预先固定，例如a0，a1，a2等，但是必须通过播放来沉降这些元件的性质。 每个玩家通过抛出关于元素的一组原子或否定的原子陈述，仅在到目前为止所抛出的所有陈述组成的条件中，必须与游戏前写下来的固定的一组公理组成。 （所以在否定的原子句子中投掷¬φ具有防止任何玩家在稍后阶段加入φ。）在联合游戏结束时，抛出的一组原子句具有规范模型，这是结构a; 有些方法可以确保它是固定的一组公理的模型。 如果给出了一个有胜利策略的建造商，据说A可能的属性p是可执行的。 中心点（基本上归因于EHENFEUCHT）是，可信地是无限的可执行性质的结合再次可强制执行。

可以使用强制游戏的变体证明模型理论的各种模型理论的定理。 在这些变体中，我们不会构建模型，而是一个给定模型的子模型。 我们以句子（或可数句子集）φ开头m型。 然后我们列出了φ的子表，每个播放器都有一个具有免费变量的子表单。 玩家的任务是尽快在游戏中发生的参数，并且有一个证人在大型模型中的公式的真相，一个这样的见证人。 当游戏结束时，已经建立了一个满足φ的方式建立了一个可数的M的亚模型。

“迫使”名称是Paul Cohen的应用程序，在20世纪60年代初构建了集合理论的模型。 亚伯拉罕罗宾逊调整了它制造了一种用于建立可数结构的一般方法，而马丁齐格勒介绍了游戏环境。 后来罗宾·赫希和伊恩霍斯斯顿使用过相关的游戏来解决一些关于关系代数的旧问题。