箭头的定理（一）

Kenneth Arrow的“不可能的”定理或“一般可能性”定理，因为他称之为IT-回答集体决策理论中的一个非常基本的问题。 说有一些替代方案可以选择。 他们可能是政策，公共项目，选举中的候选人，社会成员或其他任何事情之间的收入和劳动要求分布。 有些人的偏好会通知这一选择，问题是：哪些程序被导出，从所知或可以出现在他们的偏好，集体或“社会”排序从更好地更好地排序替代方案？ 答案是惊人的。 Arrow的定理说，无论如何，无论如何都没有这样的程序，这满足了一些明显相当合理的假设，了解人民的自主权和他们喜好的合理性。 箭头给社会排序问题的技术框架是一个精确的感觉及其严格的答案，现在广泛用于研究福利经济学中的问题。 不可能的定理本身为当代的社会选择理论造成了大部分议程。 箭头完成了这一点，而仍然是一名研究生。 1972年，他获得了诺贝尔经济奖的贡献。

1.人民的意志？

2.箭头的框架

2.1个人偏好

2.2多个配置文件

2.3社会福利职能

3.不可能

3.1这些条件.....

3.2 ......不相容

4.再次

4.1不受限制的域名

4.2社会排序

4.3弱帕累托

4.4非专政

4.5无关替代品的独立性

5.可能性

5.1域限制

5.2更多序数信息

5.3甚至更多的序数信息：得分和成绩

5.4基本信息

6.重新解释

6.1判断汇总

6.2多标准决定

6.3总体相似性

参考书目

学术工具

其他互联网资源

相关条目

1.人民的意志？

在一个简单但重要的例子中，社会排序的一些问题是可见的。 说有三个替代方案A，B和C可以选择。 有一组三人1,2和3，其偏好是通知这一选择，他们被要求通过自己的灯来排列替代品，从更好地更糟糕地排名。 他们的个人偏好排序结果是：

美国广播公司

基本能力评估

的士

也就是说，人1更喜欢A到B，喜欢B到C，并喜欢a到c; 人2更喜欢b到c，等等。 现在，我们可能希望不知何故抵达一个“社会”排序，反映了所有三个偏好的替代方案。 然后，我们可以选择任何替代方案，社会，最佳的，或者如果有一个领带，我们可以选择与任何其他的替代品一样好。 假设乘坐替代品对，我们将此事提交给投票：如果有更多的选民比谁更喜欢另一个，我们将社会最喜欢的人民替代成为一个替代方案。 我们以这种方式确定A社会优选B，因为两个选民（1和3）更喜欢A到B，但是只有一个（选民2）更喜欢B到A.类似地，对B到C的社交偏好。因此，我们可能期望发现A社会是社会优选的然而，通过这一批判，它只是另一种方式，因为有两个选民更喜欢C到A.我们没有对替代方案的社会排序。 我们有一个循环。 从任何替代方案开始，搬到社会首选的一个，从那里到下一个，你很快就会发现自己开始的地方。[1]

这是“投票的悖论”。 由Marquis de Condorcet（1785）发现，它表明，当个别偏好被聚集到社交偏好时，选择合理选择的可能性可能会丢失。 选民1有一个在他个人订购的顶部。 通过选择A，该选民的偏好可以最大化.2或3的偏好也可以最大化，而不是选择它们的最大值，B或C.成对大多数决定不会导致社会最大值。 A不是一个，因为多数人喜欢别的东西，C。同样，B和C不是社会最大值。 个人偏好为最大化赋予自己; 但是，因为他们循环，社会偏好没有。

是否有其他聚合程序比成对多数决定更好，或者不同的聚合程序，或者不同的是他们自己的缺点？ Condorcet，他的当代Jean Charles de Borda（1781），后来的Charles Dodgson（1844年）和Duncan Black（1948年）通过研究各种程序并比较他们的物业来解决这个问题。 箭头通过相反方向进入它来打破新的地面。 从各种要求开始，预计会达到聚合程序，他询问哪些程序填写该法案。 在他的要求中是社会排序，这希望聚集的结果始终是替代方案的排序，从来没有一个循环。 在箭头建立的技术框架第2节中介绍后，第3.1节规定了他强加的进一步条件。 简而言之，这些是：不受限制的领域，它表示聚合程序必须能够处理任何个人偏好; 弱帕累托，这需要他们尊重一致的个人偏好; 非专政，规定了社会偏好总是同意某人的严格偏好的程序; 最后，无关的替代方案的独立性，这表示，任何两个给定的替代方案之间的社会比较是依赖于那双的个人偏好。 箭头定理，第3.2节中所述，告诉我们，除了在最简单的情况下，没有任何汇总程序，任何符合所有要求。

箭头定理的主人深入对启蒙的政治理想。 事实证明，Condorcet的悖论确实不是孤立的异常，一种特定的投票方法的失败。 相反，它表现出更广泛的问题，因为将许多个人偏好收集到一个人中是一个更广泛的问题。 无论如何，无论如何，无论如何，所有关于集体决策的人都不是一个共同的意志，这会吸收构成社会的所有男女的品味和价值观。

有一些人在riker（1982）之后，以箭头的定理表明，民主，被人民的意志构思为政府，是一种不连贯的幻想。 其他人认为定理的某些条件是不合理的，从他们的角度来看，集体选择的前景看起来更加明亮。 在介绍定理本身之后，此条目将占据关键讨论的一些要点。 第4节考虑了箭头条件的含义和范围。 第5节讨论了当不需要满足所有箭头条件时可用的聚合程序，或者当对社交选择的性质进行不同的潜在假设时。 第6节关于在箭头技术框架内学习的提案概述，这些框架除了涉及他之外的某些聚合问题。

Amartya Sen曾对社会选择理论没有与诗歌相比分享，在理解之前沟通的和蔼可亲的特征（森1986）。 箭头的定理并不是特别难以理解并且很多关于它很容易传达，如果不是诗歌，那么至少在普通的英语中。 但是，非正式演示似乎只是到目前为止，他们停止有时误解。 为了清楚起见，这种博览会使用最低的技术语言。

2.箭头的框架

找到聚合过程的问题出现，如箭头构成它的箭头，与一些给定的替代方案有关，在那里有一个选择。 这些替代方案的性质取决于正在研究的选择问题。 在选举理论中，替代方案是人们在选举中可能会成为候选人的人。 在福利经济学中，他们是社会的不同状态，例如收入和劳动要求的分布。 传统上的替代方案是从字母表的末端使用小写字母作为x，y，z，...; 所有这些替代方案的集合是X.那些味道和值将提供信息的人被认为是有限的，它们被列举1，...，n。

箭头的问题出现，然后，只有在某些替代品和人们已经修复之后。 它适用于他们寻求聚合程序。 然而，至关重要的是，在收集各种替代方案中的有关人民偏好的相关信息之前出现了这个问题，无论是通过轮询还是引发或确定偏好的其他方法。 箭头的定理答案是更准确的问题：在某些过程中到达某些替代方案的社会排序，在某些赋予人们之间的偏好的基础上，无论这些偏好都是什么？

同时，在实践中，我们有时必须选择一个在不知道它将使用的替代品和人员的情况下做出社会决策的程序。 例如，在一些公职的经常性选举中，每次都有一个不同的候选人，以及不同的选民人口，并且我们必须使用相同的投票方法来确定胜利者，无论候选人和选民是谁，无论多么多他们碰巧是。 此类程序不可直接用于箭头框架内的研究，其固定集合X的替代品和人员1，...，n。 虽然箭头的定理仍然与他们相关。 它告诉我们，即使替代品和人员被固定，那么仍然没有“良好”的衍生社会排序方法。 现在，如果甚至没有良好的投票方法，也没有参与这种场合的特定候选人和选民，然后也不是，可以有一种很好的方法可以反复使用，每次都有不同的候选者和选民。

2.1个人偏好

arrow假设从关于人们偏好的信息中，将派生社会排序。 此信息仅在他的框架中，只是序数。 它是涉及在第1节中的髁克的悖论中涉及的信息，其中每个人将替代品从更好地排名，但没有超出任何关于任何人的偏好是多么强大的偏好，或者如何如何比较力量那些另一个人。 在将汇总程序限制为序数信息时，arrow认为：

[i] T似乎没有任何意义的是在他人的效用中添加一个人的效用，在他的脑海中，有一个个人的效用。 （箭头1951 [1963]：11）

他的观点是，即使人们的偏好也有更强和更弱的偏好，即使他们的偏好的优势可以以某种方式被衡量并作为社会决策的基础提供，尽管偏好是“人际口语”的序言信息也是如此。 直观地，这意味着什么，没有说有人能够更强烈的人必须更喜欢一件事，以便弥补别人的偏好，别人的偏好。 arrow没有理由提供有关偏好实力的信息，因为他认为他们不能将此类信息与有意义的使用提供。

因此，各个人的偏好在箭头的框架中由替代方案中的二进制关系RI表示：Xriy意味着个体我弱化替代X到替代y。 也就是说，我严格地更喜欢X到y，否则我在它们之间无动于衷，同样良好地发现它们。 假设每个单独的偏好关系Ri（对于所有替代X和Y，Xriy或Yrix，或两者）和传递（对于所有x，y和z，如果xriz，则为xriz）。 这些关系具有这些结构性，对于箭头来说，这是他们所代表的偏好的“合理性”的问题; 有关进一步讨论，请参阅经济学偏好和哲学的条目。 连接，传递关系称为弱排序。 它们是“弱”，因为它们允许联系在这方面，漠不关心。

偏好配置文件是列表⟨r1，...，rn⟩的替代方案的集合X的弱排序，每个人1，...，n。 投票的悖论中的三个单独排序列表是替代方案A，B和C和C的偏好配置文件的示例，以及人员1,2和3.个人资料是将在替代方案中选择的各个人的个人偏好的代表。 它是箭头的聚合程序接收有关各个偏好信息的配置文件的形式。 通常可以方便地写入⟨ri⟩而不是⟨r1，...，rn‖。 其他配置文件是写的

*

一世

⟩，等等。

在限制替代方案的弱排序中的个人投入中，箭头忽略了人们以序数分数或成绩的形式输入有关其偏好的可能性。 等级输入使得从第5.3节中解释的箭头不可能性的“转义”启用“逃生”。 Amartya Sen扩展了箭头的框架，不仅考虑了关于人们在替代方向的偏好的序数信息，而且还有关于它们从每个人派生的实用程序的基本信息。 通过这种方式，他能够调查其他假设的后果而不是箭头关于个体偏好的可测量性和人际的可比性。 有关详细信息和参考，请参见第5.4节和进入社交选择理论。

2.2多个配置文件

arrow所需的聚合过程从不仅仅是单一的配置文件中获得社会排序，代表每个人的实际偏好。 在他的框架中，他们必须估计许多个人资料，代表人们可能拥有的偏好。

偏好之间的品种是我们评估我们选项的不同标准中的结果，在箭头账户中。 我们的偏好取决于我们的个人消费中的“品味”，但重要的是，对于社交选择，他们也取决于我们的社会指导的“价值”。 现在，我们在某种程度上可以自由地拥有各种口味，价值观和偏好; 我们也是自由的，也是让这些独立于彼此独立。 任何个人都可以拥有一系列偏好，然后，对于任何给定的人和替代方案，有许多可能的偏好概况。 一个个人资料⟨ri⟩代表了这些人在他们的替代方案中的偏好，如果你是一个可能的世界。 另一个简介⟨r

*

一世

⟩代表同一个人的偏好，以及相同的替代方案，但在另一个可能的世界中，他们的口味和价值观不同。

需要需要处理许多型材的聚集程序的箭头的理由是认识。 当他诬陷集体选择的问题时，就某些赋予人们的口味和价值观，寻求一个程序的社会排序。 但是，在众所周知，它是在众所周知的作用和价值观之前。 在箭头对此事的轨迹中估计的档案中的各种措施是一个衡量标准的措施，其中每个人的偏好是一个先验的先验，即在这些被引发之前说。 当已知较少时，有更多的简档可能需要派生社会排序。 当众所周知的时候，它们少。

即使人们的实际偏好完全已知，还有许多档案的其他原因。 Serge Kolm（1996）建议，当我们来证明一些给定程序的使用时，反事实偏好是相关的。 灵敏度分析，用于管理输入中的错误的不确定性，并在输出打开它的意义上确定哪些信息是至关重要的，还要求程序处理一系列输入。

在播放中有许多简档，可以在聚合程序上有“迭代”条件。 这些坐在几种配置文件中的聚集结果协调。 在箭头定理中发挥着至关重要的作用的这种情况是无关的替代品的独立性。 只要两个替代品之间的每个偏好都在一个配置文件中，它就要求在另一个配置文件中，在这些替代方案所关注的情况下，两个概况也必须相同。 随着人们的口味和价值观变化，社会排序中的这种相似性也存在这种情况。 第3.1和4.5节更详细地讨论了这种有争议的要求的含义，以及在聚合程序上施加它的程度。

IAN在早期讨论中提出以下异议（箭头1951）：

如果尝到改变，我们可能会期望所有可想到的国家的新订购; 但是，我们不要求新订购和旧订单之间的差异应该与发生的味道的变化有任何特殊关系。 我们有，所以说，一个新的世界和新的秩序; 我们不要求对世界变化与订单的变化（小1952：423-424）之间的对应关系。

很明显同意箭头可能有一个不同的社会排序是人们的口味不同，但与箭头不同，他认为不必与任何特殊方式类似的实际或当前订购。 对亚伯兰卑尔森（1938年）和Paul Samuelson（1947年）的社会福利判断的“单一简介”审判有点异议，并有一个关于哪种方法最好的，他们或箭头的辩论。 可以说，在本次辩论中的问题是不是 - 或者不应该是 - 是否 - 是否必须处理更多单个偏好配置文件，而是在不同的简档时应是否应该有任何协调。 其中森（1977年）和弗斯巴埃和蒙丁（2005年）已经提出这一点。 如果它们是正确的，那么只要不强调任何讲义限制，就可以在箭头的多型材框架内容纳很少反对的物质。 就像它一样，Arrow的框架如今是主导的框架。

2.3社会福利职能

在这些被引发之前，有时会知道一定的数量。 与所知道的兼容的简档代表了人们可以拥有的偏好，并且可能会竟然有所了解，它来自这些“可接受的”档案，我们可能希望获得社会排序。 从技术上讲，箭头框架中的域是一组可接受的配置文件，每个配置文件都会有关相同的替代方案x和人1，...，n。 社会福利函数f分配给每个域中的每个档案⟨ri⟩在某个域中的二进制关系f⟨ri⟩上x.直观地，f是聚合过程，f⟨ri⟩表示它来自⟨ri⟩的社交偏好。 箭头的社会福利功能有时被称为“宪法”。

arrow纳入社会福利函数的概念，f⟨ri⟩始终是替代品集X弱排序的进一步要求。 非正式地说，这意味着社会福利功能的产出必须始终是从更好地更糟糕的替代品的排名，也许是关系。 它可能永远不会是一个循环。 在此处将出现此要求，正如箭头定理的其他当代演示文稿中，作为社会福利功能可能需要满足的单独情况。 请参见第3.1节。 这样，我们可以考虑在不改变框架的任何基本部分的情况下丢弃这种情况的后果。 请参见第4.2节。

arrow建立了一个仍然广泛观察到使用'r'来表示从“⟨ri⟩”的社会偏好的惯例。 用于派生它的社会福利职能是在他的符号中，左隐含。 写作'f⟨ri⟩'而不是'r'的一个优点是，当我们说明不可能定理的条件时，在下一节中，社会福利功能将在他们中明确计算。 这使得这些条件约束是个人和社会偏好之间的功能关系。 关注关注这是箭头方法的重要创新。

3.不可能

使用现已到位的概念框架，第3.1节规定了对社会福利职能的箭头的“条件”或约束，第3.2节规定了定理本身。 第4节更充分地解释了条件，讨论了箭头给施加它们的原因，并考虑是否适合这样做。

箭头的条件通常被称为公理，并且他的方法据说是公理的。 这可能被发现误导。 与逻辑或几何的公理不同，箭头的条件不应该表达更多或更少的嵌合真理，或构成学习对象的隐性定义。 arrow自己带着他们是值得怀疑的“价值判断”，即“以非常一般的形式表达公民主权和理性的理性”（箭头1951 [1963]：31）。 实际上，正如我们将在第4节中看到，随着箭头本人认可，有时候，社会福利职能甚至不可能满足不可能定理的所有条件。

arrow恢复了第二版的社交选择和个人价值的条件（箭头1963）。 它们在此处出现在此后的规范形式。

3.1这些条件.....

第一个要求是社会福利函数f可以处理任何个人偏好的任何组合：

不受限制的域（U）：f的域包括每个列表⟨r1，...，rn⟩的n弱排序的x。

条件U要求F被定义为每个“逻辑上可能”个人偏好的配置文件。 第二个要求是，在每种情况下，F产生替代方案的排序，也许是线条：

社会排序（SO）：对于域中的任何个人资料，f⟨ri⟩是X的弱订购

请注意，由于第1节中投票的悖论，这两个条件U等通过两者已经通过成对多数决定排除了聚合偏好，如果有至少三个替代方案可以选择，并且需要考虑其偏好的偏好。