箭头的定理（二）

要说明下一个要求，使用一些速记是方便的。 对于任何给定的个人订购RI，让PI是RI的严格或不对称部分：XPIY如果XRIY但不是Yrix。 直观地，xpiy意味着我真的更喜欢x到y，因为我之间没有漠不关心。 同样，让P是f⟨ri⟩的严格部分。 箭头定理的下一个条件是：

弱帕累托（WP）：对于F的域中的任何配置文件，以及任何替代方案x和y，如果是我所有的i，xpiy，那么xpy。

WP需要F致意一致的严格偏好。 也就是说，每当每个人都严格更喜欢另一个替代方案，F导出必须同意的社会排序。 成对多数决策满足WP。[2] 许多其他众所周知的投票方式，如波尔达计数，也满足了它（见第5.2节）。 因此，WP要求F就像它们一样。

下一个条件确保社交偏好不是完全基于任何一个人的偏好。 人d是F的任何替代方案x和y的独裁者，以及f的任何简档，rd，...⟩f：如果xpdy，那么xpy。 当一个独裁者严格倾向于另一件事时，社会也是如此。 其他人的偏好仍然可以影响社会偏好。 因此，在社会州的情况下，替代方案的“非福利”的特征是人们平等的程度，他们的权利受到尊重，等等。 但是，只有在两个替代方案之间无所谓的独裁者在两个替代方案之间漠不关心时，所有这些都可以产生差异，没有一种方式或另一种方式。 这种情况现在只是：

非医疗人员（D）：F没有独裁者。

为了说明，从域中挑选一些人d，任何一个，以及从域中的每个轮廓⟨ri⟩采取表示d的偏好的排序路线。 现在，在每种情况下，让社会偏好是那个。 换句话说，对于每个轮廓⟨ri⟩，让f⟨ri⟩是rd。 这种社会福利功能F完全基于DICTATOR的DICTER的偏好基础。 它直观地是不民主的，而d规则。

为了说明箭头定理的最后条件，另一块速记是方便的。 对于任何给定的关系R，以及任何SET，让R | S是对r的限制。它是r的那部分是只有s的元素。[3] ⟨r1，...，rn⟩到s的限制，写入⟨r1，...，rn⟩|，是⟨r1| s，...，rn |s⟩。 从第1节中取出表决的悖论：

美国广播公司

基本能力评估

的士

它对替代方案的集合{a，c}的限制是：

ac

ca

ca

现在剩下的条件可以说明：

无关的替代品的独立性（i）：对于x中的所有替代x和y，以及所有概况⟨ri⟩和⟨r

*

一世

⟩在f的域中，如果⟨ri⟩| {x，y} =⟨r

*

一世

⟩| {x，y}，然后f⟨ri⟩| {x，y} =f⟨r

*

一世

⟩| {x，y}。

我说，每当两个配置文件中，⟨ri⟩和⟨r

*

一世

⟩与X和Y的一些替代方案都相同，所以也必须是社会偏好关系f⟨ri⟩和f⟨r

*

一世

⟩与X和Y相同。 例如，考虑配置文件：

杆状

的士

基本能力评估

其对对{a，c}的限制与投票悖论的轮廓的限制相同。 假设社交福利函数的域包括两个配置文件。 然后，为了满足我，它必须从A和C之间的每个社交偏好导出。A和C之间的社会偏好是在这个意义上是任何人在其中任何一个的“独立”和剩余的“无关”替代B.相同的是保持域中的任何两个配置文件，以及所有其他替代方案的SET X = {A，B，C}的任何其他对。 一些投票方法不满足I（参见第5.2节），但成对大多数决策确实如此。 要查看x是否是社会优选的y，通过此方法，您还需要看不到x和y之间的各个偏好。

3.2 ......不相容

箭头发现，除了在最简单的情况下，第3.1节的五种情况不兼容。

箭头定理：假设有两个以上的替代方案。 然后没有社会福利功能f满足你，所以，wp，d和我。

箭头（1951）具有此“不可能性”定理的原始证明。 在凯利1978年，坎贝尔和凯利2002，Geanakoplos 2005和GaErtner 2009中有凯利，凯尔利和不同的证据。

4.再次

单独采取，箭头定理的条件似乎并不严重。 显然，他们只会询问一个聚合程序，只不过它会提出社会偏好订购，无论每个人都喜欢（U等），它将以某种方式（WP和i）类似于某些民主安排，而且它不会类似于某些不民主的人以另一种方式安排（D）。 但是，在一起，这些条件排除了衍生社会偏好的所有可能性。 是时候更仔细地考虑它们了。

4.1不受限制的域名

箭头的域条件U说，社会福利函数的域包括X的弱排序的每个列表。例如，假设备选方案是A，B和C，并且人们是1,2和3.有13个替代方案的弱排序，因此不受限制的域名包含2197（即133）A，B和C的弱排序列表。对于这些替代方案和人员来说，如果它满足U，则为社会福利函数f，如果它满足U，则将这些“逻辑上可能”的偏好配置文件中的每一个映射到A，B中的集体偏好上，和c。

在箭头的帐户中，域中的不同配置文件表示人们可能会出现的偏好。 在他的认识理由上施加你，尽量让他们有可能有任何偏好：只有当他们的偏好可能是有意义的，需要要求社会福利功能为一切做好准备。 arrow写着支持你：

如果我们不希望在指定我们的社会福利职能之前需要任何先前的个人品味知识，必须为每个逻辑上可能的单个订单集定义该功能。 （箭头1951 [1963]：24）

有误解。 有些人认为你需要社会福利功能，他们可以处理“任何旧”的替代品。 它没有任何东西。 它所需要的是，社会福利职能可以在哪个替代方案中可以处理最广泛的偏好范围，无论有哪些替代方案，以及哪些替代方案都会发生在其中许多或只有其中几个都是旁边：即使存在社会福利功能的领域也可以完全不受限制地完全不受限制x只是两个替代方案。 维持这个非正统的理解的一种方法是，也许是想到箭头的x，y，z ......不是替代方案，而不是作为选举，社会国家的候选人，或者你 - 而是作为代表不同场合代表这些的名称或标签选择。 然后，可能认为，标签可以附加的替代方案中的变化将在曲线中产生多样性，即可以预期聚合过程处理的谱系。 Blackorby等人。 （2006）在一点上玩这个想法，但他们很快就把它放在一边。 似乎在文献中似乎没有探索。

当然，没有什么可以让任何人从重新解释箭头的基本概念中，包括替代方案的集合X，以任何方式; 无论给予什么诠释，定理是定理。 然而，重要的是要实现解释x，y，z，......作为标签不是标准的，并且只能使箭头定理引起的大部分社交选择理论的废话。[4]

箭头已经知道你是一个更强大的域条件，而不是不可能的结果。 免费的三重财产和链属性是较弱的条件，可以在箭头定理（Campbell和Kelly 2002）中取代你。 从逻辑的角度来看，这些版本更具信息量更好。 但是，州比其域条件更简单，并且可能会发现更直观。 请注意，域域条件较弱仍然需要很多曲线之间的品种。 箭头式不可能性定理的典型证据要求域名不受限制地不受限制。 在这种情况下，总是具有涉及在第1节中投票的悖论中的偏好配置文件，其中一对多数决策导出了一个循环。

在社会福利功能上强加u或任何其他域条件是否是明智的，这对研究的选择问题的详细界非常重要。 有时，在所考虑的替代品的性质中，确定了它们之间的个人偏好的方式，肯定是不合适的。 如果例如，替代方案是在某些人中分割馅饼的不同方式，并且在选择社会福利功能之前，这些人是自私的，每个人只关心自己的作品的大小，那么它就不需要处理它可以处理案例的合适功能有些人喜欢自己的少于拥有更多。 为了使他们永远不会出现的简单原因，永远不会要求社会福利功能来处理这种情况。 箭头表明这一点如下：

[i] T经常被假设或暗示在福利经济学中，每个人只根据他的消费量而重视不同的社会状态。 如果是这种情况，我们只能要求我们为这些类型的单独排序组定义我们的社会福利功能; 只有这样应该受理（箭头1951 [1963]：24）。

5.1第5.1节考虑了在没有必要估计所有“逻辑上可能”个人偏好时开放的一些可能性。

4.2社会排序

条件如此要求聚合各个偏好的结果始终是替代方案的弱排序，它们之间的二进制关系是传递和连接的。 直观地，结果必须是从更好地更糟糕的替代品的排名，也许是关系。 从来没有成为社会偏好的循环，就像在第1节中被投票的悖论中的成对多数决定导出的那样。

箭头没有状态是单独的条件。 他建立了社会福利功能的概念，争论聚集偏好的结果必须是一个订购，如果它是“反映理性选择制作”（箭头1951 [1963]：19）。 由Buchanan（1954）批评，用于将个别选择的属性转移到集体选择，第二版的社交选择和个人价值观的箭头给出了不同的理由。 在那里，他认为传递是重要的，因为它确保集体选择独立于对它们所带来的路径（箭头1951 [1963]：120）。 他没有进一步发展这个想法。

Charles Plott（1973）阐述了一个合适的路径独立概念。 假设我们所召唤的鸿沟和征服我们选择：首先，我们将替代品分成一些较小的套装，因为这些是更易于管理的 - 我们从每个人那里选择。 然后我们聚集我们从较小的套件中选择的所有替代方案，我们再次选择其中。 有很多方法可以制作初始划分，并且如果我们最终到达的选择是独立的，则据说一个选择程序是独立的，如果我们到底到底，我们从哪个划分开始（绘图1973：1080）。 在Arrow的帐户中，通过最大化社会排序R：来自S中的SET，XRY中的任何Y中的选择C（S），从一些可行的替代方案中获得了可行的替代品的一些可行替代品的社交选择。 不难看出r的贫置如何导致路径依赖性。 再次考虑第1节投票的悖论。a严格青睐于b，b上方c; 但是，与传递性相反，C严格受到上面的青睐。从{a，b}，{b，c}}开始，我们从{a，b，c}中的选择将是{a}; 但从{{a，c}，{b，c}}开始，我们将在{b}结束。

Plott的分析揭示了一个微妙之处。 因此，不需要确保选择的路径独立性的全力。 社会偏好是（完整的和）准转会关系是足够的，具有传递的严格组分，但可能是不传递的漠不关心的组成部分。 SEN（1969年：定理V）证明了这种较弱要求与所有箭头的其他条件的兼容性，但是指出他出现的聚合函数通常不会被发现有吸引力。 它没有吸引力并没有意外。 Allan Gibbard表明，唯一通过允许社会漠不关心的机制提供的唯一可用的社会福利功能，同时保持箭头的其他要求，是他所谓的Liberum veto寡头（Gibbard 1969,2014）。 在每种情况下都有一些人，寡头，使社会总是严格更喜欢另一个替代方案，如果所有的寡头都严格更喜欢它，但如果这会违背任何寡头的严格偏好。[5] 在箭头的感觉中，独裁统治是一个Liberum veto寡头政治。 通过限制对严格的社会偏好的传递要求来放松，因此尽管箭头定理，但仍然存在可接受的社会福利职能的存在。

4.3弱帕累托

条件WP要求每当每个人都严格排名一个替代方案，就像另一个替代方案一样，社会排序同意。 这长期以来一直是福利经济学中的基本假设，似乎似乎完全无助性。 当每个人都这样做时，社区应该更喜欢一个社会状态，arrow与赔偿有关的arrow，是“除了系统地否认他们想要的人的哲学之外，除了可能的哲学之外就不会辩论”（箭头1951 [1963]：34）。

但WP并不像它看起来那么无害，而且与你相结合，它紧紧地限制了社交选择的可能性。 从森（1970年）示范中，这两个条件与每个人的想法发生冲突，这是每个人都有一个事务领域的宗旨，在其中他的偏好必须在与他人冲突的情况下以其占上风。 “Paretian Libertarian”的重要问题有同时拥有自己广泛的文学。 有关进一步讨论，请参阅进入社交选择理论。

我们可能会将WP视为Sen所谓的遗迹：

Welfarism：判断替代事务的相对良好状态必须完全基于，并作为这些国家个人公用事业的各自收集的越来越多（1979：468）。

在箭头的序数框架中，Welfarism坚持认为个人偏好排序是导出社会偏好的唯一依据。 非福利因素 - 社会州的身体特征，人们在拥有他们所做的偏好方面的动机，尊重权利，平等 - 这些都不是间接地通过个人偏好的思考进行任何差异。 WP在每个人严格偏好一致的特殊情况下致力于福利主义的需求。 森认为，即使是道德理由也可能发现这些有限的需求过度（1979年：第四节）。 第4.5节进一步讨论了福利主义。

4.4非专政

有人是一个独裁者，在箭头的感觉中，如果每当他严格地更喜欢另一个替代方案，社会也总是更喜欢它。 除了独裁者之外的人之外的偏好仍然可以产生差异，因此非福利因素也可以产生差异，而是只有当独裁者在两个替代方案之间无动于衷时，没有一个人的方式或另一种方式。 箭头的非独裁条件d说没有独裁者。 简单地说明了许多不民主的安排，例如在各种情况下识别社会偏好，其中一些人的个人偏好。 这显然是直接的条件在文献中引起了很少的关注。

事实上，非独裁条件比满足于眼睛更多。 Arrovian独裁者只是一个严格的偏好总是一个社会严格偏好的子集，而且本身并不意味着他的偏好形成社会偏好的基础，或者独裁者对这些专区有任何权力或控制。 AANUND HYLLAND曾经发出过相关点，同时对社会选择的单一外形分析进行了反对D的不反思纠纷：

在单型型号中，独裁者是一个人，其个人偏好与社会偏好与所考虑的唯一配置文件一致。 没有什么是必然的; 决策过程可能是完全民主的，一个人只是在所有问题上赢得胜利。 （Hylland 1986：51，脚注10）

非独裁条件是因为这个原因有时会走得太远。 甚至成对大多数投票，那种民主程序的范式，是有时是独裁者的箭头。 考虑Zelig。 他没有自己的口味，价值观或偏好，但暂时接受他人的那些，无论谁近在咫尺。 他是一个人的变色龙，终极符合者。[6] Zelig有一天在三个委员会中发现自己可以选择几种选择，使用成对大多数投票的方法，鉴于他的特殊性，可以出现的个人排序范围有点限制。 在每个可允许的简介中，三个个人排序中的两个是相同的：Zelig以及在委员会会议上最接近他的人。[7] 现在假设它恰好Zelig严格更喜欢一个选项x到另一个选项y。 然后别人也这样做了; 这使得三个中的两个等等，当他们投票时，结果是对y上方的x的严格集体偏好。 委员会的决定程序是，在箭头的感觉中，独裁统治和Zelig是独裁者。 但当然，真正的Zelig是一个追随者，而不是领导者，大多数投票就像民主一样。 这只是这个疯狂的小家伙有一种始终在获胜方面的方式。

箭头施加D与域完全不受限制的要求。 也许这个条件表达了更接近其预期含义的东西。 通过不受限制的域名，与Zelig不同，一个独裁者是一个人的偏好与其他案例中的偏好发生冲突，并且在每种情况下，他的偏好与社会偏好同意，而不是他们的偏好。 然而，这可能是，Zelig的示例表明是否适合在社会福利职能上施加D取决于手头选择问题的细节。 这种情况的名称是误导性的。 有时没有关于有一个“独裁者”的无所不念的，在箭头的技术意义上。

4.5无关替代品的独立性

箭头的独立条件要求，每当一对替代方案中的所有单独偏好都是相同的，因为它们在另一个配置文件中，这些替代方案之间的社交偏好也必须对这两个简档相同。 言喻，这意味着，当社会福利功能谈到聚合各个排序的工作时，它必须分开服用每对替代方案，不关注除了它们以外的替代方案的偏好。 一些聚合程序以这种方式工作。 成对大多数决定确实：它将x计数为y弱优先于y，社会，如果许多人在y yours y yours的情况下弱x到y，并且明显地看不到x和y以找到它。

条件我不是箭头的配方。 这是一个更简单的，因为它成为不可能定理的博览会的标准。 Arrow的制定涉及通过最大化社会排序的各种“环境”中的选择：

无关备选方案的独立性（选择版本）：对于X中的所有环境，以及所有配置文件⟨ri⟩和⟨r

*

一世

⟩在f的域中，如果⟨ri⟩| s =⟨r

*

一世

⟩| s，然后c（s）= c *（s）。

这里C（s）是从S的社会排序意义上的那些选项的集合，与任何其他人一样好; 和c *（s）代表f⟨r的最大值

*

一世

⟩。 这是箭头条件3（箭头1951 [1963]：27）。[8]

Iain McLean（2003）已经在（Condorcet 1785）中找到了第一次独立性和意义的赞赏声明。 与此同时，有很多争议围绕着这种情况，而且没有一点混乱。 其中一些可以追溯到箭头寻求激励它的示例。 当一个候选人在投票后在选举死亡时，他写道，

......]在幸存的候选人的集合中所做的选择应该是独立于候选人的个人的偏好，因此，我们可能需要我们的社会福利功能，即社会从给定的环境所做的选择只取决于个人的排序在该环境中的替代方案中（箭头1951 [1963]：26）。

显然arrow占据了独立条件的选择版本。 他继续：

替代地说，如果我们考虑两组单独的排序，例如，对于每个人，每次都需要他在给定环境中的那些特定替代方案的订单是相同的，然后我们要求社会从该环境中由第一组排序给出时的环境所做的选择是相同的到第二个（箭头1951 [1963]：26-27）。

尚不清楚为什么arrow认为死候选的情况涉及不同的值和偏好概况。 当他设置了一个例子时，很自然地想象每个人的价值和偏好保持不变，而一名候选人变得不可行（“我们仍然愿意，但可悲的是他不再和我们在一起”）。 显然，箭头的例子会错过它的标记。 在文献中有很多讨论这一点。 Hansson（1973）认为，arrow对另一个人的独立条件困惑; 比较Bordes和Tideman（1991）相反的观点。 讨论几个独立概念，其差异并不总是欣赏，参见Ray（1973）。