独立友好逻辑（一）

独立友好逻辑（IF 逻辑、IF 一阶逻辑）是一阶逻辑的扩展。在其中，可以表达比一阶逻辑更多的量词依赖性和独立性。其量词仅针对个体；然而，从语义上讲，IF 一阶逻辑具有与存在二阶逻辑相同的表达能力。IF 逻辑缺乏一阶逻辑所具有的某些元属性（公理化、塔斯基型语义）。另一方面，IF 逻辑承认自应用的真值谓词——这是众所周知的一阶逻辑不具备的属性。与 IF 逻辑相关的哲学问题包括重新表述逻辑主义纲领、公理集合论中的真值问题以及否定的性质。IF 逻辑的研究也启发了一阶逻辑的替代概括：斜线逻辑和依赖逻辑。

1. 简介：量词依赖

2. IF 逻辑的背景：博弈论语义学

2.1. 语义游戏

2.2. 不完美信息

3. IF 一阶逻辑的语法和语义

3.1. 语法

3.2. 语义

3.3. 基本属性和概念

3.4. 扩展 IF 一阶逻辑

4. IF 一阶逻辑的元逻辑属性

4.1. 一阶逻辑和存在二阶逻辑

4.2.否定的复杂性

4.3 公理化失败

4.4 组合性和塔斯基型语义的失败

4.5 定义真值

4.6 扩展 IF 一阶逻辑的性质

5. 哲学后果

5.1 类型层次中的位置

5.2 集合论哲学

5.3 扩展 IF 一阶逻辑和数学理论化

5.4 自然语言中的信息独立性

6. 相关逻辑

6.1 斜线逻辑

6.2 依赖逻辑

7. 结论

参考书目

学术工具

其他互联网资源

相关条目

1. 简介：量词依赖性

在数学散文中，人们可以说“对于所有实数 a 和所有正实数 ε，存在一个依赖于 ε 但不依赖于 a 的正实数 δ，使得...”这里重要的是量词依赖性。存在量词“存在 δ”据说依赖于全称量词“对于所有的 ε”，但不依赖于全称量词“对于所有的 a”。卡尔·魏尔斯特拉斯 (1815–1897) 在分析基础中工作的一个重要部分是，他从量词依赖的角度定义了极限、连续性和导数的概念。[1] 举一个具体的例子，如果对于集合 D 中的所有 a 且对于所有的 ε＞0 存在 δ＞0 使得对于 D 中的所有 x，如果 |x−a|＜δ，则 |f(x)−f(a)|＜ε，则函数 f:D→R 是连续的。一致连续性的定义是从连续性的定义中得出的，通过指定量词“存在δ”仅依赖于量词“对于所有ε”，而不依赖于量词“对于所有a”。[2]

独立友好型一阶逻辑（又名IF一阶逻辑、IF逻辑）由Jaakko Hintikka和Gabriel Sandu在他们的文章“信息独立性作为一种语义现象”（1989）中引入；其他早期来源是Hintikka的小册子“定义真理、全部真理和只有真理”（1991）和Sandu的博士论文（1991）。[3] IF一阶逻辑是一阶逻辑的扩展，涉及特定的句法设备“/”（斜线，独立性指示符），它在对象语言级别具有与刚刚考虑的例子中的元级修饰语“但不依赖于”相同的效果。在 IF 逻辑符号中，函数 f 一致连续的语句的逻辑形式为 (∀a)(∀ε)(∃δ/∀a)(∀x)R，与 f 仅仅是连续的语句形式 (∀a)(∀ε)(∃δ)(∀x)R 形成对比。

在本节和下一节的介绍性示例中，我们将注意力集中在前缀形式的公式上：一串量词，后跟无量词的一阶公式。如果在这种形式的一阶句子中，存在量词 ∃y 位于全称量词 ∀x 的句法范围内，则根据语义，∃y 自动依赖于 ∀x。例如，句子 (∀x)(∃y)R(x,y) 就是如此。 ∃y 对 ∀x 的依赖意味着 ∃y 的证词可能随着解释 ∀x 的值而变化。为了使句子在模型 M 中为真，只要存在一个函数 f，使得对于任何解释 ∀x 的 a，R(a,f(a)) 在 M 中成立即可。此类函数阐明了存在量词的证词对全称量词解释的依赖关系，在逻辑文献中被称为 Skolem 函数。[4] 相比之下，在句子 (∃y)(∀x)R(x,y) 中，量词 ∃y 不依赖于量词 ∀x。要使这个句子在 M 中为真，∃y 的同一个证词 c 必须对 ∀x 的任何解释 a 都有效，因此 R(a,c) 在 M 中成立。相应的 Skolem 函数是一个常数。[5]

在 IF 一阶逻辑中，句法范围不再决定依赖的语义关系。例如，在句子 (∀x)(∀y)(∃z/∀y)R(x,y,z) 中，∃z 在句法上从属于 ∀x 和 ∀y，但被标记为独立于 ∀y，因此仅依赖于 ∀x。从语义上讲，这意味着 ∃z 的见证必须由以 ∀x 的解释为参数的函数给出，而不是 ∀y 的解释。为了使 (∀x)(∀y)(∃z/∀y)R(x,y,z) 在 M 中为真，必须有一个单参数函数 f，使得对于任何解释 ∀x 的 a 和任何解释 ∀y 的 b，R(a,b,f(a)) 在 M 中成立。

使用斜线符号有什么好处呢？毕竟，显然例如 (∀x)(∀y)(∃z/∀y)R(x,y,z) 在模型 M 中为真当且仅当[6] 一阶句子 (∀x)(∃z)(∀y)R(x,y,z) 在其中为真。事实上，IF 逻辑的表达能力超过了一阶逻辑。考虑句子 (∀x)(∃y)(∀z)(∃w/∀x)R(x,y,z,w)。其真值条件具有以下形式：存在单参数函数 f 和 g，使得对于任何解释 ∀x 的 a 和解释 ∀z 的 b，R(a,f(a),b,g(b)) 在 M 中成立。[7]因此，当且仅当以下包含有限偏序量词的句子 (*) 为真时，该句子为真：

∀x∃y

∀z∃w

R(x,y,z,w)

因为，根据定义，当且仅当二阶句子 (∃f)(∃g)(∀x)(∀z)R(x,f(x),z,g(z)) 在其中为真时，(*) 在模型 M 中为真。后者可以称为 (*) 的 Skolem 范式。它表示存在为 (*) 中的量词 ∃y 和 ∃w 提供见证的 Skolem 函数。有限偏序量词（又名 Henkin 量词或分支量词）由 Leon Henkin (1961) 提出，随后得到了广泛的研究。[8]它们是二维句法对象

Q11…Q1n

⋮

Qm1…Qmn

其中每个 Qij 都是 ∃xij 或 ∀xij。它们可以通过系统地使用 Skolem 函数自然地进行解释。

让我们用 FPO 表示从一阶逻辑获得的有限偏序量词的逻辑，如下所示：如果 ϕ 是一阶公式，而 Q 是有限偏序量词，则 Qϕ 是 FPO 的公式。[9] 使用 FPO 可以表达一阶逻辑中无法定义的属性。第一个例子是由 Andrzej Ehrenfeucht（参见 Henkin 1961）提供的：一个句子在模型中为真，当且仅当其域的大小是无限的。事实证明，FPO 可以转换为 IF 逻辑（参见第 4.1 节）。因此，IF 逻辑比一阶逻辑更具表达力。

在 Hintikka 看来，IF 逻辑的最深层原因是量词之间的依赖和独立关系是表达一阶变量之间依赖和独立关系的唯一方式（Hintikka 1996：34-35、73-74；2002a：404-405；2006a：71、515）。要正确理解这句话，请回想一下量词（不）依赖关系是语义关系，但以句法形式表达。更准确地说，在 IF 逻辑中，（不）依赖关系在句法上由两个因素的相互作用表达：句法范围和独立指示符“/”。在给定的句子中，存在量词 ∃x 恰恰依赖于 ∃x 所处范围的那些全称量词，但 ∃x 未使用斜线符号标记为独立于这些全称量词。 Hintikka 所说的变量之间的（不）依赖关系，是指模型中数量之间的函数依赖关系。物体的动能取决于其质量和速度，但不取决于所考虑的特定物体。这一事实可以在 IF 逻辑中用句子来表达

(∀b)(∀m)(∀v)(∃e/∀b)(如果 b 是以速度 v 移动且质量为 m 的物体，则 b 的动能 e 等于

1

2

mv2)。

这句话表明动能对质量和速度存在函数依赖关系，这一点从以下事实中尤为明显：如果该句子为真，量词 ∃e 的唯一 Skolem 函数实际上就是连接质量、速度和动能的物理定律（参见 Hintikka 1996：34-35）。

一阶逻辑只能表达变量之间的某些关系，而 IF 一阶逻辑则具有更强的表达能力，可以表达更多关系。实际上，IF 逻辑旨在捕捉所有此类关系（Hintikka 1996：75-77；2002a：404-405；2002b：197；2006a：72）。这一思想在其完全普遍性上必须被视为纲领性的。有关更一般的框架，请参阅 Hintikka（2006a：515、536、752；2008）、Sandu & Sevenster（2010）、Sandu（2013）、Sandu（2014）。

与 IF 逻辑相关的哲学问题包括：一阶数学推理的重构（Hintikka 1996、1997）、自应用真值谓词的可定义性（Hintikka 1991、1996、2001；Sandu 1998）、真值和公理集合理论（Hintikka 1996、2004a）以及对否定性质的洞察（Hintikka 1991、1996、2002；Hintikka & Sandu 1989；Sandu 1994）。这些问题将在第 4 和第 5 节中讨论。

2. IF 逻辑的背景：博弈论语义学

2.1.语义游戏

受路德维希·维特根斯坦语言游戏思想的启发，Hintikka (1968) 引入了后来被称为博弈论语义学 (又名 GTS) 的基本框架。Hintikka 从维特根斯坦那里学到的基本教训是，单词（特别是量词）与使其有意义的活动相关联：单词通常只在某些类型的动作背景下才有意义 (Hintikka 1968: 55–56)。维特根斯坦说，“语言游戏”是指“由语言和语言交织成的动作组成的整体”(Wittgenstein 1953: I，第 7 节)。

很自然地，我们会问哪些活动与量词有关。正如欣蒂卡所解释的那样（见欣蒂卡 2006a：41、67），维特根斯坦认为，可以寻找和找到某物作为对象。将这个想法应用于具有值等对象的量词，欣蒂卡开始为量词制定语义游戏。至关重要的是，这些语义游戏可以严格地表述为博弈论意义上的游戏；但同时，它们是维特根斯坦意义上的语言游戏的精确编码，至少如果人们接受与量词相关的活动是“寻找”和“发现”的话。[10]

一阶句子φ的语义游戏G（φ，M）是在给定模型M上进行的两人完全信息零和游戏。我们把这两个玩家简称为玩家1和玩家2。[11]对于前缀形式的句子，这些游戏最容易解释。全称量词标记玩家 1 的移动，而存在量词提示玩家 2 的移动。在这两种情况下，相关玩家都必须从 M 的域 M 中选择一个个体。[12] 如果

ϕ=(∀x)(∃y)(∀z)(∃w)R(x,y,z,w)，

游戏玩法如下。首先，玩家 1 挑选出一个个体 a，然后玩家 2 挑选出一个个体 b。然后玩家 1 继续选择另一个个体 c，玩家 2 则挑选出一个个体 d。这样一局游戏就结束了。所选个体的元组 (a,b,c,d) 决定了游戏的获胜者。如果无量词公式 R(a,b,c,d) 在 M 中成立，则玩家 2 获胜，否则，玩家 1 获胜。

其中一个玩家赢得一局游戏 G(ϕ,M) 的事实还不能告诉我们任何有关句子 ϕ 的真值的信息。真与假可以用获胜策略的概念来描述。如果在刚刚描述的游戏中，玩家 2 有一个获胜策略，那么句子 (∀x)(∃y)(∀z)(∃w)R(x,y,z,w) 在 M 中为真：当给出关于对手先前动作的（指定量的）信息时，一个告诉玩家 2 该做什么的处方。从技术上讲，要求存在策略函数 f 和 g，使得对于玩家 1 的任何选择 a 和 c，R(a,f(a),c,g(a,c)) 在 M 中成立。请注意，策略函数 f 是量词 ∃y 在 ϕ 中的 Skolem 函数，同样，g 是量词 ∃w 的 Skolem 函数。如果在相应的游戏中，玩家 1 有一个获胜策略（策略函数集）：一个常数 c 和一个函数 h，使得对于玩家 2 的任何选择 b 和 d，R(c,b,h(b),d) 在 M 中不成立，则句子 ϕ 在 M 中为假。

Henkin（1961 年；参见 Hintikka 1968：64）已经提出了量词的博弈论解释。实际上，Henkin 还指出了完整的 Skolem 函数集与玩家 2 的获胜策略之间的联系。Hintikka（1968 年）指出，合取可以自然地解释为玩家 1 在两个合取项之间做出的选择；类似地，析取可以解释为玩家 2 在两个析取项之间做出的选择。[13]此外，Hintikka 建议将否定解释为“验证者”和“证伪者”角色的转换（有关详细信息，请参阅第 3.2 节）。

语义游戏的博弈论描述没有提到搜索和查找活动；对于这种抽象描述，只需说玩家采取行动就足够了。此外，将真假分别描述为玩家 2 和玩家 1 的获胜策略的存在，并不是指玩家的努力——比如努力确定真相或寻找证人。句子的真假是“组合学”的问题：它是一组具有某些属性的函数的存在问题（参见 Hintikka 1968、1996；Hodges 2013）。那么，最初的哲学概念发生了什么变化，根据这一概念，量词的意义与搜索和查找活动相关联？ Hintikka 的想法是，断言一个包含量词的句子就是在进行某种语言游戏时，对可能发生和不可能发生的情况做出断言；使用包含量词的语言需要掌握相应的语义游戏规则（Hintikka 1968：第 8 节，1996：128，2006a：538）。与句子 ∀x∃yR(x,y) 相关的这种断言的内容是什么？无论玩家 1 从 ∀x 的域中选择哪个个体，玩家 2 都可以找到 ∃y 的见证个体。换句话说，给定 ∀x 的值（它本身可以看作是玩家 1 搜索的结果），如果允许玩家 2 不受任何实际限制地进行搜索，她将找到 ∃y 的值，从而玩家 2 赢得最终的游戏。尽管语义游戏本身可以不借助于寻找或发现等活动来定义，但当语言使用者推理这些游戏时，这些活动起着重要的概念作用。

Hintikka (1973a) 率先将 GTS 应用于自然语言研究。Hintikka 和 Kulas (1983, 1985) 继续了这项工作，他们给出了否定、照应代词、属格、时态、内涵动词、某些介词结构和专有名词等项目的博弈论规则，并划出了抽象意义和战略意义之间的区别。[14]

2.2. 不完全信息

GTS 的框架允许提出关于语义评估的博弈论性质的问题。Hintikka (1973a) 观察到，设计不完全信息的语义游戏没有任何困难。他使用 FPO 句子作为逻辑示例。（有关自然语言的示例，请参阅第 5.4 节。）

从 GTS 的角度来看，独立友好的一阶逻辑与一阶逻辑的不同之处在于，与前者的公式相关的语义游戏通常是不完全信息的游戏，而与一阶公式相关的任何游戏都是完全信息的游戏。考虑在模型 M 上进行的 ∀x∃y∀z(∃w/∀x)R(x,y,z,w) 的游戏。这个游戏的玩法与对应于 ∀x∃y∀z∃wR(x,y,z,w) 的游戏的玩法完全相同。首先，玩家 1 选择个体 a，然后玩家 2 选择个体 b。然后玩家 1 继续挑选另一个个体 c，玩家 2 则选择个体 d。这样一局游戏就结束了。如果 R(a,b,c,d) 在 M 中确实成立，则玩家 2 获胜；否则玩家 1 获胜。但是 ∃w 被标记为独立于 ∀x——为什么这一事实在游戏过程中没有以任何方式显示出来？

人们可能想在游戏描述中添加以下内容：“玩家 2 在不知道 ∀x 的值的情况下为 ∃w 选择一个值。”然而，这样的解释并不能澄清概念情况。仅就单一游戏而言，谈论一步棋与其他给定动作的独立性是没有意义的；这只能针对多种游戏来做。量词独立性可以用博弈论术语来概念化，利用策略的概念。在示例中，玩家 2 的策略是策略函数集 {f,g}，函数 f 根据 ∀x 的值提供 ∃y 的值，函数 g 根据为 ∀z 选择的值（但不取决于为 ∀x 选择的值）提供 ∃w 的值。因此，当且仅当 R(a,f(a),c,g(c)) 在 M 中成立，对于为 ∀x 选择的所有值 a 和为 ∀z 选择的所有值 c，策略 {f,g} 就是玩家 2 的获胜策略。实现“玩家 2 不知道玩家 1 对 ∀x 的举动”这一想法的一种精确方法是：(a) 策略函数始终只将对手的举动作为参数，(b) 对应于 ∃w 的策略函数可能不将玩家 1 对 ∀x 的举动作为参数。

IF 一阶逻辑的句子在模型 M 中按定义是真，当且仅当相关游戏中玩家 2 有一个获胜策略时，否则为假，当且仅当相关游戏中玩家 1 有一个获胜策略时，否则为假。根据这些标准，有些句子既不是真也不是假；它们被称为不确定的（参见第 3.3 节）。

在 Hintikka 看来，量词的博弈论语义可以被认为具有与第 1 节末尾提到的 IF 一阶逻辑的最深层原因相同的原理：GTS 是一种在一阶层面上通过博弈论意义上的信息（不）依赖性来表示变量之间的（不）依赖关系的方法（Hintikka 1991：12-13，2006a：535）。

3. IF 一阶逻辑的语法和语义

在文献中，人们可以找到“IF 一阶逻辑”的本质不同表述。差异不仅限于语法——也可以找到应用不同语义思想的例子。

如前所述，Skolem 函数与玩家 2 的策略函数之间存在系统联系。与前缀形式的公式相关，存在量词的 Skolem 函数是分配给前面的全称量词的值的函数，但不是分配给前面的存在量词的值的函数。[15] Skolem 函数是策略函数，它仅以玩家 1 所采取的动作为参数。通常，双人游戏中玩家的策略可以很好地利用任一玩家之前的选择。霍奇斯 (2007) 强调，不完全信息语义基于哪种概念——Skolem 函数还是策略函数——是有区别的。霍奇斯 (1997a) 采用了这样的符号约定，即写为 (∃y/x)，而 Hintikka 写为 (∃y/∀x)，从而标志着以任意策略函数形式表述的语义游戏与策略函数实际上是 Skolem 函数的游戏之间的区别； (∃y/x) 中的变量 x 可以被任何在语法上位于前面的带有变量 x 的量词“绑定”。霍奇斯建议采用前一种表述，而在欣蒂卡 (1991、1995、1996、2002) 和桑杜 (1993、1994) 中，则采用后一种表述。霍奇斯 (2007: 119) 写道：