独立友好逻辑（四）
4.6 扩展 IF 一阶逻辑的性质
表达能力。由于 IFL 在矛盾否定下不封闭，因此 EIFL 严格来说比 IFL 更具表达能力（参见第 4.2 节）。[62] 以下属性可以在 EIFL 中表达，但不能在 IFL 中表达（Hintikka 1996：188-190）：域的有限性、二元关系的充分性、图的连通性、数学归纳原理、Bolzano-Weierstrass 定理和连续性的拓扑概念。
元逻辑属性。IFL 与 FO 共享的优秀元定理已丢失：紧致性、Löwenheim-Skolem 属性、分离定理和完整反证程序的存在性都不适用于 EIFL（Hintikka 1991：49，1996：189）。 EIFL 不可能有自应用的真值预测。这种真值预测的定义必须包含子句
(∀y)(y=⌜θ⌝ ∧x=⌜¬θ⌝→
[TRUE(x)↔¬TRUE(y)])。
但此子句不是 EIFL 的合式公式，因为 ¬ 出现在全称量词 (∀y) 的范围内（参见 Hintikka 1996：151）。
完全二阶的有效性和可满足性问题可以有效地归结为与 EIFL 有关的相应问题。也就是说，为什么不能简单地将二阶句子视为二排序的一阶句子？因为为了捕捉二阶逻辑的标准解释[63]，必须说对于每个外延可能的 1 类元素的 n 元组集合，都存在一个 2 类成员，它仅以这些元素为成员，对于所有元数 n，使得二阶句子包含量词 (∃R)，其中 R 是 n 元的。[64]现在，这些附加条件可以用 USO 句子的有限合取 X 来表示，其中 USO（通用二阶逻辑）是通过允许对一阶公式中的关系和函数符号进行通用量化而从 FO 获得的。这些 USO 句子中的每一个都可以表示为 ESO 句子的矛盾否定，因此也可以表示为 IFL 句子的矛盾否定。因此，存在一个 IFL 句子 Y，使得 X 本身在逻辑上等同于 ¬Y。这里 ¬Y 是 EIFL 的一个句子。因此，如果 ϕ 是二阶句子，而 ϕ∗ 是其在二分类一阶逻辑中的重构，则我们有： ϕ 是可满足的当且仅当 (X∧ϕ∗) 是可满足的当且仅当 (¬Y∧ϕ∗) 是可满足的。并且： ϕ 是有效的当且仅当 ϕ∗ 是 X 的逻辑结果当且仅当 (¬X∨ϕ∗) 是有效的当且仅当 (Y∨ϕ∗) 是有效的。这里，(¬Y∧ϕ∗) 和 (Y∨ϕ∗) 都是 EIFL 句子，后者甚至是 IFL 句子。由此可见，任何二阶句子的可满足性（有效性）都可以表示为 EIFL 句子的可满足性（分别是有效性）。[65]
代数结构。 EIFL 中的两个否定¬和∼在真句子和假句子上都一致：如果φ在M中为真（假），则∼φ和¬φ在M中均为假（真）。相反，如果φ在M中不确定，则∼φ也是不确定的，但¬φ为真。将两个否定的组合¬∼应用于句子φ，断言φ不为假。[66]
EIFL的命题部分涉及四个运算符¬、∼、∧和∨。当确定任何两个真值等价句子时，Hintikka (2004b) 提出了由这些运算符引起的代数结构的问题。运算符¬、∧和∨产生了布尔代数——但强否定∼为这个结构添加了什么？
仅将注意力集中在真值等价上，∼ 可从算子 ¬ 和 ¬∼ 定义。因为，∼ϕ 在 M 中为真当且仅当 ¬(¬∼ϕ) 在 M 中为真。因此，可以考虑算子 ¬∼ 而不是 ∼。Hintikka 指出，EIFL 的命题部分（以算子 ∨、∧、¬ 和 ¬∼ 的形式表示）是一个布尔代数，其算子的意义与 Jónsson & Tarski (1951) 相同。附加算子 ¬∼ 是一个闭包算子。
Jónsson 和 Tarski (1951, Thm. 3.14) 表明，任何闭包代数都同构于由具有自反和传递关系的集合构成的代数系统。[67] 事实上，相关的代数结构正是命题模态逻辑 S4 的结构。因此，EIFL 的命题部分具有与 S4 相同的代数结构。根据 Gödel (1933) 和 McKinsey & Tarski (1948) 的著名结果，直觉命题逻辑可以在 S4 中解释，通过翻译 t，当且仅当 t(ϕ) 是有效的 S4 公式时，ϕ 是直觉可证明的。因此，直觉命题逻辑可以在 EIFL 中解释。[68]
5. 哲学后果
Hintikka (2006a: 73–77) 认为以下内容是 (扩展的) IF 一阶逻辑带来的新见解的后果：在一阶水平上重建正常数学推理、对公理集合论中真概念的新视角、对否定本质的洞察以及自我应用的真值谓词的制定。一个普遍感兴趣的相关主题是自然语言中的信息独立性现象。与否定和真值可定义性相关的思想已分别在第 4.2 和 4.5 小节中讨论过。让我们在这里考虑剩余的问题。
5.1 类型层次结构中的位置
Hintikka 认为，区分一阶逻辑和高阶逻辑的唯一合理方法是参考量化变量所涵盖的实体。因此，一阶逻辑是一种所有量词都涵盖个体的逻辑，与高阶实体（例如，域的子集）相反。在此基础上，Hintikka 认为，从本质上讲，IFL 甚至 EIFL 都是一阶逻辑。[69] Solomon Feferman (2006: 457–461) 批评了 Hintikka 用于判断逻辑一阶状态的标准。 Feferman 在他的论证中使用了广义量词。[70] 涉及广义量词的公式
Q[z1]…[zk](ϕ1,…,ϕk)
在句法上是一阶的，因为量化变量 zi1,…,zini=[zi] 是一阶的（1≤i≤k）。广义量词 Q 的语义是通过将每个域 M 与 M 上的 k 元关系 QM 相关联来制定的，其中 QM⊆ Mn1×…× Mnk。例如，对于任何无限基数 κ，都有一个广义量词 Q≥κ，使得 Q≥κzP(z) 在模型 M 中为真，当且仅当至少有 κ 个元素满足谓词 P。因此，广义量词在语义上可以是高阶的。 （基数概念是高阶概念。）公式中的变量只涉及个体，这一事实并不能为逻辑的一阶状态提供可靠的标准。
Hintikka 的标准可以重新表述为，如果与该逻辑公式相关的任何语义游戏只涉及（除了解释连词和析取词的选择之外）个体的选择，而不是高阶实体的选择，则该逻辑是一阶的。根据这个标准，IFL（甚至 EIFL）是一阶逻辑，但诸如 Q≥κ 之类的广义量词的逻辑不是。[71] Feferman (2006: 461) 预计了这种答复的可能性，但认为它并不令人信服。
根据 Hintikka (1955) 的结果，决定二阶逻辑句子是否有效的问题可以有效地归结为 IFL 的有效性问题。[72] Väänänen (2001) 已经表明，IFL 的有效句子集与完整二阶逻辑的有效性集具有同样高的复杂性。[73] Väänänen (2001) 和 Feferman (2006) 得出结论，谈论 IFL 中的有效性会导致对完整二阶逻辑的强烈承诺。Hintikka (2006a: 476–477) 从相反的方向看待这些结果：对他来说，它们意味着人们确实可以用 IFL 中的有效性来谈论完整二阶逻辑中的有效性。此外，Hintikka (1997) 断言，即使是 EIFL 也是一阶逻辑。如果是这样，任何可以用 EIFL 句子的真值来表达的数学理论同样不存在集合存在的问题。
Hintikka 的立场导致了一个难题。如果 φ 是 IFL 中的一个句子，而不是任何 FO 句子的真值等价物，那么 EIFL 中的句子 ¬φ 的真值条件就无法在不借助于玩家 2 的所有策略集的情况下形成：¬φ 在模型 M 中为真当且仅当对于游戏 G(φ,M) 中玩家 2 的所有策略，玩家 1 的一系列动作使得玩家 1 赢得最终的博弈。玩家 2 的所有策略集无疑是一个高阶实体。怎么能说这里避免了对个人以外的实体的承诺呢？如果不假设给定玩家的所有策略的真正二阶思想，句子 ¬φ 的含义是否可以得到很好的理解？[74] 辛蒂卡的立场似乎不是名义主义的，而是字谜中的普遍性的变体。虽然语义游戏规则涉及对一阶对象执行的操作，但博弈集的组合属性只能用二阶项来表述。一旦为语言片段定义了游戏规则，相应的组合属性也会完全确定，其中包括标记为真和假的属性。
5.2集理论哲学
根据HITIKKA的说法，我们对量化句子φ（否定正常形式）的真相的亲近的思想是存在量子量词存在“见证个人”，通常根据对应于前面的通用量词的值。[75] 它是构成φ的真实性的这种证人的存在。 提供证人正是φ的φ函数。[76] 量化句子φ的真实性适用于φ的全套Skolem函数的存在。 在HITIKKA的观点中，我们的普通一流真理概念在（存在）二阶逻辑方面是概念化的。 当这种想法应用于公理集理论时会发生什么，说Zermelo-Fraenkel将理论与首义（ZFC）进行了理论？ 应该记住，公理集理论的概念是分配高阶逻辑; 它的潜在逻辑被认为是fo。 HITIKKA如下所说。[77]
对于ZFC的每个句子φ，ZFC的另一个句子φ* =（∃f1）...（∃fn）ψ*，直观地说，“Skolem函数”存在于存在。 这些“Skolem函数”是ZFC型号的某些人。 这里φ*和φ都是一阶句子。 但是，如果对于ZFC的每个句子φ，我们有φ和φ*逻辑上等效，为什么句子φ*不用于在ZFC本身中为ZFC制定真实谓词？ 但是，通过Tarski的不可或缺的结果，不存在这样的真理谓词。[78] 因此，在该模型中必须有一个ZFC和句子φ的模型，使得φ*是假的：并非所有的'Skolem函数'所在的所有'Skolem函数'φ*实际存在于模型中。
这种推理表明，ZFC没有完全捕获真理的想法，根据该句子φ的真实性意味着存在用于φ的Skolem函数。 此外，它还表明，ZFC不完全捕获高阶逻辑的标准解释。 要看到这一点，请注意，对于每个句子φ有一个逻辑上等效的二阶φ** =（∃f1）...（∃fn）ψ**实际上断言φ的Skolem函数的存在。 一阶φ* =（∃f1）...（∃fn）ψ*不得与二阶句φ** =（∃f1）...（∃fn）ψ**混淆。 其中句子φ**讲话的Skolem功能是由设定理论宇宙的个人构建的，而“天花掌函数”φ*是个体。[79]
HITIKKA的论点的结论是我们普通的真理概念是由ZFC歪曲的。 此外，通过Tarski的不可或缺的结果，通过向ZFC添加其他公理来不能改善情况。 在HITIKKA的判断中，公理集理论是一种系统但徒劳的尝试，以捕获标准解释的二阶逻辑的一阶级真理。 与哥德尔（1947年）一样，HINTIKKA也认为，陈述所需的概念，说，连续的假设是充分定义的，以确定该猜想的真实价值。 连续体假设不会从ZFC中留下它的含义。 哥德尔和HITIKKA同意，由于Gödel自己和Paul Cohen的独立性结果并不是由他们自己表现出关于连续假设的真相或虚假的任何东西。 但与哥德尔不同，HITIKKA在ZFC（或其任何延伸中）发现任何猜想的衍生能力，无论是对猜想的真相无关紧要。 对于HITIKKA，它是一个“组合”问题，无论真实的每个无限子集是可数还是具有所有实体集合的基数 - 一个问题在二阶逻辑中正确概念化。 这是HITIKKA所采用的是连续假设的真实性感，并且没有被ZFC捕获。[80]
5.3延长一阶逻辑和数学理论
HITIKKA看到EIFL允许在一阶级重建所有正常的数学推理。 这一结果基本上取决于HITIKKA声明的可接受性，即EIFL仅在本体学上致力于个人（stafect。5.1）。 但是，EIFL如何用于重建所有数学推理的重要部分？
HITIKKA（1996：194-210）分别讨论数学理论（或数学公理）和数学问题（或逻辑后果的问题）。
任何高阶数学理论T都会产生多次排序的一阶理论T *。 如果理论是有限的，则在eifl中制定了有限的结合J - 相当于USO的句子，因此相当于对ESO句子的矛盾否定，因此相当于IFL句子的矛盾否定 - 表达了IFL句子的矛盾否定要求尊重高阶逻辑的标准解释。 因此，高阶理论T的真实问题因此减少到EIFL的句子（j∧t*）的真实性（CF. stenect.4.6）。
给定句子C是否是有限高阶理论T的逻辑后果的数学问题与二阶句子（¬（j∧t*）∨c*）有效的问题一致。 回顾IFL的句子χ，使得j等同于¬χ，因此¬（j∧t*）相当于IFL的句子。 因此，IFL的句子是有效的IFF句子（¬（jət*）∨c*）有效（cf. stenect。4.6）。 数学问题可以被理解为IFL句子的有效性问题。 因此，使用IFL的数学问题是使用IFL来说是连续的假设，Goldbach的猜想，Souslin的猜想，存在一个无法进入的红衣主教，以及可测量的红衣主教的存在。[81]
由于显然超越了所提出的框架 - 在高阶逻辑中不可以表达 - HINTIKKA考虑大卫希尔伯特的所谓完整性的所谓公理表达的最大秩序。 Axiom表示，没有违反其他公理的未经违反其他公理，没有数学对象。[82]
如果在EIFL（HITIKKA 1997）中避免了与所有子集的想法有关的问题，则提供一种捍卫某种形式逻辑的方法。 与历史逻辑主义不同，这个想法是在与数学公理系统（HINTIKKA 1996：183），[83]中的同一水平上的逻辑作为公理系统，并试图将数学减少到逻辑。 相反，HITIKKA（1996：184）建议问：（a）可以以逻辑术语定义关键的数学概念吗？ （b）可以以逻辑术语表达数学中使用的语义有效逻辑推论的模式吗？ 这些想法不是专注于逻辑的演绎规则：无论如何，无论如何都没有完整的扣除规则。 由于高阶逻辑的状态可能是可疑的 - 由于与Powerset的概念相关的问题 - 问题（a）和（b）呼叫比fo更强大的一阶逻辑的正解。
建议减少以高阶逻辑表达到一阶级的所有数学将是哲学上的重要意义，在表明数学不是对一般概念的研究，而是由细节组成的结构（HINTIKKA 1996：207）。 这并不是说实际的数学是最能在IFL中进行的，只有它原则上可能是如此开展（HITIKKA 1996：205,2006A：477）。 对于HITIKKA的结论，参见Väänänen（2001），Feferman（2006）和Bazzoni（2015年）的结论。
5.4自然语言的信息独立性
当HITIKKA开始将GTS应用于自然语言（HINTIKKA 1973A）的研究时，他占据了分支量子在自然语言中发生的问题。 他被导致询问是否有具有不完美信息的语义游戏。 他检测了各种类型的英语语法结构，涉及信息独立。[84] 经常被引用的例子是句子
每个村民的一些亲戚以及每个镇上的一些亲戚都互相讨厌，
当每个城镇人类的相对选择的相关阅读时，可以独立于为“每个村民的个人”。[85] hintikka（1973a）勾勒出一个实际上每个fpo句子的效果的效果作为表示英语句子。 从这一点来看，惯例英语量子的逻辑比fo强大，并且没有有效的程序将句子分类为分析或非分析，同义词或非族。[86] 这将是一种非常重要的结果，表明句法方法甚至是原则上的语言理论中的不足。 JON BARWALE（1979）建议，可以根据广义量词给出支持HINTIKKA论文的特别说服的例子。
Lauri Carlson和Alice Ter Meulen（1979）是第一个观察量词与海拔经营者之间的信息独立案件。 考虑问题[87]
每个人都欣赏谁？
在其读数之一下，这个问题的预设是（∀x）（∃y）钦佩（x，y）。 这个问题的司法是
我知道每个人都羡慕谁。
为'我知道的'ki'写'ki'[88]冒失者有一种逻辑形式的阅读
