机会与随机性（二）_数学联邦政治世界观

2.随机性

如引言所提到的，一些哲学家故意使用“随机”表示“Chancy”。在他们的看法中，随机过程是在前一节的意义上偶然受到的。这会产生这样一个规定的定义：

我随机或素质随机组合，采取随机的过程，成为一个不能完全复杂或随意运作，而是符合随机或概率法。（议员1986：137）

如果有点冗余，这种过程的概念是完全合法的。但这是为了我们的目的是足够的。它使得普遍的论文是一种琐碎性，因此本身既不有趣也不能够支持一些有关的结论，其中一些已经从涉及解释或实验设计中汲取的结论。此外，

调用过程随机性的概念以另一种方式不足，因为它不会涵盖所有随机性病例。采取明确的过程随机性，如一千个连续抛弃公平硬币。我们希望非常高兴地折腾至少一个头。但由于该结果有一些机会不会来通过，因此即使它也是随机的过程。这与我们通常会说出这种结果的差异，这并不是所有意外，随意或不可预测的。我们可以搜索一些改进过程随机性的概念，以便为更不规则的寻常结果保留“随机”这个词。但是更好的方法，以及我们在本条目中追求的方法是区分生成结果的过程的随机性（我们规定的是其是其是一个机会过程），以及该随机过程的产品的随机性。在刚刚设想的情况下，我们有一个随机的过程，而1000次掷骰子的外部'至少是一个随机的产品。

产品随机性的引入有助于我们对“随机”的一些熟悉的用途感到意识，以表征给定重复过程的整个结果集合。这是随机样本是随机的意义：它是绘制它的群体的不偏不倚的表示 - 并且是整个样本的属性，而不是每个单独的成员。如果随机样本是执行其工作，它应该是不规则和随之而异的感兴趣的群体变量。我们不应该通过利用人口中的其他一些个人特征来预测采样的成员到任何程度的可靠性。（所以我们不应该能够通过使用“超过180厘米”的一些功能来猜测随机样本的可能会员资格。）随机样本是一种代表在绘制它的底层人口的典型人口的意义上，这意味着依次意味着它的理想案例 - 它不会表现出在底层人口中不列举的顺序或模式。

虽然将使用随机过程绘制许多随机样本，但是它们不需要。例如，如果我们被防火得以相信，某人分钟的最终数字与他们的家庭收入无关，我们可以通过选择“7”中的出生一分钟结束的那些，以及选择的过程并非随机地绘制一个随机的人收入样本。为了确保我们的样本是随机的，我们可能希望使用随机数来决定是否在样本中包含给定的个人; 为此，已经生产了大表，无序显示，无订单或模式（Rand Corporation 1955）。这种随机性的其他概念，主要是将结果的收集附加，已被称为随机性。

产品随机性也在科学推论中起着重要作用。假设我们遇到了一种新颖的现象，并试图给出它的理论。我们必须首先是关于发生的事情的数据。如果该数据高度规则和图案，我们可能会尝试提供现象的确定性理论。但是，如果数据不规则而且无序 - 随机，我们只能提供随机理论。由于我们不能依赖于如何在开发它的理论的情况下，能够表征数据是否随意，而不是通过先前了解其后面的过程的情况来表征这一现象是素质的。我们可能会认为我们可以通过审查数据来简单地进行这一点 - 肯定缺乏模式对观察者来说是显而易见的？（我们可能认为无缝的是随机性的好的证据，即使没有被它留下）。）然而，心理研究一再表明，人类在辨别模式中糟糕，在完全随机数据中看到它们，并且（实际上是相同的原因）未能看到它们在非随机数据（Gilovich等，1985; Kahneman和Tversky，1972; Bar-Hillel和Wagenaar，1991; Hahn和Warren，2009）。因此，对于可靠的科学推论，需要对一系列结果进行随机性的目标。

它似乎最初的是，对紊乱和无缝化的严谨性表征是一种绝望的任务，使我们需要更加困难，因为我们需要在不使用机会概念的情况下表征它。（否则我们使CT微不足道。）然而，在20世纪70年代早期，算法随机性理论中的一系列数学发展，表明，可能的令人满意的表征一系列结果的随机性。这一概念不仅在统计学和科学推论的基础上表现出理论丰富的成果，而且还与信息理论和复杂性理论的发展有关。本节的任务是介绍随机序列定义的数学方法，就像我们在上一节中介绍了机会的哲学共识一样。然后，我们将在一个职位来评估常见的论点，当使用理论上富有成效的机会和随机性概念进行了精确时。

哲学随机性的迷人数学主要是哲学家的未知。出于这个原因，我将在此条目中进行相当详细的阐述。该补充文件已降级各种技术兴趣点：

补充B.关于算法随机性的进一步细节

大多数证据将被跳过，或降级到本补充文件：

补充C.选定定理的证明

可以在引用的参考文献中找到更全面的讨论。

在整个焦点中将在一个简单的二进制进程上，它只有两种类型的结果o = {0,1}。（对于这种简单的过程的结果序列的随机性理论可以扩展到更复杂的结果集，但即使在其中二进制序列是随机的问题的问题中，也有很多兴趣？）一系列结果是订购的事件，有限或无限的序列集合，这样，每个事件都是O.所以序列x = x1x2 ...... xk ...，每个xi∈o。所有无限二进制序列的结果被称为唱片空间。一个熟悉的过程的一个熟悉的例子，其形成唱片空间的结果是公平硬币的独立翻转的无限序列，其中1表示头部和0个尾部。测量理论和可计算理论的概念在下面的讨论中使用; 可以在补充B.2中找到所需数学的基本呈现。

2.1产品随机性：随机序列很可能

也许是违反直觉的，我们从无限二进制序列的情况开始。哪一个应该算作我们二进制过程的随机产品？每种单独的无限序列，无论是有序的，无论是有序的，都在标准（Lebesgue）测量范围内测量零。我们无法确定单个序列是否是随机的，考虑到所有此类序列的集合的分数是什么。但是，直观地，几乎所有这样的无限序列都应该是随机的和无序的，只有少数人只有很好的（由于1939年的Ville第一次观察）。典型的无限序列是一个没有图案的无限序列; 只有特殊情况才有订单。如果生成序列的实际过程是完全确定性的，则可能是该过程的典型产品不是随机的。但我们仍然迫切需要表征任何过程所产生的所有可能序列中的哪些是随机的，并且似乎很明显，大多数方式可能产生无限序列，因此大多数所生产的序列都会随机。这适合直观的考虑因素：

我们在我们的思想中安排，各种课程中的所有可能事件; 我们认为那些包括非常少数的课程。在头部和尾巴的游戏中，如果头部连续百次出现百次，那么这似乎是非凡的，因为在一百次投掷中可能出现的几乎无限数量的组合被划分为常规序列，或者我们观察到简单的规则掌握和不规则的序列，这是不可相同的。（拉普拉斯1826）

这种肥沃的讲话强调了随机序列应该是不守的，并且他们应该是常见的。在本框架中：相应地，该组非随机序列应测量为零，与所有此类序列的集成相应地，该组随机序列应该有一个（Dasgupta，2011：§3; Gaifman和Snir，1982：534;威廉姆斯，2008：407-11）。

这有助于，但并不多。对于许多符号的符号的一个子集，我们需要一些非任意方式来选择特权这些子集。（采取自然选项，要采取所有测量一个子集，失败，因为任何特定序列的单例的补充是测量一个，所以对于每个序列，有一个测量一个集合，排除了一个集合;因此，所有测量的一个集合都不包括每个序列，所以是空的集。）通常的响应是将随机序列带到所有测量具有“漂亮”属性的空间的一个子集的交叉点，并提供一些属性的属性划分为“尼斯”，以及为什么。

例如，如果序列是真正随机的，我们应该期望长期运行，它倾向于拥有我们与chancy过程的（独立，相同的分布试验）的输出相关联的功能。序列应该看起来像它是真正的机会的预期产品一样无序。这种方法是相应的，作为随机性的典型方法。通常对先前概率函数定义典型程度，因为什么是典型的一系列公平硬币折叠结果可能不是典型的不公平硬币折叠成果（鹰2016：447）。在本案中，我们使用Lebesgue措施，因为它是从二进制过程本身的结果空间的对称可定义的自然措施。

典型的序列应该满足所有的各种“瞬间属性”（Martin-löf1966：604）。这些属性是什么？它们包括大数字的属性，要求随机序列中的数字的极限频率不应偏置到任何特定的数字。（强）的大数法则是索赔，概率1，无限序列独立，相同分布的伯努利试验将具有大量的财产。如果我们专注于何种成果的序列，而是考虑到数学实体，而不是作为大量独立伯努利试验的产品，我们可以遵循Borel的（1909）的强烈法律表征。让sn（x）是序列x的第一个地方发生的1s的数量（这只是σ

k = 1

XK），让B是无限序列x的集，使得Sn（x）/ n的极限倾向于无穷大

。 Borel的定理是B有一个; 在限制中，几乎所有无限序列都不偏向数字频率。

显然，大数字的性质是序列随机性的必要条件。然而，这是不够的。考虑序列10101010 ...... 该序列没有偏见。但它明显不是随意的，因为它以完全常规和可预测的方式发展。所以我们需要强加额外的限制。这些约束中的每一个都将是随机序列的另一个性能，包括随机序列，包括“无偏见”的所有其他此类限制属性。

一个这样的物质是硼钢正常性，也通过硼尔定义在该纸中。序列是Borel Irmal IFF的每个有限的相等长度的数字串在序列中具有相等的频率。[6] Borel证明了唱名空间中的一组序列是正常的硼。硼鲁正常是施加随机序列的有用条件，因为它的结果是序列不会有可预测的模式：对于序列中多次出现的任何字符串σ，它将通常接下来是一个0.根据基于的可预测性序列的先前元素是真正随机性所必需的。但是，Borel Reality不足以随机性。 ampernowne序列（Champernowne 1933）是每个连续的非负整数的二进制表示中的数字序列：

011011100101110111 ...

这是BoRel正常，但完全可预测的，因为存在一般性的法律，其陈述了每个索引处的序列的值是什么，因为它可以从序列的先前元素预测，但是因为可以从索引预测它。

我们必须强加另一个条件以排除倒数新序列。我们可以进行零碎，响应各种问题情况，以依次引入进一步的随机性质，每个性能是随机性的必要条件，最终希望通过将其汇集在一起来赋予随机序列的表征。鉴于唱名空间的复杂结构，这种累积方法成功的前景似乎很暗淡。一个更有前途的更大胆的路线是提供一种随机性的随机性质，这本身就是必要的，充分的随机性，其拥有将需要拥有我们所提到的其他物业（大数，Borel正常性等的财产）。

2.1.1随机性和赌博系统 - von mises的帐户

第一个详细和复杂的尝试以更大胆的方法来定义具有单个随机性质的序列的随机性是由Von Mises（Von Mises，1957; Von Mises，1941）。假设您以任何后续x1，...，xn-1呈现（不一定是连续的成员）序列，并要求预测xn的值。如果序列真的是随机的，那么这个信息 - 序列的任何先前成员的值，以及序列中所需结果的位置 - 在此任务中应该对您无用。要假设是假设随机序列中存在可利用规则; 例如，赌徒可以可靠地下注他们的首选结果，并确保如果他们拥有此信息，请确保正期预期收益。赌博系统在一系列结果中选择点以下注; 一个成功的赌博系统将是所选择的点具有比整个序列更高的“成功”频率的点，因此通过使用系统可以预期比机会更好。但赌博系统失败的机会游戏中的进展表明，真正随机的结果序列并不是如此可利用。 Von Mises，观察成功赌博系统的经验不存在，使其成为无限序列随机性的条件，即它们无法被赌博系统（他的'Prinzip Vom AusgesChlossenen Spielsystem'））。这个想法是没有有效地增加了晶体球的东西，没有办法选择随机序列的偏置选择。

根据过去的结果选择结果的非必要呈现装置的潮流，von ices争辩说，随机序列不应该是关于任何初始随后x1x2的信息，这是关于xk-1的信息提供有关的信息结果XK的内容。他通过将位置选择定义为“部分序列的选择”方式来正式实现这个想法，以便我们决定元素是否应在不使用元素的[值]的情况下（Vonmmes 1957：25）而不包括元素的方式。然后，他将随机序列定义为一个，使得由可允许的地方选择选择的每个无限子项都保留了与原始序列中相同的相对位频率（所以一个人不能选择偏置的子序列，表明这是瞬间的真正属性）。在我们的情况下，这将意味着每种可准确选择的子序列将符合大数字的属性，相同的频率为1s和0s。[7] 表征由此产生的VON MISES-随机（VM-WANDOW）序列的一种方法是它是仅包含具有右限频频率的无限序列的最大集合，并在所有可允许的地方选择关闭。如果数字的极限频率为1，则在序列111中进行说，确实每个可允许的地方选择都确定具有相同限制频率的子序列。 Von Mises打算这一结果，因为这是获得结果1的概率1的试验结果的随机序列。然而，该序列不符合大数字的属性。因此，我们修改了VOMES自己的条件，将VM-随机序列定义为具有极限频率的最大无限序列集

，并在所有可接受的地方选择下关闭。

von mises的原始提案是故意对允许的地方选择的程序算是什么类型的程序。这种不切实际并不关心他，因为他被配置为将任何特定随机集体的“右”的地方选择，因为通过上下文修复，而不是不可思议的可判定。但他的明确表征是受到反例的影响。由于'任何增加的自然数N1 <n2 <...定义了相应的选择规则，...给定0s和1s的任意序列......在选择规则中，选择给定序列的1s的一个，因此限制频率改变'（Martin-löf1969B：27）。这显然违反了von遗嘱的意图，因为他可能是建立建设性地指定地点选择，但VM-rantwness的概念仍然没有一些具体规格的情况。

这样的规格抵达教会（1940年）的工作，绘制了当时的新澄清的有效手术的概念。教会观察到这一点

对于在轮盘赌来击败车轮的球员中，系统无法使用，这对应于已知的数学函数，但没有通过显式定义给出; 甚至显式定义也没有使用，除非它提供了计算函数的特定值的方法。 ...因此应该在数学上表示[赌博系统]，而不是作为函数的函数，而是作为函数的定义，而是作为计算函数的值的有效算法。（教堂1940：133）

因此，教会强加了可允许的地方选择的条件，而不是任意功能，而是在序列中有效地计算前后结果的功能。正式地，我们考虑（沃尔德1938之后）从序列σ的初始段x1x2 ... xi-1中作为函数f的地方选择，使得所选的后续σ'= {xi：f（x1 ... xi -1）= 1}，教会的提议是我们只承认那些可计算（总递归）功能的地方选择。[8] 教会的提案同样适用于序列vonmiss关注的，即每种结果的任意非零结果频率的序列; 为了获得随机序列，我们再次对每个结果的极限相对频率的正常二进制序列进行限制

（这些有时被称为教堂随机序列）。

正如教会指出的那样，如果我们采用教会将可计算的函数作为可接受的地方选择，则迅速遵循即可允许的地方选择是无穷无尽的。然后我们可以显示：

定理1（Doob-Wald）。该组随机序列形成唱结空间的一个子集。

[证明]

因此，von mises对随机性的概念是在数学上强壮的（Martin-löf1969b）。我们可以从这个特征中看到随机性的各种属性。例如，我们可以显示：

推论1.每个von误序列都是硼尔正常的。

[证明]

然而，根据Ville的定理破坏了这种基于无可污染的随机性方法的成功（1939年）：

定理2（Ville）。对于任何可计数的位置选择{φn}（包括身份），存在无限二进制序列x，使得：

对于所有m，limm→∞（σ

是

k = 1