Principia Mathematica的符号（四）
q
p
{xqy.≡x，y.ypx}
{⟨q，p⟩|∀x∀y（qxy≡pyx）}
˘
r
（r的匡威）[* 31·02]
x
z
（zrx）
{⟨x，z⟩|rzx}
* 32引用和给定术语的Relata
→
r
'y。（y的r-diredersors [* 32·01]
x
（xry）
{x|rxy}
←
r
'x。（x的r-chinialors [* 32·02]
z
（xrz）
{z|rxz}
* 33个域名和关系领域
d'r。（R）的域名[* 33·01]
x
{（∃y）.xry}
{x ||}也：d'r
d'r。（r）的逆域（范围）[* 33·02]
z
{（∃x）.xrz}
{z| xxrxz}也是r'r
c'r。（R）的领域[* 33·03]
x
{（∃y）：xry.∨.yrx}
{xx|∃y（rxyəryx）}也是f'r
* 34两个关系的相对产物
r ..（R和S的相对份数）[* 34·01]
x
z
{（∃y）.xry.ysz}
r∘s或{⟨x，z⟩|∃y|z⟩|∃y（rxy＆syz）}
* 35个有限的域和匡威域
α↿r。（限制R至α的域）[* 35·01]
x
y
[x∈α.xry]
{⟨x，y⟩|x∈α＆rxy}
r↾β。（限制R至β的范围）[* 35·02]
x
y
[xry.y∈β]
{⟨x，y⟩|rxy＆y∈β}
αβ。（α的成员与β的成员的关系）[* 35·02]。
x
y
[x∈α.y∈β]
{⟨x，y⟩|x∈α＆y∈β}，α和β的笛卡尔级产物。
* 36与有限的领域的关系
p↾⇂α。（限制R至α）[* 36·01]
α↿p↾α
{⟨x，y⟩|x∈α＆y∈α＆rxy}
* 37多个描述性功能
r''β。（具有β的关系的关系r的术语）[* 37·01] *
x
{（∃y）.y∈β.xry}
{x|∃y（y∈β＆rxy）}
r∈。（当α时α对β的关系是α的术语的术语）[* 37·02]
α
β
（α=r''β）
{⟨α，β⟩|x∈α＆∃z（y∈z＆z∈β＆ryz）}
* 38双描述功能。 PM使用Metal语言变量“♀”，可以由个人，类或关系之间的任何关系中的任何关系所取代，这些关系被视为他们参数的操作。 交叉点的操作可以表示为其第一参数的更高阶函数。 因此∩β'α=α∩β。
♀y（对于任何x的x♀y到x的关系）[* 38·02]
u
x
（u =x♀y）
{⟨u，x⟩|u=x♀y}
此概念将在以后使用。 具有相对产品概念的示例是实例，因此：
'r。（R到下一个力量的关系）[* 38·02]
p
s
（p = r|s）
{⟨p，s⟩|p=r∘s}
α♀,,y。（当x为α时，xy的值的类别[* 38·03]
♀y“α
{u|∃x（x∈α＆u =x♀y）}
S'κ。（κ的总和或联盟）[* 40·02]
x
{（∃α）.α∈κ.x∈α}
∪κ，或{x |β（βκ＆x∈β）}
˙
s
'λ。（λ中关系的总和[* 41·02]
x
y
{（∃r）.r∈λ.xry}
{⟨x，y⟩|∃r（r∈λ＆rxy）}
11.扩散到红衣主教算术（第二部分）
当代哲学家将考虑到数学的过渡，从集合理论（或者太大而无法设置的类），但在PM也是数学逻辑的一部分。 因此，算术的ProLegoMena在明确算术概念，基数1和2的逻辑方面开始了定义。
我。（身份的关系）[* 50·01]
我=
x
y
（x = y）
{⟨x，y⟩|x= y}
j。（多样性关系）[* 50·02]
我=
˙
-
一世
{⟨x，y⟩|x≠y}
ι'x。（单位类x）由定义定义定义[* 51·1]定义[* 51·01]
y
（y = x）
{Y |Y = X}（Singleton X）
1。（基数1）[* 52·01]
α
{（∃x）.α=ι'x}
{α|α|∃x（α= {x}）}（所有单例的类）
可变X通常在此模糊，因此X可以假设的每种类型将是一个不同的数字1。
这也适用于2，以及所有自然数，我们将在下面看到。
2。（基数2）[* 54·02]
α
{（∃x，y）.x≠y.α=ι'x∪ι'y}
{α|∃y∃z（y≠z＆α= {y}∪{z}）}（所有对的类）
x↓y。（序数x和y）[* 55·01]
ι'x↑ι'y
⟨x，y⟩（有序对⟨x，y⟩）
Parlyback销售版本的Principia Mathematica至* 56只会才能实现这一目标，因此剩余的定义仅适用于获得全部三大PM的人员。 Russell在这一点上没有决定结束1962年的删节版，但选择是可以理解的。 在这里，当代设定理论开始看起来与PM更不同。 设定理论跟随Norbert Wiener（1914）通过代表与订购对组的关系，自己定义为集合。 （Wiener的⟨x，y⟩= DF {{{x}，∅}，{{y}}一般被Kuratowski更简单换算{{x}，{x，y}}）。 剩余的PM审查了导致自然和实数的数学的关系的结构，以及可以在类型理论中进行的经细制组理论的一部分。 这看起来与在公理集理论中的这些概念的发展非常不同。
cl'α。（α的亚类类别[* 60·12]
β
（β⊂α）}
℘α，α，{x |x⊆α的电源集
CLEX'α。（α的存在子类的类）[* 60·13]
β
（β⊂α.∃！β）}
{x |x⊆α＆x≠∅}
rl'p。（P）的子关系类[* 61·12]
r
{r⊂⋅p}
{r|∀x∀y（⟨x，y⟩∈r⊃⟨x，y⟩∈p）}
∈。（课程中的成员关系）[* 62·01]
x
α
（x∈α）
{⟨x，y⟩|x∈y}
* 63相对类型的类。 PM中类型理论允许表达不同类型类的表达式。 设立理论与PM课程理论之间的差距来自缺乏任何类型的累积类别的累积理论。 这些PM系统允许个人之间的关系定义，说出个人和个人的阶层。 这些是在第III卷中比率类别的实际数字的账户中所需要的。
t'x。（X是成员的类型）[* 63·01]
ι'x∪-ι'x
{x}∪{y|y∉{x}}
T0'α。（包含α的类型）[* 63·02]
α∪-α
α∪{x|x∉α}
T1'κ。（下面的类型在其中包含κ）[* 63·03]
t0's'κ
∪【∪{α|α∈κ}，{β|β∉∪{α|α∈κ}}}
T11'α。（T1'α的类型成对类型）[* 64·022]
t'（t1'α↑t1'α）
一对给定类型的类型的类型将与这些类的类相同。 此定义是在它所代表的情况下，但在当代表示法中写出非常复杂。 我们将其作为读者作为一个公开问题设计简明公式制定。
α→β。（α和β中α中引用的关系（β）（从α到β）[* 70·01]
r
（
→
r
“德r⊂α。
←
r
“德r⊂β）
{r|∀x∀y（rxy⊃[{z|rxz}∈α＆{u|rxu}∈β}]}
由于1是单身类别的类，（1→1）将是一到一个（调全）关系的类。
α
¯
sm
β（α和β之间的相似关系类[* 73·03]
{r|r∈1→1.α=德r.β=德r}
{f|f：α
1-1
⟶
β}
SM。（相似关系）[* 73·02]
α
β
（∃！α
¯
sm
β）
α≈β
* 80选择。 类κ的选择功能是使κ的每个元素x的函数f是x的成员。 这些由∈δ'κ表示。 两类αxβ产品的基数是从α和β中选择的所有成员的类的基数，因此保证这些选择存在于PM中的乘法公理。 这现在被称为首选的公理，已被识别为1904年的Ernst Zermelo所用方法中的证据。在PM中，它被定义为断言，如果κ是一组互斥的非空类，那么然后存在包含κ的每个元素的一个成员的类μ。
∈δ'κ。（选择性关系∈）[* 80·01]
（1→顺式）∩rl'∈∩
←
d
'κ
{f|∀α（α∈κ⊃f（α）∈α）}
cls2不包括。（互相类别类别）[* 84·01]
κ
（α，β∈κ.α≠β.⊃α，β.α∩β=λ）
{κ|∀α∀β（α，β∈κ与α≠β⊃α∩β=∅）}
cls ex2不包括。（互斥非空类的类）[* 84·03]
cls2excl-
←
∈
'λ
{κ|κ|∀α（ανκάα≠∅）＆∀α∀β[ανκ＆βίκί（α=β∨α∩β=∅）]}
MULT AX。（乘法公理）[* 88·03]
κεclsex2excl.⊃κ：（∃μ）：αεκ.⊃α.μ∩αε1
∀κ{[ανκ1α≠∅）＆ανβ（ανκ＆βχκ1（α=βίανβ=∅）]]∃μ∀α∃x（α∈κ⊃μ∩α= {x}）}
* 90归纳关系。 卷的结束部分我呈现了基于数学诱导原则的自然数的结构的概括。
r *（R）的祖先[* 90·01]
x
y
{x∈c'r：
˘
r
“μ⊂μ.x∈μ.⊃μ.y∈μ}
{⟨x，y⟩|x∈f'ry⟩|x∈f'r＆∀μ[∀z∀w[（z∈μ＆Rzw）⊃w∈μ]⊃y∈μ]}
现在写的r *这跟随弗雷格的定义：y在所有包含x的r-heredity类中。
rts。（r和r的关系与n＞0，i.，r（= r1），r2 r3等的rn之间的关系。）[* 91·02]
（|r）*
{⟨p，s⟩|p= rn＆s = rn + 1}
锅里'r。（正权力，即r）[* 91·03]
→
r
ts'r
{s|∃n＞0（s = rn）}
RPO。（r的正电源的结合）[* 91·05]
˙
s
'pot'r
{⟨x，y⟩|∃s∃n＞0（s = rn＆sxy）}
xb'p。（x开始关系p）[* 93·01]
x∈d'p-d'p
{x|∃ypxy＆~∃zpzx}
xminp'α。（X是关于P）的最小成员[* 93·02]
x∈α∩c'p-
˘
p
''α
x∈α＆x∈fp＆~∃z（pzx＆z∈α）
↔
r
'x。（r，祖先和后者的家庭）[* 97·01]
→
r
'x∪（ι'x∩c'r）∪
←
r
'x
{y|rxy∨（y = x＆x∈f'r）∨rxy}
12.基本算术（第III部分）
在第II卷开始时，Principia Mathematica最终开始在弗雷格罗罗素的数量定义为基本的数量，作为班名级别的班级。
NC。（类与其基数之间的关系）[* 100·01]
→
sm
{⟨α，β⟩|β= {γ|γ≈α}}
NC。（基数）[* 100·02]
德nc
{α|∃β（α= {γ|γ≈β}}
0。（基数0）[* 101·01]
0 =nc'λ
{∅}
所有课程的类别与空集中的班级只是包含空集的单身。
n0c'α。（α的均质基团）[* 103·01]
nc'α∩t'α
{β|β≈αa}与α的β相同
N0C。（均质红衣主教）[* 103·02]
德n0c
{α|∃β（α为β的均质红衣主教）}
α+β。（α和β的算术和）[* 110·01]
↓（λ∩β）“ι”α∪（λ∩α）↓“ι”β
这是通过将β与{β}的每个元素与α}的每个元素与α}和α的每个元素配对之后α和β的结合。 类α和β与空类，λ相交，以调整总和的元素的类型。
{⟨{一个}，∅⟩|a∈α}∪{∅，{b}⟩|b∈β}
μ+cν。（μ和ν的主要总和[* 110·02]
ξ
{（∃α，β）.μ=n0c'α.ν=n0c'β.ξsm（α+β）}
基本加法是均匀红衣主教的算术和：
{γβανβ[γ≈（α+β）]}当α和β是均匀的红衣主教时。
读者现在可以欣赏为什么没有证明这个小学定理，直到PM卷II的第83页：
1 + c1 = 2
白头和罗素备注的是“上述命题偶尔有用。 它至少使用三次，......“。 这个笑话提醒我们，自然数字理论，如此繁荣的作品，似乎是PM作为基本和序数一般理论的特殊情况，甚至更一般的同构阶级。
β×α。（类产品）[* 113·02]
s'α↓,,''β
{⟨x，y⟩|x∈β＆y∈α}
μ×cν。（均匀基数的产物）[* 113·03]
ξ
{（∃α，β）.μ=n0c'α.ν=n0c'β.ξsm（α×β）}
如果μ=
ˉ
ˉ
α
＆ν=
ˉ
ˉ
β
然后μ×ν= {β|β≈（α×β）}
αexpβ。（课程的指数）[* 116·01]
刺激'α，'β
{f|df =β＆rf⊆α}
μν。（基数的指数）[* 116·02]
γ
{（∃α，β）.μ=n0c'α.ν=N0C'β.γSM（αexpβ）}
{γ|∃α∃β（μ=
ˉ
ˉ
α
＆ν=
ˉ
ˉ
β
＆γ≈αβ）}
以下定理，α的电源组的基数为2升至α基数的功率，
¯
¯
℘α
= 2
ˉ
ˉ
α
，被称为“克兰特的命题”，据说是“非常有用”（PM II，140）：
nc'cl'α=2nc'α
接下来，大于任意红衣主教，有限和无限的概念。 在α的α的子集中具有β的α的子集，基数α的基数大于β的基数，但没有α的β的子集。 陈克斯着名的“对角论”表明，基本数量的实数ℵc大于χ0，基本数量的自然数。
μ＞ν。（大于）[* 117·01]
（∃α，β）.μ=n0c'α.ν=n0c'β.∃！cl'α∩nc'β.~∃！cl'β∩nc'α
∃δ（δ∈℘α＆δ∈
ˉ
ˉ
β
）和~∃γ（γ∈℘β＆γ∈
ˉ
ˉ
α
）
Cantor的定理越熟悉的结果，证明了α的电源集是严格较大的，2
ˉ
ˉ
α
＞
ˉ
ˉ
α
。
μ∈n0c.⊃.2μ＞μ
NC Induct。（归纳红衣主教）[* 120·01]
α
{α（+ c1）* 0}
{x|0s * x}
归纳红衣主教是“自然数”，即0和所有由“继承关系关系”的0的基数，其中XSY在y = x + 1的情况下。
infin斧头。（无限远的公理）[* 120·03]
α∈ncinduct.⊃α.∃！α
∀α（α∈{x|0s * x}⊃α≠∅）
Infinity的公理断言所有归纳红衣主教都是非空的。 （再次召回0 = {∅}，所以0不是空的。）无穷大的公理不是一个“原始命题”，而是被列为使用的“假设”，而是作为条件的前所未有的“假设”据说取决于公理。 从技术上讲，它不是PM的公理，如[* 120·03]是一个定义，所以这只是PM的进一步符号！
Prog。（进展，或Ω订单）[* 122·01]
（1→1）∩
r
（德r =
←
r *
''b'r）
{R |r是祖先的同构，域的每个子集具有第一个元素。 }
“通过”进展“，我们的意思是一个系列，就像幅度的归型红衣主教的系列（假设存在所有归纳红衣主教）即一个系列，其术语可以称为1R，2R，3R，......νr，......。 将进度定义为一个系列的级数与电感红衣主教的系列相似，这两者都是因为这种定义仅适用于无限远的公理，因为我们在任何情况下都显示（假设无限的公理）该系列归纳红衣主教具有一定的属性，可用于提供直接定义进展。“ （PM II，245）
