Principia Mathematica的符号（五）
ℵ0。（Cantor的Transfinite Cardinals的最小）[* 123·01]
德“进展
ˉ
ˉ
ω
13.关系算术（第四部分）
关系数的概念，是对任意关系的顺序概念的概念。 正如在PM作为一类同等的类别中定义的基本号，任意关系数量是一类属性相似的关系。
s; q。（S是Q的相关器）[* 150·01]
s|q|
˘
s
s∘q∘s-1
p
¯
smor
q。（P和Q之间的相似之类）[* 151·01]
s
{s∈1→1.c'q =德s.p = s; q}
{f|fp
1-1
⟶
fq＆∀x∀y[（x∈df）⊃pxy≡qf（x）f（y）]}
p smor q。（P是普通的与Q）[* 151·02]
{⟨p，q⟩|∃！p
¯
smor
q}
p≅q（p是q的同态）。
nr'p。（p）的关系数[* 152·01]
→
smor
'p
{q|p≅q}
* 170根据其成员的订购，第一差异订单课程的关系。 该方法是类别的词典排序概念的变化，如字典中的字母顺序排序。 查看Fraenkel（1968年）。 PM使用两个版本的概念。
PCL。（通过P）的第一个差异排序课程[* 170·01]
α
β
{α，β∈cl'c'p.∃！α，β-
˘
p
''（β-α）}
对于≺个体的订购，α≺clβ是
{⟨α，β⟩|α|α，β⊆f（≺）＆α⊈β＆∀x∀y（x∈β＆y∉α⊃y≺x）}
这在* 170：“α和β的总结中解释了，每个从C'P挑选出来的术语，这些术语有P的顺序; 我们假设α和β选择的早期术语可能是相同的，但如果α≠β，我们必须来到属于一个但不是另一个的术语。 我们假设此类最早的条款属于α，而不是β; 在这种情况下，α至β关系PCL。 也就是说，其中α和β开始差异，是我们来的α的术语，而不是β的术语。 我们不认为有一个属于α但不是β的第一项，因为这将在P不是齐全的限制时引入不良限制。“ （PM II，399）
PLC。（通过P）通过第一差异的阶段的顺序排序）[* 170·02]
cnv'（
˘
p
）cl
{⟨α，β⟩|α≺clβ}
“因此，αplcβ意味着，粗略地说，β-α比α-β更长，就像αpclβ意味着α-β更早开始。 如果P是及时又一次及以后的关系，并且α和β分别是α和b分别的时间，“αpclβ”将意味着比b早熟，“αplcβ”将意味着B比a晚睡觉。“ （PM II，401）
14.系列（第五部分）
PM中的“系列”是线性排列。 第II卷通过这一部分结束，第III卷从* 250开始，井排序理论。 这些概念以现在标准的方式定义。 由于符号，这一部分仅为现代读者而异。
反式p。（P是传递关系）[* 201·1]
p2⊂⋅p
∀x∀y∀z（pxy＆pyz⊃pxz）
Connex p。（p连接）[* 202·1]
x∈c'p.⊃x。
↔
p
'x = c'p
∀x∀y[（x，y∈fp）和x≠y⊃pxy∨pyx]
Ser。（系列）[* 204·01]
rl转trans connec
{P |p|∀x∀y（pxy⊃x≠y）＆p是传递的＆p连接}或p是线性排序
教派。（部分）[* 211·01]
教派'p =
α
（α⊂c'p.p“α⊂α）
{α|α⊂fp＆∀x[∃y（y∈α＆pxy）⊃x∈α]}
“将系列分成两类的分离方式的理论，其中一个完全在另一个之前，并在一起组成整个系列，这是重要的重要性。 ......任何可以是第一个这样的一体的类，我们称之为我们的系列部分。“ （PM II，603）
ς'p。（P）系列（P）[* 212·01]
plc↾⇂d'p∈
* 211的摘要解释了如下的定义：“D”Pε的成员称为P的系列的段。在每个子类别具有最大值或Sequent [立即后继（CF. * 206）]，D“P∈=
→
p
“C'P（* 211·38），即类的前任始终是单个术语的前任，即类的最大值，如果存在，或者如果没有最大值。 ......因此，一般来说，一系列段将大于原始系列。 例如，如果我们的原始系列是按级别的一系列理性的类型，则该系列段是实数系列的类型，即连续体的类型。“ （PM II，603）
我们无需为该系列部分进行特殊符号，因为凭借* 211·13，它是ς'p* ...... （PM II，628）
第III卷在顺序上以* 250开头。 然后将序数定义为一类普通的类似井排序。
BORD。（良好的秩序关系 - Bene Ordinata）[* 250·01]
p
{Clc'p⊂d'minp}
{p|∀α[（α⊆fp与α≠∅）⊃∃x（x∈α＆∀z（z∈α⊃~pzx））]
ω。（井订购系列）[* 250·02]
Ser∩bord
ω是有序良好的线性排序类。
不。（序号）[* 251·01]
nr“ω
序数是同构良好有序的线性排序类。
“Zermelo的定理”，即乘法公理（首选的公理）意味着每个集合可以齐全，衍生在* 258中。 这首先在Zermelo（1904）中证明了这一点。
μ~∈1.∃！∈δ'clex'μ.⊃.μεc“ω
15.数量（第VI部分）
PM的最后一部分研究了理性数字和实数。 它们由实体之间的关系构成，例如比可能用尺度或平衡比例测量的长度或重。 当代测量理论研究实体之间的关系，以确定其独立表征数量的尺度或系统，可以分配给它们，以表示它们拥有的各种性质的“数量”，例如长度或重量。 请注意，实数未构造为理性数字的类，但是在一系列比率中的“Dedekind Decs”是一种统一类型。 在PM，如在当代数学中，因为Rational Numbers {R |R2≤2}的类（段）将没有理性数字作为最小界限，所以将用非理性数识别类本身
√
2
。 Rational Number 1/2由其（较低）的Rationals，{R | R＜1/2}识别。
你。（大于电感红衣主教）[* 300·01]
（+ C1）po↾⇂（NC Finduct-I'λ）
{⟨n，m⟩|n＞是}
PRM。（相对素质）[* 302·01]
ρ
σ
{ρ，Σεncinduct：ρ=ξ×cτ.σ=η×cτ.⊃ξ，η，τ.τ= 1}
RandSare相对素质∀j∀l∀k[（r = j×k＆s = l×k）⊃k= 1]
（ρ，σ）prmτ（μ，ν）（ρ/Σisμ/ν最低术语和τ是μandν的最高常见因子[* 302·02]
ρprmσ.τ∈ncinduct-1'0.μ=ρ×cτ。 ν=σ×cτ
以k作为其最高常见因子= df r，s是相对初始的，r / s的比率为m / n，并且s是相对初始的，并且m = r×k＆n = k×s
（ρ，σ）PRM（μ，ν）（比率ρ/Σisμ/νin最低术语）[* 302·03]
（∃τ）。（ρ，σ）prmτ（μ，ν）
R / S的比率在其最低条款中为M / N =df∃k（其最低术语与其最高常见因子的最低术语为r / s ism / nin。）
μ/ν。（关系μ和ν的比率μ）[* 303·01]
r
s
{（∃ρ，σ）。（ρ，σ）prm（μ，ν）。
˙
∃
！rσ
˙
∩
sρ}
{⟨r，s⟩|∃r∃ss⟩|∃r∃s（R / S是最低条款的M / N和∃x∃y（rsxy＆srxy）}
“线上的距离是一个与之关系域（及其域的域）是整行。 如果我们拨打两个这样的距离R和S，我们可能会说它们具有比率μ/ν如果从某个点x开始，则R的重复将我们带到同一点Y，因为我们达到μRepetitions，即，如果xrνy.xsμy。“ （PM III，260）
老鼠def。（明确比率）[* 303·05]
x
{（∃μ，ν）.μ，νεd'u∩d'u.x=（μ/ν）↾⇂t11'μ}
限制对给定类型的成员的比率。
请注意，以下定义不依赖于无限远的原理。
x＜ry。（比率间）[* 304·01]
（∃μ，ν，ρ，σ）。 μ，ν，ρ，Σεncinduct.σ。 μ×cσ＜ν×cρ.x=μ/ν.y=ρ/σ
x＜y =df∃j∃k∃m∃n（j×m＜k×n＆x = j / k＆y = n / m）
h。（少于明确比率之间的关系）[* 304·02]
x
y
{x，y∈ratdef.x＜ry}
{⟨r，s⟩|ris|ris Rational＆Sis Rational＆R ＜S}
“H”是首都ETA“η”，Cantor的Rational Numbers的象征。
θ。（实数）[* 310·01]
（ς'h）↾⇂（-ι'λ-ι'd'h）
“除了0和无限”以外的实际数字的系列（PM III，316）是除空型和整个系列之外的Rational号码的系列。
16.结论
本摘要引用了PM中的约110个定义。 第二个版本（1925）的卷I的最后八页（667-674）包括来自所有三个卷的498个定义的完整列表。 Bertrand Russell Archives中的对应证实，这是由Dorothy Wrinch编制的。 她的列表可用于跟踪PM的每个其他定义表达式回到此条目中讨论的符号。
