贝尔的定理（二）

如果满足要素条件（f），那么

eλ（一个，b）=aλ（一）bλ（b）。

上述定义对于具有任何数量的离散结果的实验是有效的。 重要的特殊情况是，每个实验中只有两个不同的结果，我们可以在±1±1左右标记。 对于二价实验的情况，（4）相当于条件（f）。

现在考虑数量

sλ（一个，一个'，b，b'）= |eλ（一个，b）+eλ（一个，b'）| + |eλ（一个'，b）-eλ（一个'，b'）|。

步骤Sρ表示关于制备分布ρ的Eλs的期望值之间的相应关系。

sρ（a，a'，b，b'）= |⟨eλ（a，b）⟩ρ+⟨eλ（a，b'）⟩ρ|

+ |⟨eλ（一个'，b）⟩ρ-⟨eλ（一个'，b'）⟩ρ|。

注意，在考虑相同的分布ρ的本定义的右侧出现的数量的期望值时，我们正在调用测量独立假设。

由于任何随机变量的平均值的绝对值不能大于其绝对值的平均值，因此很清楚

sρ（一个，一个'，b，b'）≤⟨sλ（一个，一个'，b，b'）⟩ρ。

我们现在拥有所需的材料来陈述并证明钟型定理。 第一步包括显示，如果满足要素条件（f），则

sρ（一个，一个'，b，b'）≤2。

第二步包括表明存在量子状态和实验组，使得量子机械期望值违反不等式（8）。 这表明，不满足因子病症的理论不能在所有情况下再现量子力学的统计预测。 此外，不等式提供了对这种理论的预测的接近的界限可以实现繁多的量子机械预测。 不等式（8），因为克劳师，Horne，Shimony和Holt（1969）被称为CHSH不平等。

我们现在证明了定理的第一部分，即，CHSH不平等遵循因子因病症（F）。 如果满足f，则使用（4），以及Aλ（a）和aλ（a'）位于间隔[-1,1]，

sλ（一个，一个'，b，b'）

= |aλ（一）（bλ（b）+bλ（b'））| + |aλ（一个'）（bλ（b）-bλ（b'））|

≤|bλ（b）+bλ（b'）| + |bλ（b）-bλ（b'）|。

很容易检查一下

|bλ（b）+bλ（b'）| + |bλ（b）-bλ（b'）| = 2max（|bλ（b）|，|bλ（b'）|）。

由于Bλ（b）和bλ（b'）也位于间隔[-1,1]，来自（9）和（10），我们得出结论，对于每个λ，

sλ（一个，一个'，b，b'）≤2。

由于此绑定保持每个值λ，因此它还必须保持Sλ的期望值。

⟨sλ（一个，一个'，b，b'）⟩ρ≤2。

这与（7）一起产生CHSH不等式（8）。

证明我们的钟型定理证明的最后一步是展示系统，量子力学状态和一组数量，统计预测违反不等式（8）。 贝尔源处使用的贝尔姆思想实验（Bohm 1951，Bohm和Aharonov 1957）的铃声源。 一对旋转 -

1

2

颗粒在单线态中产生，

|ψ-⟩=

1

√

2

（| n +⟩1| n-⟩2-| n-⟩1| n +⟩2），

其中n是任意选择的方向，并且| n +⟩，| n-n是n方向上的旋转和旋转旋转的旋转特征。 状态是旋转不变的，因此表达式（13）表示任何方向n的状态。 如果在两个颗粒上执行斯菊拉实验，那么，无论设备轴的方向如何，对于实验的每一侧，两种可能的结果具有相同的概率，一半。 如果使用两个装置的轴线进行实验，则得到保证对相反的结果; 如果在另一个上获得旋转，则将在一个实验中获得旋转。 如果轴线处于正确的角度，则结果是概率的独立性。 在一般情况下，通过单位向量A，B的方向具有装置轴，分别具有标记为±1的结果，然后给出了结果的乘积的期望值

eψ-（一个，b）=⟨ψ-|σ

1

一种

⊗σ

2

b

|ψ-⟩

= -cos（θab），

其中θab=θa-θb是向量a，b之间的角度。

虽然旋转的例子 -

1

2

单态状态中的颗粒在文献中普遍存在，作为说明性实例，对于贝尔不等式的实验测试，极化缠结的光子更为显着。 考虑在Z方向上传播的一对光子1和2。 Let |x⟩j和|y⟩j表示光子j（j = 1,2）分别在X和Y方向上线性偏振的状态。 考虑以下州向量，

|φ⟩=

1

√

2

（|x⟩1|x⟩2+ |y⟩1|y⟩2），

这在垂直于Z的平面中的X和Y轴的旋转下不变。 根据光子是整体旋转颗粒的事实，这对光子1和2的一对光子1和2的总量子状态是不变的。 现在假设光子1和2分别撞击双折射晶体偏振分析仪I和II的面部，每个分析器的入口面垂直于Z。 每个分析仪都具有将入射的光在其脸部分成两个输出的非平行光线，普通射线和非凡的光线。 分析仪的透射轴是与沿着它的光子偏振的性质的方向，在普通射线中（如果假定晶体是理想的），则在垂直于z和传输轴的方向上偏振的光子将出现在非凡的光线。 见图1：

实验设置的示意图，表示在源处发射的粒子对，并撞击分析仪，从中偏转到两个输出光线中的一个中。

图1

（用许可转载）

光子对从源发射，每对量子Qualium由等式机械地描述。 （15）。 I和II是偏振分析仪，结果S = 1和T = 1指定普通射线的出现，而S = -1和T = -1指定非凡射线的出现。 通过假设没有吸收任何事件光子，晶体也是理想化的，但每个都在普通或非凡的射线中出现。

S和T产品的状态|φ⟩的期望值是

eφ（一个，b）= cos2（θab）-sin2（θab）

=的COS（2θab）。

注意，这将显示与（14）所呈现的角度相同的正弦依赖性，其中2θ替换θ。

通常，在流行的着作中，对齐器件的情况是唯一提到的设备，以及完美的反向纹身（用于旋转 -

1

2

在单向状态下的颗粒）或相关的（用于状态|φ⟩的光子）的结果，在这种情况下，作为“距离偏离动作”的证据 事实上，由于贝尔（1964,1966）通过简单的玩具模型证明，这种行为可以通过完全本地手段来再现。 贝尔的一个重要洞察力是，重要的是要考虑当器件轴未对齐时获得的完美相关性。 在贝尔的玩具型号中，相关性与器件轴之间的角度线性下降，而量子相关（14,16）脱落正弦; 远离完美对齐的情况的相关性比在玩具模型中的情况下陡峭较小。 贝尔的定理表明，这种行为不是他模型的特殊性; 不满足条件f的模型可以再现所有角度的量子相关性。 这可以通过考虑量子预测（14,16）并将其插入S的表达式来看。对于一对旋转 -

1

2

我们有单身状态的粒子，

sψ-= |的COS（θab）+的COS（θab'）| + |的COS（θa'b）-cos（θa'b'）|。

选择共面单元矢量a，a'，b，b'，使得θb'-θa=θa-θb=θb-θa'=φ，因此，θb'-θa'=3φ。 这种选择产量

sψ-（φ）= | 2cos（φ）| + |的COS（φ）-cos（3φ）|。

当0＜|φ|＜ARCCOS时，这超过了CHSH绑定（8）（（

√

3

-1）/ 2）≈1.95弧度，或68°，最大违规φ=±π/ 4，或45°。 对于这些角度来说，我们有

sψ-（π/ 4）= 2

√

2

≈2.828。

对于极化缠结的光子的情况，我们有，

sφ（φ）= | 2cos（2φ）| + |的COS（2φ）-cos（6φ）|。

这取决于φ=π/ 8，或22.5°的最大值。

sφ（π/ 8）= 2

√

2

≈2.828。

这个值2

√

2

出现在等式（19）和（21）中的最大违反任何量子状态的CHSH不平等，如Tsirelson所示（Cirel'son 1980）所示。 这对数量违反CHSH不平等的界限称为Tsirelson绑定。 作为Gisin（1991）和Popescu和Rohrlich（1992）独立证明，对于一对系统的任何纯纠缠的量子状态，可以发现可观察到的侵犯CHSH不平等。 Popescu和Rohrlich（1992）还表明，通过最大缠结程度的量子状态实现了最大违规量。 顺便提一下，这对于混合状态而言并非如此; 有纠缠的混合状态不违反任何贝尔不等式（Werner 1989）。

3.证据的假设

引起贝尔不等式假设的独特状况是因子态度（f）。 这种情况是通过关于局部性和因果关系的考虑来激励。 这一排序的考虑因素是讨论贝尔定理含义的焦点。 然而，为了获得满足这种假设的理论的预测之间的冲突，其他假设 - 其中一些假设通常在科学实验中毫无疑问地接受。 对贝尔的定理分析引起了仔细审查所需的推理，达到F应该被拒绝所要求的结论。 因此，在另一个上下文中的一些假设是明确的，并且每个作者都是由某些作者挑战的。 在本节中，我们概述了一套足以确保贝尔不等式的满足，因此，这构成了一系列绝不能满足的任何假设，这些假设不能在与实验一致，违反贝尔不平等的任何理论。 贝尔不等式还有其他路径; 特别是Wiseman和Cavalcanti（2017），他们提供类似于这里发现的分析，以及其他分析。

3.1地区和因果关系假设

3.1.1贝尔当地因果关系原则

如上所述，其中贝尔定理首次出现的文章（钟表1964）是贝尔（1966）的后续行动，其探讨了隐藏变量理论的前景，其中所执行的实验结果的结果是由完整状态预先确定的系统。 贝尔介绍（1964年）开始提到具有额外变量的理论，即恢复因果关系和局部性，并说“在本说明中，想法将在数学上制定并显示与量子力学的统计预测不兼容。” 局部假设被掩盖为要求“，在一个系统上测量的结果不受其在过去互动的远处系统上的操作不受影响。” 应用于手头的案例，在缠绕的旋转旋转-1 / 2粒子上进行的斯特纳 - Gerlach实验，这是“假设......如果两个测量值在远离彼此的远离彼此的位置，则一个磁体的取向不会影响与另一个磁体的取向不会影响所获得的结果。” 贝尔跟着这个，

由于我们可以预先预测测量σ2的任何所选择的组分的结果，通过先前测量σ1的相同分量，因此遵循任何这种测量的结果实际上必须预先确定（钟表1964,195; 1987b和2004,15）。

这表明不被假定OD，而是通过EPR型参数来从局部假设和所考虑量子状态预测的完美反对来源。 这就是贝尔如何在后面的出版物中解释推理（见钟1981，Fn 10）。[6]

在贝尔（1976）和（1990）中，贝尔从他称之为当地因果关系原则的情况中获得了因子态度条件（参见Norsen 2011讨论）。 在（1990）中，他开始了他的分析，其排练应该被采取相对论禁止超级阵容。 在通常的因果关系上，原因效应关系是在时间上不对称的，导致在效果之前。 在相对论的时期中，采用空间分离的事件没有时间顺序。 任何坐标系统都会向每个事件中的每一个分配时间坐标，但是，如果事件是Spacelike的分开，则根据哪个参考帧的排序分配给一对事件的时间坐标，具体取决于哪个参考帧雇用。 如果我们采取所有这些参考帧以符合PAR，则必须得出结论，事件之间没有时间顺序，作为不相对不变的关系没有物理意义。

在这些考虑因素的基础上，即Lorentz不变性和导致在效果的情况下导致的假设，贝尔介绍了他称之为当地因果关系的原则。

（PLC的-1）

事件的直接原因（和效果）接近，甚至间接原因（和效果）也不是光的速度允许的速度。

这说，贝尔说，“数学没有足够尖锐和清洁” 出于这个原因，他介绍了他作为原则的锐化版本所呈现的内容（参见图2）。

（PLC的-2）

如果通过在空间分离区域2中的空间分离区域2中的局部BABLES的值的规范，当在空间分离区域2中的值已经充分地发生的情况下，则将局部因果局部是局部因果。例如，指定的是间隔区域3中的本地BABLE的完整规范。

Spacetime图描绘了两个区域，标记为1和2，标记为1和2，彼此的空间分离，并且第三区域标记为3，这是从1和2到区域1的过去光锥的交叉点的任何时间线路必须通过区域3。

图2

在贝尔的术语中，Beable是物理理论的任何元素，其被采用对应于物理上真实的东西，并且与空时区域有关的本地BIBLE是包含在该区域内的那些。

根据贝尔，我们所谓的PLC-1转变为PLC-2的过渡应该“以最大的怀疑被视为”作为“这正是”清理了数学的直观思想，这是一个可能将婴儿用浴室扔出“（1990,106; 2004,239）。 在这篇文章中没有进一步讨论它们之间的关系，但其他论文在他们之间的过渡时阐明了阐明。

在（1976年）中，贝尔促使与言论的局部因果关系的配方激发，

现在，我对局部因果关系的直观概念是[时空区域] 2中的事件不应该是[Spacelike分离区域] 1中的事件的“原因”，反之亦然。 但这并不意味着两组事件应该是不相关的，因为它们可以在其后向光锥体的重叠中具有共同的原因（铃铛1976,14; 1985A，88; 1987B和2004,54）。

然后，他前面能够制定局部因果关系的条件，即在时空区域1和2的后向光锥体的重叠中的完整规格应该屏蔽它们之间的相关性。 隐含的是，通过变量与常用原因之间的因果关系，两个变量之间的相关性易受因果解释的相关性。 这种假设在后续文章（钟表1981）中明确说明，他说“科学态度是相关性呼出解释”（贝尔1981，C2-55; 1987B和2004,152）。

假设可以通过一些常见的原因解释在彼此的原因关系中的两个变量之间的相关性被命名为雷诺纳巴赫（1956，§19）的常见原因的原则，并且由于这个原因通常被称为Reichenbach的常见原因原则，尽管Reichenbach没有借着源于原则，并且认为它是科学和日常生活中常见的推理模式的编纂。 有关更多详细信息，请参阅Reichenbach的常见原因原则的条目。 变量c是reichenbachian常见原因，两个变量a和b之间的相关性，如果变量a和b是不相关的，则在C.Reichenbach的常见原因的规范上的条件上说明，如果两个相关的话变量不是彼此的原因效果关系，有一个reichenbachian的相关原因它们的相关性。 我们称之为PLC-1的条件并不是本身，因此仍然是PLC-2，但它确实从PLC-1和Reichenbach的常见原则的结合遵循。

PLC-1本身并不是必要的，因此相关性是可变的，而且事实上，并不致力于世界上任何因果关系; 它只是说，无论有尊重相对论的地方的因果关系。 因此，我们将把它称为因果区。 这与PLC-2相反，这需要在找到相关性的情况下需要有些排序的因果关系。 什么钟声呼叫当地因果关系的原则，PLC-2可以被认为是（1）沿PLC-1线的因果区条件的结合，限制了事件的原因到该事件过去的光锥，（2）Reichenbach的常见原因原理，这要求相关性因因果性解释。 前一种条件本身可以被视为追随相对论的不变性，并且事件原因在于其颞延迟的原则。 因此，贝尔的当地因果关系原则从三个假设的结合中，所有这些都是在各种着作中明确制定的：

（因果不对称的因果关系）任何事件的原因都在其时期过去，而不是在其暂时的未来。

（Lorentz Invariance）在Lorentz提升下，时间优先级的关系是不变的。

Reichenbach的常见原因原则。

3.1.2参数独立性和结果独立性

因子症的条件f是应用，到贝尔型实验的特定建设，贝尔的当地因果关系原则。 正如我们所看到的那样，它可以被认为是因果区条件的结合，以及常见的原因原则。 在本节中，我们将这些条件应用于钟型实验的设置。

假设实验设置可以被视为自由变量，如果一个机翼的设置从实验中的间隔分离的设置在另一个翼上的设置，则在外部切割的情况下进行外源确定的值，这是一个实验结果的概率的依赖性另一种似乎是直接的，成为非识别因果影响的实例。 不发生这种情况的条件可以如下制定。

（PI的）

对于所有参数设置A，A'，B，B'，所有λ和所有S∈SA和t∈tb，

p

1

一个，b

（s|λ）= p

1

一个，b'

（s|λ）;

p

2

一个，b

（t|λ）= p

2

一个'，b

（t|λ）。

这是遵循Shimony（1986,1990）之后被称为参数独立性的条件。

对于实验设置的固定值，贝尔的当地因果关系原则需要，这两个系统的实验结果是独立的，条件是在源系统的完整状态的规范λ上。 这是条件

（非常显着）

对于每对参数设置A，B和ALLλ，以及TB中的所有S和T，

尼龙，b（s，t|λ）= p

1

一个，b

（s|λ）p

2

一个，b

（t|λ）。

这是在Shimony（1986,1990）之后被称为结果独立性的条件。 正如Jarrett（1983,1984）所证明的那样，因子化条件（F）是参数独立性和结果独立的结合。 这两个条件与前一小节中讨论的地区和因果关系有不同的关系。 PI是因果区局部条件PLC-1的结果，而OI则需要添加常见原因的假设。