替代公理设定理论（六）

我们不能抵制证明主要结果（因为证明很有趣）。

空集：如果空集是一个适当的类，那么所有适当的类都会为空。 特别是，拉塞尔班将是空的。 让我成为一个无限的套装。 {i}将是一个集合，因为它不是空的，{i，{i}}将是一个集合（再次是因为它不是空的）。 但是{i，{i}}属于russell类（作为带有两个元素的集合，它不能是dedekind无限i或singleton {i}。所以∅是一个集合。

单身：如果任何单例{x}是一个适当的类，那么所有单例都是适当的类，罗素类是单身级。 {i，∅}是一个集合（两个元素都是集，而且类不是单例），它不能成为本身的成员，所以在Russell类中。 但是在拉塞尔课程中也是如此; 所以拉塞尔课不是单身人士，所有单身都是套装。

无序对：russell类不是一对，因为它具有不同的元素∅，{∅}，{{∅}}。

关系：所有Kuratowski有序对存在，因此所有可定义的关系都被实现为设定关系。

唱歌的定理（没有设定与其子集的类别相同）和Schröder-Bernstein定理（如果两个课程中的每个类注射到另一个中，则它们之间存在两种反射）。

russell类可以显示使用schröder-bernstein的宇宙大小相同：从r进入v是显而易见的，并且v可以使用地图x↦{x}，∅}嵌入r中的r（显然没有设置{{x}，∅}属于自身）。 因此，类是适当的IFF它与宇宙的大小相同（大小的限制）。

将von neumann ordinals定义为由会员资格严格齐全的类。 可以证明每个有限的序数是一个集合（因为它比其继任者小，并且是拉塞尔类的子类）。 出于通常的原因，所有顺序的类不是一个集合（但是是最后一个序数），尺寸与宇宙相同，因此宇宙可以齐全。

有一个无限的序数，因为有一个序数可以与一个人最喜欢的无限集合一对一的对应。由于有无限的序数，因此每个有限的序号是一个集合，并且第一无限ωΩ是一组。 因此，所有无限集都可以是无限的。

Infinite集的电源集我与Cantor定理的大小不同，当然是无限的，所以不能是一个集，所以必须与宇宙相同。 它遵循通常的考虑因素，宇宙与℘（ω）或r（以任何通常方式定义的实数）相同的尺寸，其“红衣主教”是c。 此外，第一个不可数序数ω1是宇宙的基数，因此连续的假设持有。

众所周知，编码技巧允许人们在没有基数C的情况下做古典数学：例如，从真实函数到真实的所有功能，都太大，甚至在这里是一个适当的课程，但是连续功能的类是基数c。 单个连续函数f似乎是一个适当的类，但它可以被编码为由（例如）允许可计一组Rational⟨p，q⟩的组成的杂散可数量，使得P <F（Q）代码函数f。 事实上，据称，大多数经典数学都可以使用自然数和自然数量（二阶算术）或甚至较弱的系统来进行，因此口袋集理论（具有三阶算术的强度）可以被认为是相当慷慨的。

我们谨此说明，口袋集理论的假设倡导者认为宇宙很小，并不一定的情况; 他或她可能会认为连续体很大.....

9.2 Vopenka的替代集理论

Petr Vopenka提出了以下替代集合（1979）。

该理论有套装和课程。 以下公理持有集合。

扩展性：具有相同元素的集合是相同的。

空集：∅存在。

继任者：对于任何集合x和y，存在x∪{y}。

诱导：仅以集合语言（所有参数都是集）表示的每个公式φ（所有量词都被限制为设置），并且x∪{y}的真实为x和true}如果x为true，则为所有集合。

规律性：每个集合都有一个元素脱离它。

在通常集合理论中，集理论似乎是Vω（默许有限套装）的理论！

我们现在通过课程。

类存在：如果φ（x）是任何公式，那么所有集合x的类φ（x）都存在φ（x）。 （SET X与x的类别识别。

类的扩展性：具有相同元素的类相等。

定义：半自动是集合的子类。 一个适当的类是不是一个集的类。 适当的Semiset是一个不是集合的集合的子类。

适当的半组的公理：有一个适当的半组。

一个适当的半组是一个包含它是非标准的集合的信号（回想一下，所有集合似乎都是默许的有限情况！）

定义：一组是有限IFF的所有子类都是集。

有限套装具有标准尺寸（使用“有限”这里可能会令人困惑：毕竟，所有集合都是非标准的有限。

定义：类型ω的排序是一个类井排序，它是无限的，所有初始段都是有限的。 如果它有ω的排序，则可以是可数的。

类型ω的订购具有与标准自然数相同的长度。 我们可以证明有这样的订购：考虑有限（即标准有限）von Neumann ordinals上的订单。 必须有无限的von neumann arminals，因为von neumann ordinals和整个集合之间有一个定义的理论上是可定义的击落：任何适当的半网可以转换为一组von neumann的适当半字条件。

延长公理：每个可数函数F可以扩展到集合功能。

延长的公理具有与上面“非标准”设定理论中标准化公理的作用类似的作用。

Vopenka考虑使用套件的关系来考虑课程的超类。 A类上的一个类关系r据说是在r中的r次下面的逆图像的逆图像上编写逆图像的超类。如果具有不同的偏振的不同元素，则将这种超类进行了基础代码。 他通过采用这种编码的理论

扩展编码的公理：可编码的每种类集合都是基本可编码的。

值得注意的是，这可以以一种方式被删除，这不对超类引用：对于任何类关系R，存在一个类关系R'，使得任何x都有x'，r'下的x'等于r的x下的x下的x和不同元素的预报R'的领域具有不同的折叠。

他对编码的概念更为普遍：我们可以通过拍摄⟨k，r⟩是k是r的子类; 显然，可以通过使用我们给出的形式的Axiom来基地编码任何类别的任何类别。

最终的公理是

基数的公理：如果两个类是不可数的，它们的大小是相同的。

这意味着（如在口袋集理论中）有两个无限基数，这可以被认为是ℵ0和c，但在这种情况下，他们的行为比口袋集理论更少熟悉。 例如，所有自然数（作为Vopenka定义它）的集合是基数C，而存在具有预期基数ω的自然数（有限自然数）的初始段。

一个人从基数和延伸编码的原理获取选择的公理; 细节是技术性的。 人们可能认为这将在口袋集理论中如下：所有顺序的订单类型不是一个集合，因此与宇宙相同的基数。 但这在这里不起作用，因为明显的感觉中的“秩序”是所有非标准的有限条件，从A类角度来看，它们根本不是很好的订购。 但是，使用扩展编码的公理，有一种狡猾的方式来编写无数良好排序，并且由于其域是不可数的，因此它必须与宇宙相同。

这是一个相当困难的理论。 通常集合理论中的替代集理论的模型是VΩ尺寸ω1的非标准模型，其中每种可数外部功能都延伸到模型中的功能。 可能最好假设该模型是在L（结构宇宙）内部构建的，以便将满足基数的公理。 在环境集理论中的选择之后，延伸编码的公理。

除了我们获得两种自然数（集合宇宙（非标准）中的有限von neumann ordinals和有限von neumann set ordinals（标准）之外，我们开始的自然数和我们开始的实际数字的结构 经典的真实可以定义为标准理性的Dedekind削减; 这些不是集体，但是任何真实都可以通过非标准的理性近似。 可以使用通常非标准分析的一些（但不完全）的工具进行分析。

10.双重延长集理论：好奇心

最近的Andrzej Kisielewicz（1998）的建议是，通过拥有两个不同的会员关系∈和ε，可以延迟设定理论的悖论，每个会员关系用于定义另一个的延伸。

我们介绍了公理学。 该理论的原始概念是平等（=）和两个味道∈和ε的成员资格。 公式φ如果没有提及ε是均匀的。 如果φ是均匀的公式，则φ*是相应的公式，其中ε在整个中由ε代替。 SET A是常规IFF它具有相同的扩展与隶属关系：x∈a≡xεa。

理解公理断言，对于任何统一的公式φ（x），其中所有参数（除x以外的自由变量）是常规的，有一个对象a，我们使用符号{x |φ（x）}，这样∀x（（x∈a≡φ*）＆（xεa≡φ））。

扩展性公理断言，对于任何A和B，∀x（x∈a≡xεb）→a = b。 请注意，此公理适用的任何对象适用于常规。

最后，特殊的Axiom断言，任何设置其中一个扩展在常规集中都是常规的。

可以证明该理论可以在默有规则集的领域中解释ZF。 正式，证明具有与Ackermann集理论的证据相同的结构。 目前尚不清楚该理论是否实际上是一致的; 加强它的自然方式（包括Kisielewicz提出的第一个版本）结果不一致。 考虑一下，这也是非常困难的！

这个理论的好奇属性的一个例子是，一个成员关系下的秩序正是正常的常规顺序，而在另一个较长的情况下; 这意味着两个会员关系之间的表观对称性突破！

11.结论

我们在这里提出了各种各样的理论。 基本上不同的理论是基本上不同的数学领域的看法（支持非标准分析的建设性理论和理论）我们设定为一侧。 同样，通过保持宇宙的愿望的理论可以设置为一侧。 支持流利的数学发展的替代古典集合理论似乎是ZFC或其与课程（包括Ackermann），NFU + Infinity +选择的变体，具有合适的强的Infinity Axioms（以获得S.C.设置为表现良好）和欧洲的积极集合理论。 在我们看来，其中任何一个都足以为目的，包括目前正在使用的目的。 数学家没有比ZFC使用不同的基础的令人焦虑的原因; 但是有一个有机会思考基金会的数学家有一个充满原因，以了解有替代方案; 否则存在危险的危险情况，集合理论的主导系统的意外特征将被误认为是数学基础的基本特征。 例如，经常说通用集合（实际上易于在弱集理论中易于获得的延伸）是一个不一致的总体; 实际情况仅仅是在假设Zermelo的分离的公理时不能拥有通用集合。