替代公理设定理论（五）

广义阳性理解：对于任何通用的正公式φ，存在{xφ}。 （请注意，由于我们将假公式视为正为正面，因此我们不需要特殊的公理断言空集的存在）。

关闭：对于任何公式φ（x），有一个设置的c，使得x∈c≡[∀y∀z（φ（z）→z∈y）→x∈y]; C是所有集合的交集，包括满足φ：c的所有对象被称为class {x|φ（x）}的关闭。

无限：von neumann ordinals的关闭不是本身的元素。 （这不包括Ω-hyperuriverse，其中von neumann ordinal类的闭包本身就是附加成员）。

由于人们可能期望，这个集合理论的一些基本概念是拓扑（套装是宇宙上的拓扑的封闭类别）。

这个集合理论解释ZF。 这首先示出了离散集（更具体地是（封闭的）拓扑中的隔离点）来满足替换的类似物（通过离散域具有离散域的可定义功能（由不需要的公式定义）的模拟），因此分离然后，通过表明在拓扑中孤立的良好成立的集合，并且在ZF的结构下封闭了良好成立的集合。

不仅ZF，还可以解释Kelley-Morse课堂理论; 任何可定义的一流的成立套装都有一个关闭，其良好成立的成员将正是所需的成员（通常是规则有其他非良名的成员）。 在这些上下文中，在这些“类”上定义这些“类”定义了套件，就像Mere Sets上一样轻松 所以我们得到了一个谨慎的阶级理论。 此外，人们可以在内部证明这一理论，即解释km中的“适当类序数”具有树质，因此实际上是弱紧凑的基础; 这表明该理论具有相当大的一致性强度（例如，它的ZF版本证明，有一个适当类别的难以接近的红衣主教，每个N等的适当类别的N-Mahlos）：在上面的概述模型施工中使用大型基数。必要。

任何全球形式的首选的公理就是不一致的，但对于所有良好成立的集合是可疑的 这足以用于通常的数学应用程序。

由于ZF完全沉浸在该理论中，因此对于通常的经典应用，它可以清楚地维护。 在这个理论中，弗雷格的自然数量不是可定义的（0和1除外）; 最好与有限von neumann ordinals合作。 通过适当的类序数的性质证明对大型基数的强烈结果的能力表明，大型套装的上层结构也可用于数学目的。 熟悉κ-compact空间的拓扑技术对于了解该理论中的大集合可以做些什么。

随着无限远的公理的否定，我们得到了ω-hyperulivere的理论，这与二阶算法等相同，因此实际上具有公平的数学实力。 在这个理论中，天然数量（被认为是有限序数）没有关闭并在无限“（infinity）上获取额外的元素（这是闭合自然数本身的封闭）。 个人实数可以编码（使用通常的Dedekind结构，实际上），但实数的理论将开始看起来非常不同。

7.3积极集理论的批判

与这里给出的其他系统相比，一个明显的批评是这种理论非常强劲。 这可能是一件好事或坏事，取决于一个人的态度。 如果一个人担心弱紧凑的一致性，这里的一致性水平肯定是一个问题（尽管ω-hyperunverse的理论将在任何情况下留在）。 另一方面，集合理论的拓扑动机似乎工作的事实似乎工作并产生比可能期望的更高水平的一致性强度（“从仅仅从不可数无数的无穷大的无穷远）可能被认为是这些是非常强大的想法。

易于访问此作者的数学结构只是从ZF或ZFC携带; 良好成立的集合被认为是积极集合理论的世界内，我们发现他们有完全从通常的角度来看的属性。 我们在我们的集合理论中获得（模糊）对象是非常好的，适合代表所有通常的适当课程; 它不太清楚我们可以与其他大物体做的事情而不是NFU。 帖帖考可能会发现这个系统非常有趣; 在任何情况下，拓扑专业知识似乎是评估该系统中额外机器的方式。

我们简要介绍了悖论：罗素悖论不起作用，因为Xīx不是正公式; 请注意，存在{xx|x∈x}！ Cantor Paradox不起作用，因为唱歌的证据依赖于理解的实例，这不是积极的。 ℘（v）确实存在并且等于V.序列由非正面条件定义，并且不构成一个集合，但有趣的是，序列类的封闭Cl（ON）等于ONIN {CL（ON）}; 关闭本身就像它唯一意外的元素。

8.逻辑上和哲学上动力的变化

在前面的设定理论中，数学常规对象的性质与大多数数学家（或者人）的“直观”密切相关。 （严格来说，在NFU +无限远处没有额外假设rosser的计数的额外假设，但后者公理（“n是强硬的Cororian”）在实践中几乎总是如此。

在本节讨论的前两类系统中，逻辑考虑因素施工，其中“熟悉”部分世界观看起来完全不同。 建设性的数学家看不到我们所做的同样的连续性，如果他们愿意冒险进入集合理论的较高距离，他们也在那里找到了一个不同的世界。 非标准分析的支持者还发现看看不同的连续体（甚至不同的自然数），尽管它们确实看到了嵌入其中的通常的连续体和自然数。

它并不完全清楚，本节中讨论的最终项目，乔尔哈金提出的集合理论的多层视图，应作为集合理论的观点来描述：它提出了我们应该考虑有多种不同的概念，其中每个都有多种不同的概念描述其拥有自己的宇宙（我们可能会讲的是宇宙的复合物作为“多层”），但在底部是质疑是否有适当的集合理论世界。 但是他为宇宙之间的关系提供了拟议公理的暂定清单具有替代集合理论的一些味道。

8.1建设性集理论

建设性（直觉）类型和设定理论有许多尝试。 我们将在这里描述一些系统，非常简单地，因为我们不是建设性数学的专家。

通过简单地采用TST作为公理的公理的直觉版本，可以容易地获得直觉类型的集合理论。 无限的公理将是为了确保在理论中嵌入尼斯算术的解释; 提供类型0与Heyting算法的基元更简单（正如最早版本的TST的那样是为0型提供的经典算术的基元）。 我们相信这将为建设性数学提供相当舒适的环境。

Daniel Dzierzgowski迄今已经走了，以便以相同的方式研究一个直觉的NF版本; 我们可以使用的一切都在这里，目前尚不清楚得到的理论羊群与nf一样强大（特别是inf inf解释inf inf解释heyting算术，因为斑点在NF中的无穷大的证明似乎并不似乎以任何有用的方式经历）但是一致性尽管理论明显疲软，但米的问题仍然是开放的。

更雄心勃勃的理论是IZF（直觉ZF）。 IZF的发展的一个有趣特征是，在一个人的选择中必须非常小心：设定理论的一个公理的一些配方具有（建设性的推动）后果，这些后果不被视为有效的（例如被排除在外），而其他（经典相当于“公理的制剂看起来不具有这样的后果：后一种形式，显然是优选的是在集合理论的建设性发展中，通常不是古典背景中最熟悉的。

似乎产生非竞争系统的建设性数学系统的一组公理如下：

扩展性：在通常的ZF表格中。

配对，联盟，电力集，无限分析：在常规ZF形式。

集合：我们不确定为什么在建设性集理论中往往是优先的，因为它看起来比替代更少的建设性？ 但我们听说它说更换是建设性的。

∈诱导：征收会员形式的归纳是一种非常实际的原因，是：更多的基础配方立即意味着排除中间的公理！

有关IZF的更多信息，请参阅Friedman 1973和其他互联网资源。

通常情况下，建设性数学的情况一般而言，经典集合的非常简单的概念（例如序数的概念）需要仔细的重构，以获得适当的建设环境的定义（并且所述制剂通常看起来比熟悉的态度更复杂）。 inexpert，我们不会进一步涉及自己。 值得注意的是，像许多但不是所有建设性系统一样，IZF承认对相应的经典理论ZF的双否定解释; 我们可能会认为IZF从古典角度来看ZF版本的弱势版本，但在其自己的术语中，它是一个更大，更复杂的境界的理论，其中嵌入了集合理论的古典宇宙的副本。

到目前为止，我们描述的理论受到一些建设性的数学家批评，以允许不受限制的电力集合操作。 较弱的系统CZF（已经提出了不具有该操作的结构ZF（并且具有与前面描述的没有电力集的弱设置理论KPU具有与具有相同的强度水平KPU）。

CZF省略电源集。 它以与上述相同的原因取代了与∈唯一的基础。 扩展性，配对和联盟的原理如普通集合理论。 分离的公理仅限于与Mac Lane集理论或KPU中的有界（Δ0）公式。

收集公理由两个较弱的公理代替。

强的收集公理方案断言，如果每一个x∈A有φ（x，y），那么有一个设置b使得对于每个x∈，有y∈b，使得φ（x，y）（如通常方案中的），但也是如此y∈b存在x∈A，使得φ（x，y）（b不包含任何冗余元素）。 由于分离公理的形式较弱，附加限制是有用的。

子集收集方案可以被视为包含非常弱的电源集。 对于每个A和B的每个公式φ（x，y，z）致密，对于每个z，每个z使得∀x∈a∃y∈b[φ（x，y，z）]存在rz∈c，使得每个x∈A都有y∈rz这样φ（x，y，z）和每个y∈rz，有x∈A，使得φ（x，y，z）（这与强度收集公理中的限制相同;请注意，不仅在构造的关系下的图像，而且图像是进一步收集到一个集合中）。

子集收集方案足够强大，以允许将所有功能集的集合构建为集合B作为一个集合（这表明该理论的经典版本与ZF一样强，因为从A到{0,1}的一组函数的存在是经典的坚强作为A的电力集的存在，强制收集应该允许在经典环境中允许强烈分离的证明）。

该理论被称为与经典集理论KPU相同的一致性强度水平。 它承认在Martin-löf建设性类型理论中解释（因为IZF没有）。

有关该理论的更多信息，请参阅Aczel（1978,1982,1986）。

8.2设定非标准分析理论

非标准分析起源于亚伯拉罕罗宾逊（1966年），他注意到使用连续体的非标准模型的使用将使人们有一种意识地意识到莱布尼替的无限数量，因此获得较少的结石的优雅配方量词。

后来的非标准分析指示观察到模型理论的恒定参考使得博览会的展览比它更少; 他们有一个在一个集合理论中工作的想法，该理论本质上是“非标准”。

我们提出了一种这种系统，纳尔逊（1977）的集合理论是（内部集理论）的一个版本。 该理论的基元是平等，成员资格和标准的原始概念。 公理跟随。

扩展性，配对，联盟，电力集，基础，选择：如在我们上面ZFC的演示文稿中。

分离，替换：如我们在上面的ZFC的介绍中，除了标准谓词不能出现在公式φ中。

定义：对于任何公式φ，通过在所有标准对象上用宇宙替换每个量化器（以及包含限制该设置的标准元素的量词中的每个量化，通过宇宙中的每个量词替换宇宙中的每个量化器来获得公式φst。

理想化：有一个有限的集合包含所有标准集。

传输：对于每个公式φ（x）没有提及标准谓词并不包含标准集的标准谓词（x以外的自由变量），∀xφ（x）≡∀x（标准（x）→φ（x））。

标准化：对于任何公式φ（x）和标准设置a，存在标准集b，其标准元素正好是满足φ（x）的标准元素x。

我们的理想形式比通常的版本更简单，但具有相同的效果。

立即转移意味着任何唯一可定义的对象（无需参考标准度定义）实际上是标准对象。 因此，空集是标准的，ω是标准的，等等。 但并非如此标准对象的所有元素都是标准的情况。 考虑包含所有标准对象的有限组的基数; 这显然更大，即任何标准的自然数（Ω的常量元素）又如它同样明显的是ω的元素。 事实证明，所有这些元素都是标准的每个设置都是标准的有限集。

通过熟悉的模型理论的熟悉结果建立了与通常集合理论ZFC的该理论的相对一致性。 在这个理论中工作使得可以以“基本”方式使用非标准分析技术，而不会对非标准模型的性质明确吸引。

8.3集合理论的多层视图

我们研究了Joel David Hamkins提出的设定的理论多层理论，其目的是解决有关标准集理论的独立性问题的哲学问题，但在正式拼写时具有替代集合理论的一些味道。 一个设定的理论柏拉图师可能会说关于连续的假设（CH），因为“当然”一个单一的集合宇宙，CH在这个世界上是真或假的，但我们无法确定哪个CH和inch实际上是这样的。 Hamkins建议作为一种替代方案（以与古典的柏金代表为古典的柏拉多家族，必须指出的是，所以有许多截然不同的概念，我们可能假设似乎所有人都满足ZFC的通常公理，每个概念确定自己的概念套装宇宙，以及其中一些宇宙CH举行，并在其中没有持有。 他进一步说，挑衅性地，在他的观点中，他是一个解决的问题，因为我们对Ch持有的宇宙中的条件有了很好的了解（请注意使用的文章）和它不持有的条件，甚至更挑剔，他认为“理想的”解决方案对于CH问题，其中普遍接受的公理是导致大多数数学家得出结论，CH是“自我明显”的真实或虚假（在通常的意义上决定问题）现在实际上是不可能的，因为设置理论家现在与宇宙非常熟悉这两个替代方案都持有，并且既不理解，既不是“自我明显”的真实（他的论证的力量真的是互补的结论，其中一个替代方案是自我明显的错误现在是不可能的，因为我们太好了“世界”每种替代方案都认为是荒谬的“。

我们可以在上一段中摘要上提出的问题，但是Hamkins已经在Hamkins 2012中完成了这一点。我们的目标是总结哈金斯概念的暂定公理概念。 这不是一套正式的公理，但它确实具有替代集理论的公理化的一些品质。 我们注意到这里呈现的公理列表不可避免地推出了比本文其他部分的高级集合的了解更多。

可实现的原理：对于任何宇宙v，如果W是集合理论的模型和可定义或解释为v，则W是宇宙。

这里要注意的一件事是Hamkins对一些宇宙可以成为ZFC以外的理论模型的想法（例如Zermelo设置理论或PEALO算术等较弱的理论，甚至不同的理论，例如ZFA或NF / NFU）。 但它似乎难以思考，以表达精确的界限，以算是定义宇宙的“集合理论的概念”。 这很好，因为宇宙的“多层”的概念在这里完成的总体 - 这将相当于通过后门再次走私的柏拉图宇宙！ 遵循的一些公理假设讨论的宇宙是ZFC或非常相似的理论的型号。

强制扩展原理：对于任何verse v和v中的任何迫使概念p，有一个强制扩展v [g]，其中g⊂p是v-generic。

这声称我们的强迫扩展是具体的现实世界。 Hamkins探讨了悬崖长度2012年延长状态的形而上学困难。

反射公理：对于每个宇宙v，有一个更高的宇宙w，其序列θ具有序号θ，其中V与Wθ中的累积层级的水平相同。

我们引用Hamkins：

这些原则断言，没有宇宙对秩序的高度是正确的，每个宇宙都看起来像一个具有相同真理的更高宇宙的初始部分。 （2012：438）

在这里，我们推测我们正在谈论的宇宙是ZFC或ZFC的理论的模型。

可数性原则：每个宇宙V都是可数的，从另一个，更好的宇宙W.

这绝对具有替代集合理论公理的味道！ 模型理论动机是显而易见的：这增加了严重服用Skolem的悖论。 Hamkins指出，上面的强制扩展原则已经意味着这一点，但在任何情况下都很清楚他的暂定公理名单旨在既不是独立也不完整。

富有创意的幻影：每个宇宙V都没有从另一个更好的宇宙的角度创造出来。

Hamkins说，这可能是他所有公理的最多挑衅性。 他说，他打算这意味着甚至我们的自然数的概念在任何宇宙中都有缺陷：从进一步宇宙的角度来看，可以看到任何宇宙中所定义的自然数量的收集。

反向嵌入Axiom：对于每个宇宙v和每个嵌入j：v→m在v中，有一个宇宙w和嵌入h：w→v这样j是h的迭代。

我们只是引用这种惊人的断言，这表示，对于宇宙v的任何基本嵌入到v中包含的模型M，我们对本地嵌入到V本身的理解严重不完整。

吸收到L：每个宇宙V是一个满足v = l的另一个宇宙W中的可数传递模型。

我们习惯于认为可构造的宇宙L作为“限制”宇宙。 在这里，哈姆克斯在里面转过身来（他讨论了为什么这是在纸质Hamkins 2012中思考的合理方式）。

我们将其留给读者，该读者有兴趣进一步追求这一追求。

9.小型理论

通常注意到，设定理论产生比支持古典数学所需的超级结构更远。 在本节中，我们描述了两种旨在提供足够的基础的微型理论，而没有几乎与上层建筑。 我们的“口袋集理论”（由鲁迪克瑞的建议）只是小; Vopenka的替代集合理论也在其方法中“非标准”。

9.1口袋集理论

这一理论是我们的建议，它阐述了鲁迪·鲁克的建议。 我们（以及许多人）已经观察到陈旧天堂的所有无穷大的订单，在古典数学实践中只有两个实际情况在套装理论之外：这些是ℵ0和c，自然数的无限远和连续的无穷大。 口袋集理论是一种主动的理想，这些想法是这些是唯一的信息（Vopenka的替代集合理论也有这种财产，顺便说一句）。

口袋集理论的对象是课程。 据说一个类是一个集合IFF，它是一个元素（如ZFC的通常类理论中）。

订购对使用通常的Kuratowski定义定义，但不假设有任何有序对。 关系，功能，杀害和乃至一样的概念被定义为常规（仍然没有任何有序对存在的假设）。 无限集被定义为一个设置的集合，其具有一个适当的子集中的一个。 适当的类被定义为不是集合的类。

口袋集理论的原理是

扩展性：具有相同元素的类相等。

类理解：对于任何公式φ，存在包含全部设置x的{xφ（x）}，使其φ（x）。 （请注意，这是Kelley-Morse集合理论的阶级理解公理，没有对φ中的量化器的任何限制）。

无限套：有一个无限的套装; 所有无限套装大小都是相同的。

适当的类：所有适当的类都是相同的大小，并且任何类都与适当的类相同的大小是正确的。