替代公理设定理论（四）
如果施工中的序数α是非标准的自然数，则NFU的模型可以具有“有限”（但外部无限）宇宙。 如果α是无限的，则NFU的模型将满足无穷大。 如果选择的公理在Zermelo式集合理论的模型中，它将在NFU的模型中保持。
现在我们根据NFU查看数学宇宙，而不是从外面看NFU的模型。
自然数的弗雷格建设在NFU方面完美地工作。 如果Infinity持有，则不会在我们上面的情况下定义通常设置的自然数量。
任何通常的有序对结构都在NFU工作。 通常的Kuratowski对在NF或NFU中是不方便的，因为该对在TST方面的投影比其预测高。 这意味着功能和关系比其域和范围的元素高三种类型。
Quine（1945;类型级别定义的类型级对，因为它是与其投影相同的类型），其在NF中可定义，也可以在任何无限序数α上vα; 该对可以在NF中定义和使用，并且在无限Vα上可定义的事实意味着它可以在NFU +无限度中假设有一个类型级有序对（这种对的存在也从无限远和选择一起使用）。 这将使域之间的函数和关系和元素之间的类型位移，并且范围仅为一个，与集合类型与其元素之间的位移相同。 我们将假设有序对与续集中的预测相同，但我们不会呈现出奎群对的相当复杂的定义。
一旦定义了成对，关系和函数的定义就像在通常的结构理论中完全相同。 整数和Rational号的定义没有问题，并且可以像往常一样进行真实的构造。 我们将重点关注在NFU的Cantor和Burali-Forti的悖论中开发解决方案，这给了这个集合理论的奇怪性格的良好画面，并且还浅谈了NFU的无限公部的自然强度公理。 重要的是要了解NFU逃避这种逃避成功的悖论的方式很重要：如果通常的设定理论是一致的，那么NFU将是一致的，并且仔细检查NFU模型显示为什么这些明显躲闪的原因。
如果在它们之间存在两种粉迹，则据说两套具有相同的基数。 这是标准的。 但我们然后继续定义a | （设置A的基数A）作为与A的所有集合的集合相同，实现弗雷格和拉塞尔的定义，并且显然是由Cantor打算的。 注意：A | 是高于A的类型。弗雷格的自然数与有限基数数量相同。
通常设定理论的唱歌定理断言|＜|＜|℘（a）|。 在NFU中，这显然不是真的，因为| v | 是宇宙的基数和|℘（v）| 是集合集的基分，实际上| v |＞＞|℘（v）| 在所有已知的NFU模型中（所有这些模型都有许多干预红衣主教）。 但| A |＜|℘（A）| 在TST中没有意义：它是不可打字的。 TST的正确定理由NFU继承，是|℘1（a）|＜|℘（a）|，其中ν1（a）是a的一组，其是与a的电源集相同的类型。所以我们有|℘1（v）|＜|℘（v）|：套装比单例套装更多。 在℘1（v）和v之间的表观双x↦{x}不能是一个集合（并且没有理由期望它是一个集合，因为它具有不增分的定义）。
满足的一组| = |℘1（a）| 被称为坎塔尔套装，因为它满足了常规形式的Cantor的定理。 据说，满足Singleton地图对A的限制的较强条件是强烈的坎德兰人（S.C.）。 强烈的Canorian集很重要，因为没有必要将相对类型分配给已知的变量限制为强烈的Cantorian集合，因为可以使用单例映射的限制及其反向调整任何此类变量的类型的限制分层。 强烈的卡特拉特套是可以被认为是通常的通常设定理论的类似物。
序数被定义为相似性下井排序的等效类。 序数有自然的顺序，并且在NFU中，在通常的结构中，事实证明是一个顺序 - 并且如在天真的集合理论中，一套！ 由于序数上的自然顺序是一个集合，因此它具有ω型ω，它本身是序号之一。 现在在通常的设定理论中，我们证明了对序列的自然秩序限制的顺序类型小于α是单位的α本身; 然而，这是TST中的不良语句，其中，假设类型级有序对，第二发生α是高于第一类型的类型（如果使用Kuratowski有序对，则四种类型越高）。 由于序数是相同的关系类型，我们可以在上面定义它们的操作T.
订单类型的自然秩序对序数小于α的顺序是序数T2（α）
是在TST中有意义的断言，在NFU中实际上是真实的。 因此，我们发现，序号上的自然秩序的订单类型为序号小于ω的顺序是T2（ω），因此我们发现T2（ω）（作为序列的正确初始段的订单类型）严格少于ω（这是所有ordinals的订单类型）。 再一次，单例映射不是函数的事实消除了这些订单之间的“直观明显”的相似性。 这也表明T不是函数。 然而，T是秩序的顺序组成，我们具有ω＞T2（ω）＞T4（ω）......，这可能模糊地令人不安，但是这种“序列”不是一个集合。 A可能有用的评论是，在上述NFU的模型中，T在秩序上的动作完全是相似的，j对井排序的顺序类型的动作（j确切地说，所以这需要仔细抄袭。：“降序序列”已经在原始非标准模型中具有序列α＞j（α）＞J2（α）中的类似物。 有些人已经断言这种现象（任何NFU的任何模型都没有外部有序的序列）可以被扣除，因为“NFU没有标准模型”。 我们对此进行判断 - 我们确实注意到定理“任何（套装！）的NFU的型号的定理”是NFU本身的定理; 请注意，NFU不会将Universe视为NFU的模型（即使它是一个集合），因为成员关系不是一个集合关系（如果它是，Singleton地图肯定是）。
NFU + Infinity +选择是一种相对较弱的理论：如Zermelo Set理论，即使存在χω也不存在。 与Zermelo集合理论一样，这个理论的自然延伸使它变得更加强大。 我们只是一个例子。 Cantorian套装的公理是粗俗的简单陈述（没有明显的反例），“每个山顶套装很强烈的Cantorian”。 NFU + Infinity + Choice + Cantorian套装是比NFU + Infinity +选择的相当强烈的理论：在其同构理论与顶部元素的良好成立的拓展关系中，与明显的“会员”关系的卡托里亚类型满足了ZFC +“有一个N-Mahlo红衣主教”为每个混凝土的原理。 狡猾的解释没有数学需求：该理论证明了N-Mahlo红衣主教的存在，并以自己的术语在不需要参考良好的扩展关系理论的情况下，支持所有数学结构。 关于“卡托里亚”和“强硬古老”（适用于订单类型以及基数）的更具详细的陈述，产生了更强的无限公理。
我们关于NFU + Infinity + Choice（及其扩展）的基本索赔是，它是一个数学上可维修的替代集合理论，具有自己的内在动机（虽然我们已经使用了Zermelo Style Set理论，以便在此证明其一致性，但整个开发都可以进行单独的TST条款：一个人可以使用TST作为元理论，在TST中显示TST的一致性意味着NFU的一致性，并使用此结果来修改一个人的元理论，从而放弃类型之间的区别）。 我们没有声称它比ZFC更好，但我们申请它是足够的，并且要知道存在足够的替代方案是很重要的; 我们宣称有助于知道有不同的方法可以找到数学，因为我们遇到了“数学是在ZFC中正式化的作用”的荒谬断言。
6.4 NFU的批评
与Zermelo集合理论一样，NFU具有优缺点。 一种优点，其对应于Zermelo集合理论的少数缺点之一，是可以以弗雷格，罗素和白头打印的自然方式定义自然方式的自然数量，基数和序数。
许多但并非所有据称NFU的弊端都是数学的工作基础减少了曾经在ZFC工作的数学家减少的投诉，“这不是我们习惯的东西”。 事实上，少于物体（尽管存在明显的外部一个对应），所以需要习惯。 在其他熟悉的结构中，有时必须制作单例映射或T操作的技术使用来调整类型以获得分层。 这位作者可以证明它是完美的，可以为NFU制定良好的直觉，并有效地与分层理解有效工作; 其中的一部分，但并非所有这一切都很好地熟悉在TST中的事情如何，因为人们也必须制定如何使用颠覆分层的原则的感受。
由于Sol Feferman指出，NFU治疗的一个地方（至少到目前为止给出的那些）显然是一个需要与索引对象的索引家庭合作的情况。 König在福尔摩斯举行理论的引理的证据是一个很好的例子，这种东西如何在NFU中得到复杂。 我们有一个概念，即使用一组“奎琳原子”（Self-Singletons）作为索引集（必然是S.C.集）的概念可能会缓解这种困难，但我们在实践中没有证明这一点，并且仍将存在非洲裔人的情况。
“NFU没有标准模型”的事实（NFU的任何设定模型中的序数不是很好的订购）是对NFU的批评有价值的批评。 但是，我们观察到有其他设定的理论，其中故意提供非标准物体（我们将审查以下其中一些），并且这些设定理论的一些应用程序可以在合适的NFU中复制。 我们还观察到，最大限度地减少秩序的非标准行为的强烈原则，以令人惊讶地在NFU中的无限分子的强烈公理; 秩序的非标准结构允许深入了解与大型红衣主教相关的现象。
有些人认为NFU将通用组和其他大结构与数学流畅性在处理这些结构中的这种事实可能使其成为类别理论的合适介质。 虽然我们有一些倾向于将这类设置理论偏袒，但我们注意到这种观点存在强烈的反作用机。 确实存在大类别，例如所有集合（作为对象）和功能的类别（作为它们之间的态度），所有拓扑空间和同源形态的类别，甚至是所有类别和仿函数的类别。 但是，所有集合和函数的类别，例如，虽然它是一个集合，但不是“笛卡尔关闭”（这一类预计的技术属性）：请参阅Mclarty 1992.此外，如果一个人限制了S.C. 设置和函数，一个人获得笛卡尔封闭类别，这比ZFC的所有集合和功能的类别更紧密 - 以及股份是一个适当的课程的缺点！ 模型的思考仅确认了ZFC中适当类别集合和功能的正确模拟的印象是S.C的适当类别类别。 在NFU中的设置和功能！ 在NFU中可能存在一些应用程序的大型类别，但它们不太可能被证明是有用的，因为有些人有乐观建议。 有关广泛的讨论，请参阅Feferman 2006。
一个重要的一点是，这里的观点存在相对性：NFU世界可以被理解为ZFC世界的非标准初始部分（可以安排包括其整个标准部分！），具有自动形态和ZFC世界（或初始它的部分）可以在NFU中解释为同构的同构级与顶部的广泛关系（通常限制在其强烈的Cororian部分）中; 这两个理论是相互解释的，因此世界的相应观点承认相互翻译。
ZFC可能被视为因延长集合理论的概括（作为有限组概念的概念，用Transfinite替换有限的有限情况以及与被拒绝的绝对无限）的拒绝无限）。NFU的动机可以被视为对集合理论的校正，因为导致天真设施理论灾害的灾害。 Nino Cocchiarella（1985年）已注意到，如果一个人可以激励对分层概念的限制（强烈的扩展性的放弃仅仅是一种常识），那么Frege的概念理论可以被挽救。 但是对对比的印象应该是通过观察来锻炼的，即两个理论似乎似乎以不同的方式看同一个宇宙！
7.积极设定理论
7.1正面理论的拓扑动机
我们不会尝试对积极集合理论的详尽调查; 我们的目标是激励和展示我们对我们熟悉这种最强大的系统的公理，这是我们认为真正的数学上的系统的第三个，我们认为真正的数学上可维护（其他两个是ZFC以及适用于NFU +的强大延伸无限+选择）。
阳性公式是属于含有虚假陈述⊥，所有原子成员和平等公式的最小类式的公式，并在形成连词，障碍，普遍和存在量化下关闭。 如果我们允许有界通用和存在量化（额外的强度来自允许的（∀x∈a|φ，φ）≡∀x（x∈a→φ）;任何情况下有界生物量化，则获得一般的正公式。
积极的理解是通过对罗素悖论（否定）的一个元素的攻击的攻击激发：预期积极集合理论将支持扩展性（像往常）的公理和（广义）积极理解的公理：任何（存在广义）正式公式φ，{xφ}存在。
我们提到的是，我们知道，通过允许一个允许的正式公式的额外概括的积极理解是一致的摘要{x|φ}（用φ通道阳性）是一致的，但结果不与扩展性一致。 我们对这个理论不太熟悉，所以没有额外的评论是为了做到这一点; 请注意，在没有摘要的情况下，在他们的第一顺序逻辑中将公式的翻译在没有摘要中绝对不是积极的，因此人们可能会期望某种困难！
我们熟悉的积极设定理论的动机是拓扑。 我们要在某些拓扑结构下理解集合。 有限的工会和封闭式套件的交叉点关闭; 这支持包含{xφί}和{x|φ＆ψ}，因为{x|φ}和{x |}设置为set。 关闭集合的任意十字路口已关闭：这支持我们采用甚至有界通用量化（如果每个{x |φ（y）}是一个集，则{xx|∀yφ（y）}是所有这些集合的交集，因此应该是关闭，{x∈a|∀yφ||φ（y）}也是封闭集的交叉点，所以应该关闭。允许{x ||φ（y）}的动机当每个{x |φ（y）}存在更加微妙，以来无限的工会不是规则保留闭合性：这个想法是，对（x，y）的一组φ（x，y）关闭，拓扑结构使得封闭式集的投影关闭。拓扑的紧凑性足够了。而且，我们现在需要意识到需要在产品拓扑方面考虑具有多个参数的公式。
额外的非常强大的原则应预计将在拓扑模型中持有：对于任何类CHAVERVER（任何集合），所有集合都包含C作为子类的集合应该是一个集合。 每个班级都有一套关闭。
我们尝试建造这种拓扑理论的模型。 为了与Mac Lane集理论和NF进行类比，我们最初提出通过又是另一种方式折叠TST构建的模型。
我们使用的TST模型包含一个类型0对象u。 请注意，这意味着每种类型都是有限的。 每个类型的对象被解释为最终集合理论的非款待物体更好，更好地近似。 你近似任何集合。 对于任何设置A近似值的n + 1近似值旨在是A的元素的n型近似值的组。
这意味着我们应该能够指定当N + 2 SET AN + 2类型的类型N + 1 SET AN + 1：+ 2的每个（类型N + 1）元素时，应优化AN + 1的（类型n）元素，并且应通过一个元素的每个元素或更多的AN + 2元素。 除了类型0对象U的信息，它还改进了类型1的两个元素，这给出了由类型n + 1集合设置的N个类型的改进概念的完整递归定义。 每个类型N + 1套装都改进了唯一的n个组，但可以通过许多类型的n + 2套来改装。 （没有u在其传递关闭的“遗传资金有限”的集合通过在下一个更高级别的一个精确类似的组成。）在x = y（如果它们是相同类型的情况下，将设定理论模型的所有元素的所有元素定义了一般关系x ~y或者，如果有一系列的细化，从较低类型的x，y的x，y的一个引进到更高类型之一。
我们的第一模型的正面结构理论的对象是序列Sn，每个SN A类型为N组，每个N为单位+ 1 refine SN。 我们说sn∈tn+ 1给所有n。 建立如果sn∈tn+ 1或SN = TN为假，则sk∈tk+ 1或（分别）SK = TK对于所有K＞N为假。 更一般地，如果SM ~TN是假的，则SM + k~tn + k对于所有k≥0而言是假的。
与∈和〜具有单调性的语言的公式，具有单调性属性：如果φ是通用正公式，并且其一个类型的版本是假的，那么通过提高类型和改进公式中的自由变量的值获得的任何版本的任何版本都将继续是假的。 如果允许否定，为什么这将无法工作并不难。
如果在预期模型的语言中的所有键入的正式公式φ的所有键入的正式公式φ（以适当类型的值替换为替换为的空闲变量的值）是真的，则也不太难点是真的，因此在预期的模型中，原始公式φ是真的。 一个困难具有存在的量化：一个事实是，一个人在每个键入版本中有一个证人（∃x.φ（x））没有立即在预期模型中立即提供一个序列。 Ω的树属性在这里帮助：只有在每个级别都有最多的近似体内的近似值，所以可以在每个级别选择一个近似的改进，它的无限更高的水平作为证人（∃x.φ（x）），然后限制注意对近似的细化; 以这种方式，一个人不是各种类型的任意证人序列，而是一种“收敛”序列（预期模型的元素）。
然后，一个广泛的正公式φ（x）通过将每个类型n中的证人组的证人组考虑到φ（x）的组; 这些组本身可用于构建会聚序列（具有在任何给定阶段发现的一些明显的元素可能需要丢弃;一个定义Sn + 1作为那些不仅存在当前类型N处的φ（x）的N型近似的集合。在每个后续类型处的见证φ（x）的改进。所获得的集合S的序列将是预期模型的元素，并且具有预期的扩展。
最后，对于任何类别的序列（预期模型的元素）C，存在包含所属的C的所有元素：Let CN + 1是序列S的序列S的术语SN，每个类型N为C，以构建将具有所需属性的序列C.
通过指示如何传递到Transfinite类型的近似，可以使该理论更强。 α+ 1近似到集合将始终是α近似的集合; 如果λ是极限序数，则λ近似度将是近似值的序列{sβ}β＜λ＜λ＜λ＜λ在早期的级别中的序列（所以我们上面的“预期模型”是较大模型中的ω近似的一组。
除了存在量化的处理之外，上述一切都将在任何限制阶段工作。 如果正在构建模型的序阶段是弱紧凑的红衣主教，则存在量词参数将起作用。 这是一个适度强大的大型基本财产（对于不可数的红衣主教）：例如，它暗示了每个N的适当类别的inaccessible和N-Mahlo Cardinals的存在。
因此，对于每个弱紧凑的红衣主教κ（包括κ=ω），Transfinite型理论中的型型μ级似乎概述了弥补了集体理论的模型，具有扩展性，广义的积极理解和关闭性。 我们将把这个模型称为“κ-hyperuriverse”。
7.2系统GPK
+
∞
Olivier esser
我们现在提出了一种公理理论，其具有κ型ΩΩ的κ型Ω（其一些）型号。 这是一阶理论，具有平等和成员作为原始关系。 该系统称为GPK
+
∞
并描述于1999年的Esser。
扩展性：具有相同元素的集合是相同的。
