替代公理设定理论（三）
我们有两点评论。 首先，设置理论家的精神家具似乎包括适当的类，但通常对他们来说，所有谈论适当的类都可以解释（适当的类是有些感觉“虚拟”）。 其次，这个理论（特别是具有强大尺寸的强制性的版本）似乎捕捉到绝对无限的唱歌的直觉。
具有较强的理论与课程，但仍然基本上是标准集理论的一个版本，是Kelley-Morse集合理论，其中加强了课堂理解，以允许量化公式中的所有类别定义课程。 KELLEY-MORSE SET理论不是有限的公正，它比ZFC强于ZFC的证据，它强于ZFC。
5.2 Ackermann设定理论
我们展示的下一个理论实际上嵌入了Paul Finsler的设定的理论建议，这些建议（作为整体）不连贯（参见其他互联网资源中提供的Finsler集合理论的注释）。 Ackermann后来（显然独立）再次呈现。 从标准的情况下，所有的出现不同的理论（这是我们的第一个真正的“替代设置理论”），但事实证明是与ZF（并且可以添加选择以使其与ZFC相同的理论是基本相同的理论。
Ackermann Set理论是一个课程的理论，其中一些类是集体的，但是没有简单的定义所在的课程（实际上，理论的整个力量是集合的概念是无义的！）
所有对象都是类。 原始概念是平等，成员和塞地。 公理是
扩展性的公理：具有相同元素的类相等。
类理论的公理：对于任何公式φ，存在一个类{x∈v|φ（x）}，其元素正是设置x，使得φ（x）（这里表示所有集合的类）。 [但请注意，这里的所有元素都不是设置的。
元素的公理：一组的任何元素都是一组。
子集的公理：集合的任何子集是一组。
设定理解的公理：对于任何公式φ（x），它不提到熟悉的谓词，其中x以外的所有自由变量表示φ（x）的属性，φ（x）仅为set x，{xφ}等级{xφ}（）由于所有合适的x都是绘制的，因此逐个理解存在）是一个集合。
人们可以方便地为该系统添加基础的公理和选择。
要查看这一点（主要是了解集合理解所说的）这是一个好主意经历一些衍生。
公式x =a∨x= b（其中a和b设置）没有提及塞替，只有设置a和b作为参数，并且只有设置。 因此，它定义了一个集合，并且对集合是真的。
公式∃y（x∈y＆y∈a），其中a是一个设置，没有提及塞地面，只有设置A作为参数，并且只有由元素的公理组（任何证人y属于设置A，所以y是一个设置，所以y是一组，而x属于SET Y，所以x是一组）。 因此，套件是正确的。
公式∀y（y∈x→y∈a），其中A是一个设置，没有提及塞塞，只有设置A作为参数，并且仅由子集的公理设置为真实。 因此，集合为真的。
这个系统证明了无穷大的大惊喜。 公式X X X明显定义了一组空集∅。 考虑公式
∀i[∅∈i＆∀y（y∈i→y∪{y}∈i）→x∈i]
此公式尚未提及塞富集，并且没有参数（或只是集合参数∅）。 所有集的v类都有∅作为成员，并且如果它通过配对和联合来包含y，则包含y∪{Y}（已显示）。 因此，满足该公式的任何x是一个设定的，所以公式的延伸是一个集合（显然是通常的von neumann自然数量）。 因此，在Ackermann集合的集合中如此无限。
它可能（但更难）在成立的良好集合的领域中证明更换（这可以是如果类的基础作为AXIOM添加了类别，则可以是集的整个宇宙）。 可以证明Ackermann集合理论关于良好成立的集合的定理是ZF的定理（Lévy1959; Reinhardt 1970）。
我们试图激励这个理论（根据累积层次结构）。 将课程视为仅存在潜在存在的集合。 该套装是实际构造的那些类。 课程的转型似乎是毫无疑问的。 通过构建累积层次结构的一个阶段，可以构建实际集合的所有集合：这证明了阶级理解。 实际集的元素是实际集合; 实际集的亚级是实际集合; 这些似乎没有问题。 最后，我们断言，无需参考实际集合的域所定义的任何类集合，这些类是在实际的特定对象方面定义的，并且仅用于包含实际元素的特定对象是实际的。 当一个人在最后一个断言周围得到一个人的思想时，它似乎是合理的。 关于这种定义的一个特定事项是它是“绝对”：所有实际集合的集合是一个适当的类，而不是自身的实际集合，因为我们没有致力于停止在任何特定点处的实际集合的构建; 但是满足设定理解条件的集合的元素不依赖于我们做出的潜在收藏量（这就是为什么不允许在“定义”公式中出现现实谓词）。
它可能是少数人的意见，但我们相信（在一些沉思之后），Ackermann公理有自己的独特哲学动机，特别是因为它结果基本相同的理论从显然相当不同的起点，因此。
Ackermann Set理论实际上证明有课程将非设定类作为元素; 套和课程之间的差异可被证明不能与von neumann-gödel-bernays课堂理论一样。 快速证明这一问题的顺序。 有一个适当的von neumannordinω，所有设置von neumann arminals的类。 我们可以使用集合理解证明ω+ 1的存在：如果ω是最后一个序数，那么“x是von neumann ordinal with后继者”将是一个没有提到的智慧，没有参数（所以所有参数集），并且只有设置。 但这将使所有集合序列的类集合，并且所有集合序列的类都是ω本身，这将导致空腹浮动悖论。 所以ω+ 1必须存在，并且是一个适当的类，适当的类ω作为元素。
有一个ZF的元定理称为反射原理，它断言，宇宙v的任何一阶断言也是如此。 这意味着对于ZF中的任何特定证据，都有一个设置的m，它也可能是宇宙（因为任何证据只使用有限的许多公理）。 合适的这样的设置M可以被解释为群体的宇宙，实际宇宙V可以被解释为类的宇宙。 如果它是极限等级，则设置M具有在元件和子集中断言的闭合特性; 可以选择具有在设定理解中断言的许多封闭特性（转换为M），作为Ackermann设定理论的证据需要。 该机器是习惯于表明Ackermann设定理论证明ZF无法证明的内容没有：使用反射原理将Ackermann集理论的证据转化为ZFC中的证明。
6.新的基础和相关系统
6.1 NF的定义
我们已经提到了，可以证明Sett TST的简单类型理论可以相当于无型理论（Mac Lane集理论，AKA有界Zermelo集理论）。 我们简要说明如何执行此操作：选择模型中的任何MAP F，该模型是与域的注射域的Singlerons的Singlerons of type 1中包含的类型（类型为0对象的单例）是一个例子）。 用类型1对象f（{x0}）识别每个类型0对象x0; 然后，介绍由扩展性所需的不同类型的对象之间的那些标识：每个类型0对象用类型1对象识别，并且易于识别的元辅助显示每种类型n对象都用某种类型n + 1对象识别。 结果结构将满足除分离之外的Zermelo Set理论的所有公理，并将满足每个量化在一个集中界定的所有分离实例（因为TST中的每个实例都有一个类型的量词，所以成为Mac Lane集理论解释中的该量码的限制集。 如果TST的原始模型满足这些公理，它将满足无穷大。 最简单的映射F只是0型对象的单身的标识，它将具有用自己的单例（基础故障）识别每个类型0对象的效果。 它可以布置用于满足基础的结构：例如，如果选择保持类型0可以是众所序的，并且在井排序中用相应的段标识为0的类型0元素，使得类型0成为von neumann序数。 （这种结构永远不会模拟替代品，因为存在的Cardinals [类型的基数]可数序列，其可明确和低于宇宙的基数。）请参阅Mathias 2001A以获得完整的帐户。
Quine的设置理论新的基础（缩写NF，1937年提出的“数学逻辑”的新基础），也基于用于在连续类型中识别对象的过程，以获得无型理论。 然而，在NF和相关理论的情况下，该想法是识别N + 1类型的全部; 类型层次结构将完全折叠。 这是一个明显的困难，这就是陈列奇的定理表明，型n + 1（是n型的“电源集”）应该本质上大于n型（并且在一些感官中，这是真实的）。
我们首先概述Quine认为可能有可能折叠类型层次结构的原因。 我们从上面记得：
我们承认由自然数索引的类型对象（这纯粹是印刷方便;没有涉及到自然数的实际参考）。 类型0由“个人”居住，没有指定的结构。 类型1由类型0对象居住，并且通常类型类型n + 1由类型N对象中有所居住。
类型系统由语言的语法强制执行。 原子句子是方程或会员声明，如果它们采用表格xn = yn或xnðyn+ 1之一，它们只能良好地形成。
TST的扩展性的原理采用表格
一个+ 1 = bn +1↔∀xn（xn∈an+1↔xn∈bn+ 1）;
每个n有一个单独的公理。
TST的理解的原理采用表格（对于类型n，公式φ和φ中的可变An + 1而不是自由选择）
∃an+1∀xn（xn∈an+1↔φ）
有趣的是观察到TST的公理正常类似于天真集合理论。
对于任何公式φ，通过在φφ中的变量上升高每个类型索引来定义φ+作为所获得的公式。 Quine观察到通过在原始证明中提高所有类型指数，可以将φ的任何证据转换为φ+的证据。 此外，每个对象{xn|φ} n + 1表示理论允许我们在下一个更高类型中有一个精确的模拟{xn +1bφ+} n + 2; 这可以迭代以在每个更高类型中生成任何已定义对象的“副本”。
例如，自然数的Frege定义在TST中工作。 数字32可以定义为具有三（类型0）元素的所有（类型1）集的（类型2）集。 数字33可以被定义为具有三（类型1）元素的所有（类型2）集的（类型3）集。 数字327可以定义为具有三（类型25）元素的所有（类型26）集的（类型26）集。 等等。 我们的逻辑甚至没有允许我们说这些是一系列不同的物体; 我们不能询问这个问题是否是平等的。
Quine建议，实际上，我们暂时假设所有φ的φίφ+; 如果我们能证明φ，我们可以证明φ+，但这些句子的真实值是相同的。 然后它变得强烈诱人，以识别{xn + 1 |φ+} n + 2，因为我们可以说这两个对象的任何东西都是相同的（而我们的新假设意味着我们将对相应的断言分配相同的真值值这两个物体）。
我们获得的理论NF可以简单地描述（但谨慎地）是作为具有与TST具有相同公理的平等和成员资格的一阶无型理论，但没有类型的区别。 如果这不是非常仔细阅读的话，可能被视为暗示我们采用了天真集合理论的理解公理，
∃a∀x（x∈a↔φ）
对于每个公式φ。 但我们没有。 我们仅采用了那些用于公式φ的公理，其可以通过在变量之间的类型的区分（不引入不同类型的变量之间的任何标识）来从TST的公式中获得。 例如，无法通过从TST公式丢弃类型的区别来获得x∉x，而不识别不同类型的两个变量。 设定理论的非典型语言的公式，其中可以以用于获得TST公式的方式分配给每个变量（无论发生相同类型的情况）分层。 NF的公理是强大的扩展性（无套）和分层理解。
虽然已经通过分层理解没有提供了集合{x|x∉x}，但提供了在任何Zermelo集合理论的任何变体中未发现的其他一些。 例如，X = X是分层公式，并且通过理解的实例提供通用SET v = {x x = x}。 此外，v∈v是真的。
可以在TST中进行的所有数学结构可以在NF中进行。 例如，可以构造弗雷格的自然数，因此弗雷格自然数的设定N可以。 例如，NF提供弗雷格自然数1，所有单元素集的集合。
6.2 NF的一致性问题; 已知的一致子系统
没有矛盾从NF遵循矛盾，但遵循一些不舒服的后果。 首选的公理是已知在NF中的失败：Specker（1953）证明宇宙无法批量序。 （由于宇宙无法得到批量秩序，所以无限的“Axiom”是NF的定理：如果宇宙是有限的，那么它可能被批准。）这可能被认为是人们对采用这种危险理解方案的预期，但事实证明不是问题。 问题是扩展性。
Jensen（1968）表明，NFU（新的诡密集），削弱了扩展性的新基础的版本，以允许许多非套装（如上所述，如上所述）是一致的，与无限和选择一致，也是一致的随着无限远的否定（当然认为选择）。 NFU，它具有NF的全分层理解公理，其所有可怕的大套装，比Peano算术在一致性强度较弱; NFU + Infinity +选择与具有无限和选择或Mac Lane集理论的TST相同的强度。
已知通过削弱理解而不是扩展性而获得的其他一些NF片段是一致的。 NF3，其中一个人只接受可以使用三种类型类型的理解公理的那些实例的版本被认为是Grishin（1969）一致的。
NFP（预测NF），其中NF的版本仅接受可以键入的理解公理的实例，以便成为预测TST的理解的情况（如上所述在类型理论下）是由Marcel保持一致的Crabbé（1982）。 他还展示了理论NFI的一致性，其中一个人允许哪个分层理解的情况，其中没有比分配给所定义的集合的变量高的类型（允许与所定义的集合相同类型的相同类型的绑定变量，这允许一些难以置信）。 人们想将NFI的名称读为“Impriticative NF”，但一个人不能，因为它比NFP更为令人生畏，而不是比NF本身更为骁勇善战。
NF3 + Infinity具有与二阶算法相同的强度。 NFI（这足以限制自然数量足够的令人生畏，并且对最小上限公理而不够）。 NFP相当于算术的较弱片段，但是（与NFU不同）证明无穷大：这是污染物的否定证明对可经持续的理论的公理的否定的唯一应用。 任何一个联盟都是真的（在这种情况下，我们很容易得到所有NF和斑点的无限远的证明）或联盟不是真的，在这种情况下我们注意到所有有限集都有工会，所以必须有一个无限的集合。 NF3对令人惊讶的原因具有相当大的兴趣：事实证明，所有的TST3（简单类型理论有三种类型）的无限模型都满足了模糊的模式φίφ+（当然这只有一个或两种类型的公式有意义），结果结果足以表明对于TST3的任何无限模型，有一个具有相同理论的NF3模型。 NF4是与NF（Grishin 1969）的理论相同，我们不知道如何获得TST4的模型来满足歧义。
最近，Sergei Tupailo（2010）已经证明了NFSI的一致性，由扩展性组成的NF的片段和这些理解的那些情况（{x∈a|φ}存在）分层，其中分配了变量x最低类型。 Tupailo的证据是技术性的高度技术，但MarcelCrabbé指出了设定理论的语言的结构，其中该组是有限和Cofinite系列满足该理论（因此它非常弱）。 应该注意的是，Tupailo的NFSI模型满足了对Crabbé非常简单的模型不满意的额外命题，例如每个Frege自然数的存在。 它是一些兴趣，这个新的片段是什么是获得NF一致片段的独立方式。 请注意，NFU + NFSI是NF，因为NFSI具有很强的扩展性。 此外，NFP + NFSI是NF，因为NFSI包括联盟。 MarcelCrabbé在2016年澄清了NFSI至NF3的关系。图尔多的理论被认为不是格兰蛋白的片段，因此代表了第四种已知方法，得到一致的碎片。
6.3 NFU + Infinity +选择中的数学
在这些设定的理论中，只有无限远的NFU，无限的选择和可能进一步的强大的公理（更多Anon）都是在数学上可维护的。 我们研究了该理论的模型的构建及数学在这个理论内部的方式。 这一发展的来源是福尔摩斯1998.罗斯特1973年在NF开发数学基础：它可以相当容易地适应NFU）。
NFU的模型可以构造如下。 众所周知的模型理论结果允许建造ZFC的非标准模型（实际上，Mac Lane集合理论的模型足够的模型），其外部同网j移动等级vα。 我们规定了J（α）＜α的一般性损失。 我们的NFU模型的宇宙将是Vα，会员关系将被定义为
x∈nfuy≡defj（x）∈y＆y∈vj（α）+1
（其中∈是非标准模型的成员关系）。 证据表明这是NFU的模型并不长，但它涉及足够的读者在其他地方。 基本思想是，自动形态允许我们将宇宙Vα的（明显）电源集Vα+ 1编写为宇宙中包含的“较小”VJ（α）+1; Vα-VJ（α）+1中的左侧对象变为铰接。 注意，Vα-VJ（α）+1是NFU模型的大部分域中的域中的型号相当强烈的感觉：几乎所有的宇宙都是由恳求组成的（请注意，每个Vβ+ 1是Vβ的电源组，因此尺寸严格更大，而不是一个但是许多阶段干预vj（α）+1（集合“）和vα（”宇宙“）之间的阶段。 这种结构与Jensen使用的建设有关，但显然在Boffa 1988中明确描述。
在任何型号的NFU模型中，看起来就像这些模型之一的结构都可以在创立的良好的扩展关系中构建。 与顶部元素的良好建立的延伸关系的同构阶级理论看起来像通常累积层次结构的（初始段）的理论，因为Zermelo样式集理论中的每组都是由同构型唯一确定的隶属于隶属关系的限制。 令人惊讶的是，我们不仅看到了一种看起来像累积层次的初始段的结构：我们还看到这种结构的外部因子，其移动等级（因此不能是一个集合），在其中我们可以复制上面的模型结构并获得诠释NFU内部的NFU！ 由地图T引起的内胚性，其将关系R的同构r为R = {×x}，{Y}⟩|xry|xry}发送相同位r。 没有理由相信T是一个函数：它将任何关系r发送到与TST的一个类型高的关系R。 显着的是，创立良好的扩展关系的同构类型不是一个集合功能（我们不会在这里显示这一点，但我们对下面的背部的讨论应该给出这个原因的好主意。 查看福尔摩斯（1998年）全面讨论。
这表明，尽管存在普遍集合，弗雷格的自然数和其他大物体，但仍然存在弗雷格自然数和其他大物体的潜在世界观点可能与Zermelo风格集合理论不同; 我们以某种方式在Zermelo-Sique集合理论中构建NFU的模型，NFU本身在内部反映了这种结构。 进一步令人惊讶的结果（HOLMES 2012）是，在由上面的非标准Vα构造的NFU的模型中，非标准Vα上的成员关系是一阶可定义（以非常精细的方式）关系∈nfu; 这是非常令人惊讶的，因为它看起来很漂亮，因为在这个结构中已经丢弃了关于潜在的延伸的所有信息。 但事实证明不是这种情况（这意味着似乎没有内部信息的诡计，仍然存在这些模型中的大量结构）。
