替代公理设定理论（二）

谓词TST的语法与原始系统的语法相同。 扩展性的原理也是如此。 预测性TST的理解的原理采用表格（对于任何选择N，公式φ和不含φ的可变An + 1，满足N + 2或更大的参数出现在φ中的限制，也不是类型n +的任何量化。在φ中出现1或更高版本）

∃an+1∀xn（xn∈an+1↔φ）

预测数学不允许不受限制的数学归纳：在令人谨慎的类型理论中，我们可以定义0和“继承者”A +的一个集合，就像我们上面的那样在天真集理论中（在给定类型n）中，然后定义了一组自然数字：

nn + 1 = {mn|∀an+ 1 [[0n∈an+ 1＆∀bn（bn∈an+ 1→（b +）n∈an+ 1）]

→mn∈an+ 1]}

Russell将反对设置的NN + 1是“定义”的关于所有集合AN + 1的事实：某事物是在它属于所有类型N + 1个电感集的情况下的N + 1自然数。 但是，N + 1型中的一个设置为“定义”是NN + 1本身。 （独立于替代主义者顾客，一个确实需要无穷大的公理，以确保存在所有自然数;这通常被添加到TST中，就像选择的公理一样）。

出于类似的原因，预测数学不允许分析最小的上限公理（在确定的真实实施中的这种公理的证明，因为Dedekind Cuts出于同样的原因而失败）。

Russell通过采用可减少的公理来解决这些问题，从而消除了序列限制，但在后来的评论中，他提倡放弃这种公理。

大多数数学家不是令人追溯者; 在我们看来，追溯性主义者反对意见的最佳答案是否认这种理解公理可以被恰当地解释为定义（尽管我们承认我们似乎经常在φ中经常发言，但条件是“定义”{xφ}的条件。

应该注意的是，在遵循令人崇高的顾忌时，可以进行大量数学。 在TST的预测版本中不能定义一组自然数，但可以定义自然数的单身集合，可以用来证明一些诱导的情况（足以做出相当多的基本数学）。 类似地，可以执行实数的Dedekind结构的版本，其中最小界限公理的许多重要情况将可提供。

类型理论仍在使用中，主要是在理论计算机科学中，但这些是功能的类型理论，复杂性类似于或大于PM系统系统的复杂性，幸运的是在本研究的范围之外。

4. Zermelo设定理论及其改进

在本节中，我们讨论了通常集合理论ZFC的发展。 从宙斯的负责人那里没有像雅典娜一样涌现出来！

4.1 Zermelo集理论

Zermelo（1908）的原始理论Z具有以下公理：

扩展性：具有相同元素的集合相等。 （原始版本似乎允许所有没有元素的非套装（原子），就像我在朴实集理论下的上述讨论中一样）。

配对：对于任何对象A和B，存在一个集合{a，b} = {x |x =a∨x= b}。 （原始公理也提供了空集和单例集）。

Union：对于任何设置A，存在一个集合∪a= {x |}（x∈y＆y∈a）}。 A的联盟包含A的所有元素元素。

电源集：对于任何设置A，有一个设置℘（a）= {x |x|∀y（y∈x→y∈a）}。 a的电源集是A的所有子集合的集合。

无限：有一个无限的套装。 Zermelo的原始配方声明了含有∅和关闭的套装的存在：{∅，{∅}，{{∅}}，...}。 现在更常见的是断言包含∅的集合的存在，并在von neumann后继操作x↦x∪{x}下关闭。 （这些公理中都不在其他公理的情况下暗示另一个，尽管它们具有相同的数学强度的理论）。

分离：对于对象的任何属性p（x）和任何设置a，有一个集合{x∈a|p（x）}，其中包含与属性p的所有元素。

选择：对于成对不相交Nonempty集的每个组C，有一个集合与C的每个元素的交叉点恰好一个元素。

我们注意到，我们不需要一个严重的Axiom，因为它在Zermelo的原始公理集中的Axiom列表中经常包含在Axiom列表中）：任何对象的存在（除非我们使用自由逻辑）以及逻辑保证）以及分离将执行诀窍，即使我们使用无穷大提供的设置逻辑将服务（无穷大的公理可以重新遗留，以便有一个集合包含没有元素的所有集合（没有预先存在，并且在所需的后继操作下关闭并关闭）。

除了选择之外的Zermelo Set理论的每一个公理都是天真集合理论的公理。 Zermelo选择了足够的公理，使得设定理论的数学应用可以进行并限制公理，使得悖论显然不能得到。

Z的最通用理解公理是分离的原理。 如果我们尝试通过构建集合r'= {x∈a|x∉x}来复制russell悖论，我们发现r'∈r'↔r'∈a＆r'∉r'，我们从中浏览了r'∉a。 对于任何设置A，我们可以构建不属于它的集合。 另一个方法是z证明没有通用集：如果我们有通用集v，我们会有天真的理解，因为我们可以为任何属性p（x）定义{x | p（x）}作为{x∈v|p（x）}，包括致命的xīx。

为了应用分离的公理，我们需要有一些设置a从中雕刻出使用属性的子集。 另一个公理允许建造大量的套装（在设定理论之外的古典数学所需的所有集合，尽管甚至Cantor都构造了表观安全性的所有集合）。

普遍集合的消除似乎在某些季度引起抵抗力（许多替代设定理论恢复它，以及带集和类的理论至少恢复了所有集合的宇宙）。 另一方面，普遍集合的消除似乎与Cantor的想法相比，悖论的问题是他们涉及绝对无限的收集 - 声称太大的“套装”。

4.2从Zermelo将理论从ZFC设置为ZFC

Zermelo Set理论以某种方式修改。

分离的公理的制定是明确的：“对于具有平等和成员资格的一阶语言的每个公式φ，{x∈a|φ}存在”。 Zermelo的原始配方通常含糊地对属性更加贴（Zermelo本人似乎已经反对现代制定过于限制性）。

通常废弃的非套装（因此，扩展性的配方较强），尽管ZFA（Zermelo-Fraenkel设定理论与原子）用于首先选择的第一独立性证明。

FRAENKEL添加了替换的公理方案，使得可以构建较大的组（均匀ℵω在Zermelo设定理论中存在）。 基本思想是，任何相同的系列与集合相同的尺寸是一个集合，其可以逻辑地制定如下：如果φ（x，y）是函数公式∀x∀y∀z[（φ（x，y）＆φ（x，z））→y = z a是一个设置，然后是一个集合{y|∃x∈a（φ（x，y））}。

添加了基础的公理方案，作为宇宙的宇宙就是这样的明确概念。 累计层次结构的思想是我们在由序列所索引的一系列阶段构建集：在第0阶段，构造空集; 在阶段α+ 1，构造了阶段α组集合的所有子集; 在极限阶段λ中，构造具有折射率小于λ的所有阶段的结合。 替换对于实现此想法很重要，因为z仅允许一个构建属于阶段Vn和vω+ n的组，对于n自然数（我们使用符号vα的符号在阶段α构造的所有集合。 基础公理的目的是断言每套属于一些vα; 最常见的配方是对于任何非空置A的神秘断言，存在a的元素x，使得X与A不相交。要看出这至少是基础的暗示，请考虑必须有一个最小的α，使得达到vα，以及任何这个vα中的X只有较小等级的元素（如果有的话），而且不在A中。

Zermelo Set理论与累积层次结构有困难。 Zermelo公理（或Zermelo原始形式）的通常形式不证明除非α是有限的，否则vα的存在。 如果重新重新重整无穷大的公理以断言VΩ的存在，那么被Zermelo Set理论的集合所证明的等级就是那些在本理论的自然模型Vω+ω中出现的等级。 此外，Zermelo Set理论不证明套件的传递封闭物的存在，这使得难以分配一般集合的排名。 Zermelo Set理论加上每个集合属于vα的断言，即vα是一个设置的基础，预期的vα存在的存在（不是所有顺序α的等级的存在，而是可以证明存在每个集合的等级的存在）和传递闭合的存在，并且可以在Zermelo设定理论中解释，没有额外的假设。

想要检查Zermelo集合理论的模型的读者，在这方面表现出对此的病理特性可以咨询Mathias（2001b）。

选择的公理是对某些数学家怀疑的对象，因为它不是建设性的。 它已成为习惯于指示集合理论的证明使用选择时，尽管大多数数学家接受其作为公理。 替换的公理有时被收集的公理替换，这是任何公式φ（x，y）所归档的：

∀x∈a∃y（φ（x，y））→∃c∀x∈a∃y∈c（φ（x，y））

请注意，φ此处不需要功能; 如果为每个X∈A，有一些ys，使得φ（x，y），有一个设置为每个x∈a，在该设置中有y，使得φ（x，y）。 构建该组的一种方法是要考虑，对于每个X∈A，所有yS的最小级别都是φ（x，y）并将它们放入C.在存在ZFC的所有其他公理中，更换和收集是等同的; 当公理学被扰乱（或当逻辑被扰动时，如在直觉集理论中）时，差异变得重要。 基础的公理等同于这里的∈诱导，但在其他情况下不是：∈诱导是任何公式φ的断言：

∀x（（∀y∈x（φ（y））→φ（x））→∀xφ（x）

即，如果它的所有元素都是真的，则任何设置的任何内容都是如此，其每种集合都是如此，而不包含所有集合而无需异常。

4.3 Zermelo集理论的批判

对Zermelo Set理论的共同批评是，它是选择避免悖论的公部的特设选择，我们没有理由认为它实际上实现了这一目标。 有两个原因，我们认为这种反对意见是毫无根据的。 首先是类型的理论（这是天真设施理论的原始单个修改的结果）可以很容易地显示在一致性强度和Z的表达动力中，以限制分离的公式φ中的所有量子φ中的所有量子必须是界定在一套; 这对Z中的公理选择特别任意的观点来说令人怀疑。 von neumann-gödel-bernays课程理论（下面讨论的）成为ZFC的保守延伸的事实表明，完整的ZFC是关于Cantor关于绝对无限的思想的精确制定（而且是任意的）。 此外，基础公理的引入将该类的设定理论识别为特定类结构类的理论（纯粹成立的集合），其中Zermelo公理似乎似乎保持（无论是明显的，是否替换是另一种问题）。

这些理论经常与大型基本公理（存在不可接受的红衣主教，Mahlo Cardinals，弱紧凑型Cashinals，可衡量的红衣主教等）延伸。 这些不向我们发出一种新的集合理论，而是表示Zermelo风格集合理论的大量宇宙的问题。

Zermelo Set理论的选择（抛开ZFC）的选择规定了使用与Cardinals（等使用Frege Natural Numbum）或使用井排序等同类别的等价类别的使用。 使用Defekind削减实际的制定没有困难（一旦引入了理性）。 使用了Von Neumann Ordinals而不是Cardinal和序数的等价类配方：von Neumann序数是一个传递集合（其所有元素都是其子集中的所有元素），这是由成员资格充分订购的。 顺序排序的顺序类型是相同长度的von neumann序数（需要替换的公理，以证明每个设置井订购有序类型;这可能在Zermelo集理论中不能真正，其中von neumann序ω+ω无法证明存在，但肯定会有很好的订购类型和更长的类型）。 基数| A | 被定义为A的顺序最小订单类型（这需要选择工作;没有选择，我们可以使用基础来定义一个集合A的基础，作为所有集合的集合，与A且属于含有的第一vα含有相同的集合。 这是哥伦的想法与现代概念同意的尊重; 他似乎认为他可以将至少基本数字定义为等价类（或者至少是解释他所说的一种方式），尽管这种等同类当然是绝对无限的。

4.4弱变化和高度过度的理论

使用一些较弱的ZFC子系统。 Zermelo Set理论，上述系统Z仍在研究。 进一步限制分离与配方的分离，其中所有量子在组（Δ0分离）中界定（Δ0分离）产生“有界Zermelo设定理论”或“Mac Lane集理论”，所谓的，因为它已被提倡作为数学的基础由Saunders Mac Lane（1986）。 有趣的是，观察到Mac Lane集理论精确等同于一致性强度和与无限分子的公理的表达动力。 Z严格比Mac Lane集理论更强大; 前理论证明了后者的一致性。 请参阅Mathias 2001A，以进行广泛的讨论。

设立理论KPU（Kripke-Platek集合理论与恳求的诡计，见Barwore 1975）对于模型理论的技术原因感兴趣。 KPU的公理是弱的扩展性，其允许术枕，配对，联合，Δ0分离，Δ0收集和任意式的诱导。 注意缺乏电源集。 KPU的技术优势在于，所有的建筑都是“绝对”的合适感。 这使得该理论适合于开发递归理论的延伸。

ZFC的主导地位无处不明显，而不是以极大的热情和意识在没有基础公理的ZFC版本中体现的这种结构理论的非常略微变化的反应。 应该指出的是，基础公理不是原始系统的一部分！

我们描述了两种可能的过度的理论中的两个理论（Zermelo-Frankel设置理论没有基础）。 这种理论的来源是1988年的Aczel。

在下列段落中，我们将使用术语“图表”，以及关系R满意的“扩展图”

（∀y，z∈field（r）[∀x（xry≡xrz）→y = z]。

图G的装饰是具有F（x）= {f（y）|您的所有x的属性f的函数f。在ZFC领域，所有良好的关系都有独特的装饰，非良好的关系没有装饰品。 Aczel提出了他的反基础公理：每个集图都有独特的装饰。 Maurice Boffa被认为是一个更强大的公理：域域包含所有元素的G-Premages的延伸集图G的每个部分，重点装饰都可以扩展到所有G的内注射装饰。

Aczel系统与较少的令人不良物体的Boffa系统不同。 例如，Aczel理论证明只有一个物体是它自己的唯一元素，而Boffa理论提供了适当的这些物体。 Aczel系统特别受欢迎，我们自己目睹了对累积层次结构的这种颠覆性的热情。 无疑不是唯一一个指出这一点的人，但我们发现并指出了其他人至少有矛盾的理论具有完全明显的累积层次模拟。 如果Aα是秩，则继承者等级Aα+ 1将由所有这些集合组成，所有这些集合都可以与图形G相关联，其中具有所选的点T，其中包含来自Aα的G字段的所有元素。 零和限制等级建造在ZFC中。 每个组属于α的Aα，α小于或等于其传递闭合的基数。 （它似乎难以对横向理论的世界施加等级，尽管它可以完成：正确的自我单身人士是一个明显的困难，从！）开始！）。

这是真的（并且是计算机科学中的应用程序的对象），以便在某些目的中承认反射结构是有用的。 Aczel理论允许的这种反射性对于一些此类应用有用。 然而，这种结构在良好成立的集合理论（使用成员以外的关系）中，几乎没有更多的困难，以及Aczel的理论（甚至通过Boffa的更自由理论）承认的反射性并不靠近这种非良好创立的那种发现在真正的替代设置理论，特别是具有通用集合的理论。 这些理论是常规理论ZFC的近似变体，由历史上的最后一次公理扰动到这个系统（虽然公平地，基础的公理是可以说明通常设定理论所在的独特结构;该因此，反基础公理邀请我们思考不同，即使密切相关的通用结构）。

5.课程的理论

5.1 ZFC课堂理论

即使是那些接受Zermelo风格的数学家也是标准的理论（其中大多数！）经常发现自己想要谈论“全套”，或“所有顺序”或类似概念。

Von Neumann（实际上制定了函数理论，而不是集），Gödel和伯尼亚也开发了密切相关的系统，除了ZFC中的套装，这些集合的一般集合。 （在Hallett 1984中，von Neumann的系统是第一个制度，其中替换的公理正确地实施了[Fraenkel的配方有技术问题]，因此它实际上可能是ZFC的第一次实现。）

我们介绍了这种理论。 它的对象是课程。 在课堂中，我们确定了那些是集合的元素。

扩展性的公理：具有相同元素的类是相同的。

定义：X类是一个设置，以防xy是x∈y的类。 据说一个不是集合的类是一个适当的课程。

类理性的公理：对于任何公式φ（x），它涉及仅在所有集合（不是所有类）上的量化（不是所有类），所以存在{x |φ（x）}，其包含φ（x）为true的sets x。

仅通过集合的阶级理解的公理方案承认有限的公务化（有限选择的公式φ（大多数参数）足够），并且首先以这种方式呈现。 这是阶级理解的直接后果，即Russell类{xx|x∉x}不能成为集（因此至少有一个适当的类）。

限制的公理尺寸：C类是适当的，如果只有C和Universe之间存在级别级别。

这种优雅的公理基本上是由于von neumann。 级别的自由度是一类有序对; 如果我们没有足够的成对，那么在这里可能存在病理学，但其他公理确实提供了它们的存在。 有趣的是观察到这种公理意味着替换（一个类与设定的尺寸相同的尺寸不能与宇宙相同），并且令人惊讶的是，意味着选择（von neumann arminals基本上由Burali-Forti构成适当的课程悖论，因此宇宙必须与秩序类别相同，宇宙与秩序之间的班级击败允许我们定义宇宙的全球井排序，其存在立即意味着选择）。

虽然阶级理解和尺寸的限制似乎究竟有什么课程以及有什么集合，需要更多的公理来使我们的宇宙足够大。 这些可以被认为是Z的公理（不需要的扩展性和选择）：塞特的一对套装，集合，集合的工会，集合的套装和无限集的存在足以让我们为我们提供ZFC的世界。 通常添加基础。 由此产生的理论是ZFC的保守延伸：它证明了ZFC的所有定理，它没有证明在ZFC中不可提供的套件。 对于有Qualms的选择（或关于全局选择）的那些，可以限制对大小的限制，以便仅断言类函数下集合的图像是集合。