替代公理设定理论（一）

通过“替代设定理论”，我们的意思是设定理论的系统，从占优势ZF（Zermelo-Frankel Set理论）及其近亲（虽然我们将在文章中审查这些系统）。 在该系统中，我们将审查的类型为型号，Zermelo集理论及其变体，新的基础和相关系统，积极设定理论和建设性设定理论。 对替代设定理论的兴趣不会预先假定与替代方案之一取代主导集合理论的兴趣; 熟悉在替代系统方面制定的数学的基础可能是有益的，因为向我们展示了任何设定的理论（包括通常的一个）应该为我们做什么。 替代设施理论的研究可以消除与“Zermelo-Fraenkel Set理论”的“设定理论”的识别; 他们不是一回事。

1.为什么设置理论？

1.1 Defekind的真实建设

1.2自然数量的弗雷罗素定义

2.天真的套装理论

2.1天真集合理论的其他悖论

3.类型的理论

4. Zermelo设定理论及其改进

4.1 Zermelo集理论

4.2从Zermelo将理论从ZFC设置为ZFC

4.3 Zermelo集理论的批判

4.4弱变化和高度过度的理论

5.课程的理论

5.1 ZFC课堂理论

5.2 Ackermann设定理论

6.新的基础和相关系统

6.1 NF的定义

6.2 NF的一致性问题; 已知的一致子系统

6.3 NFU + Infinity +选择中的数学

6.4 NFU的批评

7.积极设定理论

7.1正面理论的拓扑动机

7.2系统GPK

+

∞

Olivier esser

7.3积极集理论的批判

8.逻辑上和哲学上动力的变化

8.1建设性集理论

8.2设定非标准分析理论

8.3集合理论的多层视图

9.小型理论

9.1口袋集理论

9.2 Vopenka的替代集理论

10.双重延长集理论：好奇心

11.结论

参考书目

学术工具

其他互联网资源

相关条目

1.为什么设置理论？

为什么我们首先做理论？ 似乎最熟悉的数学对象可能似乎是几何图形：但是这些最能理解的视图是现代视图。 古典希腊人，虽然意识到将几何图形的正式可能性视为一组点，但由于他们坚持拒绝实际无限而拒绝这种观点。 即使是早期的现代思想家，像斯科诺萨一样可以发表评论，这很明显，一条线不是一系列积分（而对于我们而言，这可能很难看出它可能是什么;道德，I.15，Scillium，96）。

陈哥特的集合理论（我们不会在这里直接地解决，因为它没有正式地解决）出现了对使用我们现在所谓的拓扑（Cantor 1872）的工具定义的实际线路复杂的亚细测量的分析。 对于用于数学基础的集合理论的有用性的更好的广告（或者至少一个更容易理解的Layman更容易理解）是使用Rational Numbers（Defekind 1872）中的“剪切”和自然数的定义的定义由于Frege和Russell（Frege 1884）。

我们大多数人都同意自然数，真实数字和欧几里德空间的理论应该看起来像（尽管建构主义数学家也会甚至在这里与古典数学有所不同）。 至少最初恰至不如集合理论应该看起来像的同意（甚至是否应该是套装理论）。 在二十世纪初的“天真”的“天真”的理论中发现悖论发现，至少一些数学家的信心在他们对这个主题的理解（作为主题中的一致性）的理解中被震动。 然后考虑了许多替代方法，但后来，但单一的理论，Zermelo-Fraenkel理论与选择的公理（ZFC）在实践中占据了领域。 Zermelo-Fraenkel集合理论的一个优势之一是，它与集合理论的世界（正如我们大多数人都有许多自然数，真实数字，欧几里德空间的常见概念）附带的那种形象：这个图像是什么称为“累积层次”的集合。

1.1 Defekind的真实建设

在十九世纪，分析（真实数字的理论）需要掌握坚定的逻辑基础。 Defekind对真实的定义（Defekind 1872）是为此目的的工具。

假设理解的数字被理解（当然，这当然是一个主要的假设，但当然，理性比实际更容易理解）。

Defekind提出了实际数字可以与理性的切口唯一相关，其中通过具有以下性质的一对套（L，R）确定切割：L和R是理性的一组。 l和r都是非空的，l的每个元素都小于r的每个元素（所以两组是不相交的）。 我没有最大的元素。 L和R的联盟包含所有理性。

如果我们在削减之前理解真实的理论，我们可以说每个切口是L =（ - ∞，r）∩q，r = [r，∞）∩q，其中q是所有理性的集合，r是独特的实数由切割确定和独特地确定。 很明显，每个实数R唯一地确定这种方式（但我们需要表明没有其他削减）。 给定任意切割（L，R），我们提出r将是L的最小上限。通常的实际理论的最小上限公理告诉我们，L有一个最小的上限（l是非空的，并且r（这也是r的任何元素）是L的上限，所以l具有最小的上限）。 因为L没有最大的元素，它最小的上限R不能属于L.任何Rational数量小于R都很容易被证明属于L，任何理性数字大于或等于R都很容易被展示属于R，因此我们看到我们选择的剪切被任意（等等）是形式L =（ - ∞，r）∩q，r = [r，∞）∩q。

更大胆的移动（给定理性理论，但没有真实的真实理论）是将实数定义为削减。 请注意，这要求我们不仅具有理性数字的理论（并不难开发），而且还有一个理性数字的理论：如果我们要了解剪切的RAY数量的剪切，那么剪切是一对Rational号码，我们确实需要了解一组合理的数字是什么。 如果我们要展示特定实数的存在，我们需要了解那里有哪些合理数字。

一个例子：当我们定义了律师时，然后将真实定义为dedekind削减的集合，我们如何定义2的平方根？ 它相当简单，表明（{x∈q|x＜0∨x2＜2}，{x∈q|x|x＞0＆x2≥2）是一个切割的，并且（一旦我们定义算术运算），它是两个的正平方根。 当我们制定此定义时，我们似乎预先假定了Rational Numbers的任何属性都确定了一个集合，其中包含具有该属性的那些Rational号码。

1.2自然数量的弗雷罗素定义

Frege（1884）和Russell（1903）建议简单的概念“自然数”也承认在集合方面进行分析。 最简单的自然数量是计算有限集。 我们都熟悉有1,2,3，...元素的有限集合。 额外的复杂性可能会熟悉带有0个元素的空集。

现在考虑第3号。它与有限集的特定属性相关联：具有三个元素。 通过该属性，可以争辩说，我们可以自然地关联一个对象，其中包含三个元素的所有集合。 将此集识别为第3号似乎是合理的。此定义可能似乎是圆形的（3是所有设置具有3个元素的集合的集合，但实际上可以置于坚定的非圆形基础上。

定义0作为仅元素是空集的集合。 让A有任何集合; 定义A + 1作为所有集合A1A {x}的集合，其中a∈a和x∉a（通过向A的元素添加新元素而获得的所有集合）。 然后0 + 1显然，我们想要理解的集合为1,1 + 1是我们想要理解的设置为2,2 + 1是我们想要理解为3等的集合。

我们可以进一步探讨并定义自然数的集合n。 0是自然数，如果A是自然数，则也是+ 1。 如果SET S包含0并且在继承人下关闭，则它将包含所有自然数（这是数学诱导原则的一种形式）。 定义n作为包含0的所有集合I的交叉点，并且每当I处于I和A + 1时包含A + 1。 人们可能怀疑有任何归纳集，但考虑所有x的集合v，使x = x（宇宙）。 有一个正式的可能性，V本身是有限的，在这种情况下，存在最后一个自然数{v}; 一个人通常假设无穷远的公理，以排除这种可能性。

2.天真的套装理论

在上一节中，我们采取了完全直观的方法，以便我们的集合理论应用。 我们假设读者会与集合的某些想法相结合。

套装上的身份情况是什么？ 它似乎完全符合常识，以规定一组精确确定的元素：如果每个x，x∈A和xīb或x∈A和x∈B，则两个组A和B是相同的：

一个=b↔∀x（x∈a↔x∈b）

这被称为扩展性的公理。

假设存在没有设置的东西，但是能够成为集合的成员（这些对象通常称为原子或utelements）。 这些对象将没有元素（如空集），但将彼此不同，并且从空集中截取。 这表明替代较弱的扩展性公理（也许实际上更接近常识），

[设置（一）和设置（b）和∀x（x∈a↔x∈b）]→一个= b

随着塞纳德的伴随公理

x∈a→set（a）

什么套装？ 最简单的集合由枚举给出（我在那里看到的男人的集合{Tom，Dick，Harry}）或（更抽象地）Square Roots的集合{-2,2} 4.但是即使是有限的设置，常常更方便地提供定义属性该集合的元素：考虑所有在博伊西，爱达荷州的法律地址的祖母的集合;这是一个有限的系列，但列出其成员是不方便的。一般思想是对于任何属性P，有一组具有属性P的对象。这可以正式化遵循：对于任何公式p（x），有一个set a（变量a不应在p（x）中没有空闲）

∀x（x∈a↔p（x））。

这被称为理解的公理。 如果我们有薄弱的扩展性和塞地谓词，我们可能想说

∃a（设置（一）和∀x（x∈a↔p（x）））

与这两个连铸性和理解公理的理论（通常没有塞特府）被称为天真的集合理论。

很明显，理解允许定义有限套装：我们的一套男人{Tom，Dick，Harry}也可以写成{x x = tom∨x = dick∨x = harry}。 它还似乎允许无限集的定义，例如上面提到的SET（{x∈q|x＜0∨x2＜2}在我们的平方根的定义中。

不幸的是，天真的集合理论是不一致的。 罗素给出了最令人信服的证据，虽然他不是所发现的第一个悖论：让p（x）是属性xīx。 通过理解的公理，存在一个设置的R，使得任何x，x∈r。 但它立即跟随r∈riffr∉r，这是一个矛盾。

必须指出的是，我们天真集合理论的形式化是一种不间断的行为。 恩托尔没有完全正式形式化他的集合理论，所以无法确定他的系统是否落在悖论的原因（他没有这么认为，并且有一些人同意他的同意）。 弗赖尔格更明确地将其制度正式化，但他的系统在现代意义上不是一个集合理论：可以说的是他的系统是不一致的，因为基本上是这里的原因，以及充分叙述了弗雷格系统与我们“天真的景观理论的差异。”在旁边（虽然历史肯定有趣）。

2.1天真集合理论的其他悖论

通常提到另外两种朴素的讽刺理论，Burali-Forti（1897）的悖论 - 有历史优先级 - 和康多的悖论。 审查其他其他悖论是一种方便的审查方式，也是早期的理论家达到的方式，所以我们会这样做。 我们对这些悖论的正式展示是不合适的; 我们对他们的数学内容感兴趣，但不一定是他们最初呈现的确切方式。

克兰人在他的集合理论上涉及定义无限基数和无限序数的概念。 考虑到最大的序数发挥着障碍浮标的悖论，对最大的基数的考虑出现了坎塔伦悖论。

无限秩序可以在天真的集合理论中呈现，作为井排序的同构级别（顺序是线性阶≤与其域的任何非空的子集具有≤ - 最小值元素）。 我们使用反身，反对称，传递关系≤作为我们的线性订单，而不是相关的不确定，不对称的，不对称，不对子关系<，因为这使我们能够区分序数0和1（Russell和Whitehead采取后一种方法并且无法实现定义其Principia Mathematica中的序数1）。

在序数上有自然的顺序（由任何两个井排序的事实引起的，至少一个将是另一个的初始段的同构），并且表明它是一个有序的顺序是直接的。 由于它是一个顺序，它属于同构（序数！）ω。

它还简单地表明，序号上的自然秩序的订单类型限制在α的顺序为α：{0,1,2}上的顺序类型3，订单为3，订单在有限序列中{0,1,2，...是第一个无限的序数ω等。

但是，顺序类型的顺序类型<ω是ω本身，这意味着所有顺序（包括ω）的顺序类型为“更大” - 但是ω定义为所有顺序的顺序类型，不应该大于自身的顺序类型！

这个悖论是第一个（克兰特知道它），颂歌并没有认为它使他的系统失效了。

Cantor定义了两组，如果它们之间存在双射来，则具有相同的基数。 这当然是有限境界的常识; 他的原创性在将其扩展到无限境界，拒绝从明显矛盾的结果中害羞。 在无限的领域中，红衣主教和序数不是同构概念，因为它们处于有限的领域：订单类型ω（例如，自然数上的通常顺序）和订单型ω+ω的顺序顺序（例如，在所有偶数之前将所有奇数的自然数字上的顺序放置并以通常顺序置于常规顺序的奇数甚至数字）表示不同的序数，但它们的字段（相同的集合！）肯定是相同的大小。 这种“悖论”作为自然数目的明显乃至（伽利略）的完美方块和不同半径的同心圆的点之间的一对一对应，从中世纪指出，如此重要 - 克兰特特别无限套装的实事证据。

与Cantor的新颖是根据本标准存在无限不同尺寸的示范（1872）。 坎特的悖论，难以找到原始参考的悖论，是这种结果的即时推论。 如果A是一个集合，则将A的电源集定义为A的所有子集集：℘（a）= {b | xx（x∈b→x∈a）}。 CONTOR证明，对于任何组A和℘（a）之间的没有双射，假设F是来自a至℘（a）的底部。 将C定义为{a∈a|a∉f（a）}。 因为F是自动射精必须是c使得f（c）= c。 现在我们注意到c∈c↔c∉f（C）= C，这是一个矛盾。

刚刚证明的唱歌的定理表明，对于任何设置A，有一个较大的设定℘（a）。 如果我们尝试将CANTOR的定理应用于所有集合（或通用集合，如果我们假设（具有常识），那么并非所有对象都是设置的）。 如果V是通用集，那么℘（v），通用集合的电源集（所有集合）必须具有比V的更大的基数。但显然没有设置的基数比包含一切的集合更大！

陈列戈对这两种悖论的回应是讲述的（并且可以在ZFC中正式化，或者在相关的系统中，允许我们将在下面看到的适当课程）。 他基本上重新加入了古典反对的典型反对，在更高的水平上。 最大的基本和最大的顺序都是由于考虑到最大的收藏品（例如宇宙v）。 Cantor画作了合法数学无限的区别，例如自然数的可数无穷大（其相关的基数χ0和许多序数ω，ω+ 1，...，ω+ω，...），更大的无限远连续体，进一步的无限来自这些，他称之为Transfinite，以及他称之为绝对无限的东西，其中收集的无限无限，与最大的主要概念和最大的序数。 在这方面，他跟踪了古典古典时代的圣奥古斯丁（De Circate Dei），即无限的自然数量肯定存在于实际无限度，因为上帝知道每一个和每一个自然数，但由于上帝的知识包括他们的全部的所有自然数以某种方式在他的视线中有限。 他对Burali-Forti和Cantor Paradoxes的设定理论的辩护的事实随后在ZFC成功形式化，相关课堂系统导致一些人相信Cantor自己的集合理论并不涉及悖论。

3.类型的理论

对集合理论的悖论（由罗素发现其中一个）的早期反应是类型理论的发展（参见罗素附录的数学（1903）或Whitehead＆Russell的Principia Mathematica（1910-1913）。

如下，我们称之为TST（Théorie简单的Des offormbers和其他人）的最简单的理论。 我们承认由自然数索引的类型对象（这纯粹是印刷方便;没有涉及到自然数的实际参考）。 类型0由“个人”居住，没有指定的结构。 类型1由类型0对象居住，并且通常类型类型n + 1由类型N对象中有所居住。

类型系统由语言的语法强制执行。 原子句子是方程或会员声明，如果它们采用表格xn = yn或xnðyn+ 1之一，它们只能良好地形成。

TST的扩展性的原理采用表格

一个+ 1 = bn +1↔∀xn（xn∈an+1↔xn∈bn+ 1）;

每个n有一个单独的公理。

TST的理解的原理采用表格（对于类型n，公式φ和φ中的可变An + 1而不是自由选择）

∃an+1∀xn（xn∈an+1↔φ）

有趣的是观察到TST的公理正常类似于天真集合理论。

这不是罗素的原始类型理论。 离开罗素利用“命题功能”而不是课程和关系，Principia Mathematica（Whitehead＆Russell 1910-1913）的系统，下文中，PM未能成为一个集合理论，因为它具有不同类型的关系类型（ARINY的命题功能＞1）。 直到1914年观察到的诺伯特维纳，可以将订购对作为集合定义（他对<x的定义，由于Kuratowski，不是当前{{x}，{x，y}}（1921），但{{x}，∅}，{{y}}）明确表示可以将关系类型进行编码为设置类型。 罗素经常在英语中说，关系可以被理解为对（或者长元组），但他没有实现这个想法（其实，他定义了下午的有序对而不是现在通常的反向！）讨论这种简化类型理论的历史，看看王1970年。

此外，拉塞尔在集合的定义中担心循环（他认为是悖论的原因），即他不允许一组给定类型由涉及相同类型或更高类型的量化的条件来定义。 该序列限制削弱了将理论的数学力量削弱到极端程度。

在罗素的系统中，通过表征不仅由其元素的类型来表征类型来实现限制，而是通过称为“订单”的附加整数参数来实现。 对于具有元素的任何对象，其类型的顺序高于其元素类型的顺序。 此外，限制理解公理，使得定义一组类型的条件N可以仅包含具有订单≤N的类型的参数，并且仅在具有订单<n的类型中的类型。 如上所述，拉塞尔的系统进一步复杂于它不是集体理论，因为它还包含关系类型（这使得这里完全陈述不合适）。 即使我们限制集合的类型，如果类型有序，则无法实现简单的线性层次结构，因为每种类型都有比其自己高的“电源集”类型。

我们展示了一种具有卓越限制的类型的套装理论（我们在MarcelCrabbé工作中看到了这一点，但它可能更老了）。 在这个系统中，这些类型没有订单，但是Russell的分布类型理论与订单（完整的关系类型）可以解释（我们在这里没有在这里给出的技术结果）。