库尔特·哥德尔注释（一）

1. 虽然哥德尔当然不同意希尔伯特纲领的许多方面，最明显的是反对数学可以以无内容的方式正式重建的想法。

2. 1986 年哥德尔重印，附有英文翻译。从今以后，对哥德尔论文的所有引用都将引用他的文集第 I 卷至第 V 卷中的内容。特别是，所有页码引用以及哥德尔论文的编号方案都引用了文集的编号方案。（例如，哥德尔的论文“关于直觉算术和数论”在下文中被称为 1933e，这是它在文集第 I 卷的编号，哥德尔 1986。）在相关情况下，参考书目也将引用原始出版数据。

3. 根据文件，国内和文化事务部建议不授予哥德尔教授称号，理由是他的政治立场被他们称为“可疑的”。参见 Sigmund 2006。

4. 虽然根据门格尔的说法，莱布尼茨早在 20 世纪 30 年代就已成为哥德尔的重要兴趣所在。

5. 有关哥德尔采用现象学世界观的讨论，请参见下文。有关哥德尔眼中的现象学与莱布尼茨之间的关系，请参见 van Atten 和 Kennedy 2003。

6. 虽然有些人认为博尔扎诺的《科学理论》（Bolzano 1992）是这个问题的首次陈述。参见王对斯科勒姆选集的介绍（Skolem 1970）。

7. 有关该定理的历史，请参阅 Zach 1999。

8. Skolem 本人将集合论具有可数模型这一事实称为“集合论中的相对性”。

9. 请参阅 von Neumann 2005。冯·诺依曼指的是 1930 年 9 月在柯尼斯堡举行的逻辑主义、有限主义和直觉主义会议，哥德尔在基础圆桌讨论中宣布了他的第一不完备定理。

10. 哥德尔使用“递归”一词代替原始递归。有关术语“递归”和“原始递归”的定义，请参阅 Rogers 1967。递归函数的使用显然可以追溯到 Grassman，请参阅 Wang 1957 第 147 页。

11. 哥德尔使用符号 B(x,y) 表示 Prf(x,y)。

12. 哥德尔使用 Bew(y) 符号表示 Prov(y)。

13. “Jetzt, Mengenlehre!”——现在，[开始] 集合论！——据说哥德尔当时是这样说的（见 Wang 1993 年第 128 页，以及 Dawson 1997 年）。哥德尔对集合论的兴趣可能早在 1928 年就开始发展，当时他在图书馆请求借阅包含 Skolem 赫尔辛基讲座的卷册。Dawson 提到，1930 年，哥德尔请求借阅 Fraenkel 的著作（Einleitung in die Mengenlehre，哥德尔会注意到 Fraenkel 对 Hilbert 试图证明连续统假设持怀疑态度）、von Neumann 的著作，以及 Hilbert 将确定连续统假设的问题列入二十世纪数学议程的论文。

14. 有关哥德尔对科恩结果的反应，请参阅他在 1966 年 9 月写给丘奇的信，载于 Gödel 2003a。

15. 当然，希尔伯特试图证明 CH，而不仅仅是证明它与 ZF 或 ZFC 公理的一致性。

16. 例如：α < β 意味着 Lα ⊆ Lβ

17. 有关哥德尔对可构造性公理绝对一致性观点的讨论，请参阅 Kennedy 和 van Atten 2004。

18. 哥德尔对莱布尼茨的研究主要发生在 1943 年至 1946 年，见下文。

19. 使“V 的大小”概念精确化有些困难。这是因为添加集合可能会使基数崩溃或增加连续体；因此添加集合本身可能会导致关于连续体的自相矛盾的信息。例如，参见 Foreman 1998。

20. 哥德尔在本段的脚注中指出，可证明性的概念可能“过于笼统”。然而，这并不影响哥德尔希望在正式和非正式的可证明性概念之间做出的基本区分。

21. 但请参见 Troelstra 在 1995 年哥德尔论文导言中的批评性评论，该评论涉及这样一个问题：对于直觉主义者来说，辩证法解释是否代表了对所谓的 Heyting/Kolmogorov 证明解释的真正认识论进步。

22. 哥德尔在胡塞尔那里找到了对这一观点的支持，胡塞尔也拒绝了概念科学应该具有数学性质或类似于任何经验科学的观点。正如胡塞尔在《观念》中关于发展现象学的计划所言，“我们才刚刚开始……任何科学都帮不上忙。”

23. 其真假能否由人来验证是一个独立的问题，事实上，哥德尔经常表达这样的想法，即我们对集合及其属性只有“部分看法”。

补充说明

《不完备性定理是否驳斥了希尔伯特纲领？》的说明

1. 例如，Bezboruah 和 Sheperdson 证明了（1976）Q 的第二不完备性定理（本质上是无归纳算术），而 Wilkie & Paris 证明了（1987）即使是更强大的理论 IΔ0 + exp 也不能证明其 Q 一致性的标准表述。但这两个一致性陈述都不能说是内涵正确的。因此，尚不清楚第二定理的一般形式是否适用于 Q。事实上，Q 是一个如此薄弱的理论，尚不清楚是否可以为 Q 制定语义上内容一致的陈述。

Pavel Pudlák 的一个令人惊讶的结果削弱了这一观点。作为对 Bezboruah 和 Sheperdson 结果的回应，Pudlák (1996) 给出了 Robinson 理论 Q 的内涵正确的一致性陈述，但 Q 未能证明这一点。该定理指出，对于每个延伸 Q 的一致理论 T，以及对于 T 中的每个截断 J(x)，T ⊬ ConJ

T

。此外，相对于 J 的语法算术化满足所有相关的内涵性标准。因此，可以说第二定理对 Q 毕竟成立。

最近，Curtis Franks 在其 2009 年的论文中讨论了弱算术理论的第二不完备性定理问题，挑战了 Pudláak 的论点，即可以为 Q 给出一个内涵充分的证明谓词。他认为，任何追求内涵正确性的证明谓词都应该按照 Kreisel 的无反例构造来表述，因此必须涉及 Herbrand 可证明性的概念。Herbrand 证明是命题证明，这些证明在计算上更简单；还可以给出一个游戏语义，它以自然的方式与所讨论理论的计算强度相对化。但由于 Herbrand 可证明性和可证明性的概念在弱理论中是分开的，因此 Robinson 的 Q 是否存在内涵充分的第二不完备性定理版本的问题仍然悬而未决。

哥德尔转向现象学的注释

1. 哥德尔在这里非常追随胡塞尔。这个问题在 van Atten 和 Kennedy 2003 年第 443-446 页中进行了详细讨论。

关于数学内容的论证注释

1. 哥德尔很容易从第一不完全性定理中得出哲学结论。他似乎在应用第二定理时比较慢。

2. 关于归纳法的可接受性，例如，哥德尔在 Gibbs 讲座中评论说，如果一个人对数学对象持现实主义态度，那么归纳法的可接受性不仅不会降低，反而会提高。参见 Gödel 1995 年第 313 页。