库尔特·哥德尔注释（二）

不完备性定理是否驳斥了希尔伯特纲领？

哥德尔定理是否意味着希尔伯特纲领的终结？从某种角度来看，答案似乎是肯定的——定理恰恰表明，数学不能严格地基于符号的具体直觉进行形式重构。

哥德尔本人指出，很大程度上是图灵的工作，尤其是图灵 1937 年给出的“形式系统概念的精确且毫无疑问充分的定义”，使他相信，他的不完备性定理完全具有普遍性，驳斥了希尔伯特纲领。 （参见 1963 年 8 月添加的 Gödel 1931 的补充说明，Gödel 1986 第 195 页。另见 Gödel 与 Nagel 的通信，第 145 和 147 页，Gödel 2003b。Gödel 早在 1933 年就非正式地确信了这一点，参见他的 *1933o 第 52 页。）然而，这里有许多微妙之处，涉及可计算性概念形式化的各种显着特征。例如，Sieg 指出（2006），Gödel 将形式系统的一般概念与图灵机等同起来是有问题的，因为它依赖于可计算函数的绝对概念。这是因为形式系统的概念是根据绝对可计算性的概念来定义的，而形式系统的概念似乎是证明可计算性概念的绝对性所必需的。

关于第二不完备性定理对希尔伯特计划的影响，尽管这大多被认为是理所当然的，但有些人质疑哥德尔第二定理是否完全具有普遍性。正如伯内斯在《希尔伯特和伯内斯 1934》中指出的那样，该定理允许在两个方向上进行概括：首先，该定理适用的理论类别可以扩大到更广泛的理论类别。其次，可以引入比哥德尔在 1931 年论文中指出的更普遍的一致性概念。也就是说，该定理可以扩展到任何表达相关理论一致性的公式。

后一种概括类型提出了理论证明概念的内涵充分性问题。我们花点时间来描述这意味着什么。正如费弗曼在他的 (1960) 中指出的那样（遵循伯内斯），这两个不完备性定理之间存在重要区别。正如我们所见，哥德尔第一不完备定理展示了一个句子 G，该句子用相关理论的语言表达，但该理论尚未确定。例如，皮亚诺算术不完备这一说法的正确性与 G 的含义无关，无论“含义”一词是如何解释的。费弗曼指出，第二定理并非如此，其中一般说法，即任何足够强大的理论都无法证明“其自身的一致性”，必须取决于理论对一致性陈述的含义的解读。也就是说，我们应该承认元理论的说法，即只有当存在一个句子，T“识别”该句子为一致性陈述，并且 T 无法证明时，理论 T 才能证明其自身的一致性。当然，这并不是质疑哥德尔第二定理的合法性，而是指出其应用范围可能存在局限性——正如我们所指出的，这是哥德尔本人在 1931 年的论文中提出的观察。

只有当可以在 T 中证明其证明谓词满足希尔伯特和伯内斯 1934 年给出的三个希尔伯特-伯内斯可导性条件时，理论 T“识别”其一致性陈述的标准才得到满足。T 中的可证明性概念，以及 T 的一致性概念，被称为“内涵充分”，即充分表达了所涉及的一致性概念。

Feferman 在他的论文中讨论了如何证明在相关情况下可导性条件得到满足的问题。特别是，Feferman 通过展示所考虑的算术理论 T 的非标准但外延（即数值）正确的二元化，指出了与公理概念相关的内涵问题，为此，T 可以证明（内涵不正确的）一致性陈述。然后，他继续给出系统的、一般的处理，排除了这种病态的例子。

Detlefsen (1986) 对内涵充分性提出了不同的批评，更加强调了第二不完全性定理本身作为数学定理与更广泛的原始哲学主张之间的区别，即“足以使 T 的公式成为 T 一致性的合适表达的每一组命题也足以使该公式在 T 中无法证明（如果 T 是一致的）。”在 Detlefsen 看来，特别是第三个可导性条件是有问题的，没有完全的依据。

后续发展集中在弱算术理论，即哥德尔第二不完全性定理的内涵正确版本是否不仅对皮亚诺算术存在，而且对更弱的算术理论也存在，即更容易证明它们是真正有限的理论。[1]

撇开内涵充分性不谈，从其他角度来看，如果承认更广泛的有限性概念，希尔伯特程序似乎并非不可行。对于某些人来说，这些相对化代表了与程序原始表述的过于彻底的背离。读者可以参考当代对这些问题的讨论。特别是，关于相对化希尔伯特程序的讨论，读者可以参考 Feferman 1988。

我们通过指出当然存在一致性的语义证明来结束对第二不完全性定理的考虑。在这方面，克里普克归功于库拉托夫斯基的第二不完全性定理的简单语义证明可能值得一提。库拉托夫斯基的论证如下：集合论不能证明集合论在强意义上是一致的，即某个 Vα 是集合论的模型。因为假设它确实如此。那么存在 α 使得 Vα 是集合论的模型。因此，在 Vα 中也存在某个 β＜α 使得 Vβ 是集合论的模型。继续这样下去，我们得到一个无限递减的序数序列，这是一个矛盾。参见 Kripke 2009。

有关进一步讨论，请参阅希尔伯特计划条目。