常识（三）

用文字说，L1说我知道a *Ω。 L2说，如果我知道一个*获得，那么我知道每个人都知道一个*获得。 这种公理旨在捕捉普通知识基于公开所知的命题A *的想法，就像代理人听到公众公告一样。 如果代理商的知识由分区表示，则代理商的常识的典型基础将是其分区的HEAR [14]的元素M（Ω）。 L3表示我可以从A * lewis'定义中推断出来意味着整个常见的知识层次结构，如以下结果所示。

命题2.8

l * n（e）⊆k* n（e），即刘易斯 - e的常见知识意味着E.的常见知识。

证明。

如上所述，它最近讨论了Lewis'定义的正式再现是否充分地代表了Lewis方法的所有方面。 Cubitt和Sugden（2003）认为，他们的批判在可能的世界框架中丢失的刘易斯分析的特征，即刘易斯使用的指征的三个关系。 指示的定义可以在第52-53款公约中找到：

定义2.9

一个事态A A表示代理I（AINDIE）如果，如果我有理由相信举行的话，我尤其会有理由相信e

刘易斯定义的措辞和使用他在共同知识的定义条款中提出了指示关系，表明刘易斯谨慎区分指示和物质意义。 Cubitt和Sugden（2003）在其正式重建中纳入这种区别。 与他们对“我有理由相信X”的解释配对，因为我赞同的一些推理逻辑被带来了“x”，“我们有那个，如果是一个啊，那么我是理由相信一个人的理由相信x。 鉴于刘易斯确实希望赋予演绎推理的代理，（Cubitt和Sugden 2003）列出以下公理，声称它们捕获所需的指示性质。 对于所有代理商，j，与ria站立为“代理商，我有理由相信”，我们有

（ria∧aindix）→rix

（areails b）→aindib

（aindix∧aindiy）→aindi（x∧y）

（aindib∧bindix）→aindix

（（aindirjb）∧ri（bindjx））→aindirjx

第一个公理捕获了指示背后的直觉。 它说，如果一个代理商有理由相信一个持有，那么，如果一个人向她表示x，她也有理由相信x。 CS2表示指示延长了物质意义。 CS3表示，如果两个命题x和y由命题a向代理指示给代理，则A表示X和Y的结合。 下一个公理指示是传递的。 CS5表示，如果一个命题A指示代理J有理由相信B的理由，我有理由相信B向X表示X，然后表示我也是j有理由相信x的理由。

使用这些公理，可以给出以下定义。

定义2.10

在任何给定的人口P中，一个命题A是X IF X IF X，IF，对于所有I，j∈p和所有命题X，Y，y，以下四个条件持有：

一个→放射免疫

aindirja

aindix

aindjy→ri（aindjy）

Claus RCI1-RCI3以上渲染定义2.7的定义2.7中的正式语言，如公理CS1-CS5; 虽然RCI4确认（上文定义2.6），但代理商是对称推理员，即，如果一个命题表明某个代理人的另一个命题，那么它对人口中的所有代理商都这样做。

以下命题表明，RCI1-RCI4是“相信”出现的“共同原因”的条件：

命题2.11

如果是一个，如果a是x的人口p中是一个常见的反射指示器，那么有一个共同的原因来相信该x。

证明。

一群（理想的）有常见的有关相信P的缺陷的推理师，将在p中实现共同的信念。

是否可以正式考虑到刘易斯对共同知识的定义而没有放弃可能的世界框架的洞察？ （Sillari 2005）提出了通过在可能的世界语义中阐明实际信仰和理性的理由之间的区别，试图为这个问题提供积极的答案。 与（Cubitt和Sugden 2003）一样，基本的认知运营商代表了相信的理由。 然后，这个想法是在可能的世界中对认识结构施加意识，采用Fagin和Halpern（1988）首次引入的框架。 简单地说，一个意识结构与每个代理商员工，每个可能的世界都有一组事件，据说代理人知道。 代理人娱乐实际相信，如果她有理由相信事件发生，并且此类事件在她所考虑的世界中，这种事件才会发生某种事件。 Paternotte（2011年）提供了刘易斯普通普通知识的形式化的不同途径，中央概念是概率的普通信念（见下文第5.2节）。

2.3 AUMANN的帐户

AUMANN（1976）给出了常识的不同表征，其给出了另一种简单的算法来确定通常已知的信息。 AUMANN的原始帐户假定每个代理的可能性设置都形成了可能的世界的空间ω的私人信息分区。 AUMANN表示命题C是常见的知识，如果C包含代理分区的满足的单元格。 一种方式来计算分区遇见的MI，i∈n是使用“可达性”的想法。

定义2.13

从ΩΩΩωif到ω'miff，存在序列

ω=ω0，ω1，ω2，...，ωm=ω'

这样，对于每个k∈{0,1，...，m-1}，存在代理ik∈n，使得hik（ωk）= hik（ωk+ 1）。

单词，如果存在从ω到ω的状态的序列或“链”，则可以从Ω中到达ω'，使得两个连续的状态在某个代理的信息分区的同一单元格中。 为了说明可达性的想法，让我们返回修改后的烧烤问题，其中Cathy，Jennifer和Mark没有公告。 它们的信息分区都在图2.1D中描述：

缺少文本，请告知

图2.1D

人们可以理解可达性概念的重要性以下列方式：如果ω'可以从ω到达，则如果ω获得，则某些代理可以推理其他代理认为ω'是可能的。 查看图2.1d，如果ω=ω1发生，那么Cathy（仅发生{ω1，ω2}）知道詹妮弗认为可能发生ω5（即使凯茜知道ω5没有发生）。 因此，Cathy不能排除詹妮弗认为标记认为可能已经发生了ω8的可能性。 和凯茜不能排除詹妮弗认为马克认为凯茜认为ω7是可能的。 从这个意义上，ω1可从ω1到达。 建立这一点的状态是ω1，ω2，ω5，ω8，ω7，因为H1（ω1）= H1（ω2），H2（ω2）= H2（ω5），H3（ω5）= H3（ω8）和H1（ω8）= H1（ω7）。 请注意，可以类似地显示，在此示例中，任何其他状态都可以从任何其他状态访问。 此示例还说明了以下立即结果：

命题2.14

ω'可从ωiff到序列I1，I2，...，im∈n，这样

ω'∈him（⋯（hi2（hi1（ω））））

可以读取（1）为：'以Ω，i1认为i2认为......，我认为ω'是可能的

我们现在有：

引理2.15

Ω'mm（ω）iffω'可从ω到达。

证明。

和

LEMMA 2.16

M（ω）是N在Ω的常见知识。

证明。

和

命题2.17（AUMANN 1976）

让M成为每个i∈n的代理分区的会面。 命题e⊆ω是n在ωiffm（ω）⊆e的n的常见知识。 （在AUMANN（1976）中，E被定义为ωiffm（ω）⊆e的常见知识。）

证明。

如果e = k

1

n

（e），然后e是一个公共活动（Milgrom 1981）或共同的真实（Binmore和Brandenburger 1989）。 显然，每当发生时，共同的真实是常识，因为在这种情况下，e = k

1

n

（e）= k

2

n

（e）= ......，所以e = k

*

n

（e）。 提案证明2.17表明，常见的真实恰恰是M的元素和元素的元素，因此任何常见的事件是共同的真实的结果。

2.4 Barwore的帐户

Barwore（1988）提出了另一种常识的定义，避免了对“我知道J知道......知道”命题“的主题的普遍知识的定义。 Barwore的分析建立了哈曼（1977）的非正式提案。 当他宣布他处于错误时，在举例中考虑嘉宾和笨拙服务员的情况。 他们现在在一个设置的地方，他们听到了服务员的公告，并且知道它们在设置。 Harman采用这种表征的循环性作为基本的，并在这种循环中提出常识的定义。 BarWise的正式分析使Harman对常识的直观分析为一个固定点。 给定函数f，a是f的一个固定点，如果f（a）= a。 现在注意

k

1

n

（e∩

∞

⋂

是= 1

k

是

n

（e））= k

1

n

（e）∩k

1

n

（

∞

⋂

是= 1

k

是

n

（e））

= k

1

n

（e）∩（

∞

⋂

是= 1

k

1

n

（k

是

n

（e）））

= k

1

n

（e）∩（

∞

⋂

是= 1

k

是

n

（e））

=

∞

⋂

是= 1

k

是

n

（e）

所以我们已经建立了k

*

n

（e）是由Fe（x）= k定义的函数Fe的固定点

1

n

（e∩x）.fe有其他固定点。 例如，任何矛盾b∩bc=∅是FE的固定点。[15] 另请注意，如果a⊆b，则e∩a⊆e∩b等

FE（一）= k

1

n

（e∩a）⊆k

1

n

（e∩b）= FE（b）

也就是说，Fe是单调。 （我们看到了k

1

n

在命题2.4的证据证明中也是单调的。）BarwherS对常识的分析可以使用以下结果进行了结构，从而实现了：

命题

单调函数F具有独特的固定点C，使得如果B是F的固定点，则为b⊆c。 C是F的最大定点。

此命令确定FE具有最大的定点，其特征在于BarWork的账户中的共同知识。 作为掌握自己的观察，常识的定点分析与Aumann的分区账户密切相关。 这很容易看出当Aumann的帐户生成的常见意味着的常见真实概念比较时很容易。 一些作者将定点分析视为Aumann分析的交替制定。 Barwher的定点分析普通知识受到尤为兴趣逻辑中常见知识的应用尤其感兴趣的人的青睐，而分层和分配账户则受到社会哲学和社会科学普通知识的人的青睐。 当知识运营商满足公理（K1） - （K5）时，常识的BARWASE叙述相当于分层帐户。

命题2.18

让c

*

n

是最好的Fe的最佳点。 然后c

*

n

（e）= k

*

n

（e）。 （在BarWork（1988,1989）中，E被定义为ωiffωνc的常见知识

*

n

（e）。）

证明。

BarWisher认为，实际上，定点分析更灵活，因此比分层帐户更广泛。 这可能是鉴于2.18的令人惊喜的读者，这表明BarWise的固定点定义相当于分层帐户。 实际上，虽然巴伊斯（1988,1989）证明了一个结果，表明定点账户意味着分层账户，并给出了满足普通知识层次结构但未能定点的示例，这是一部位于BarWise后写的许多作者给予了各种证明如主题2.18所示，这两个定义的等价性。 事实上，如（Heifetz 1999）所示，分层和定点账户对所有有限迭代的分层和定点账户相当等同于，而定期常识意味着相互知识的结合到任何Transfinite顺序，但它永远不会被任何此类联合暗示。

2.5吉尔伯特的账户

吉尔伯特（1989年，第3章）呈现了常识的替代叙述，这意味着比Lewis和Aumann的账目更直观。 Gilbert提供了对特工具有共同知识的情况的高度详细描述。

定义2.19

一组代理N在一个共同的知识情况S（a）中，关于一个命题a，oc，ω∈a和每个i∈N，

（g1期）

我在识别正常的情况下，在感觉中，我具有正常的感知器官，其正常运作并具有正常的推理能力。[16]

（g2的）

我有符合其他条件所需的概念。

（g3的）

我认识到N的其他代理人。

（g4的）

我认为g1和g2是如此。

（g5的）

我认为案件所描述的事态是如此。

（g6）

我认识到n的所有代理人认为是案件。

吉尔伯特的定义似乎包含一些冗余，因为据推测，除非是案件，否则代理人不会感知。 吉尔伯特显然试图提供比Lewis和Aumann的单一代理商知识更明确的叙述。 对于吉尔伯特，代理商知道，如果，ω∈e，即，e为真，ω∈e是真正的，并且我认为e的状态介绍所获得的情况或者我可以推断出作为我所知道的其他命题的后果所在的情况足够的推理能力。

像刘易斯一样，吉尔伯特认识到人类代理实际上并非无限制的推理能力。 为了产生相互知识的无限层次结构，Gilbert介绍了代理商的平稳推理对应物的设备。 代理商I'的顺利推理员同事是一个借鉴我所知的每个事实的每个逻辑结论的代理人。 吉尔伯特规定，我'没有关于我可能拥有的时间，记忆或推理能力的任何限制，所以我可以通过无限多级别的共同知识等级来思考。

定义2.20

如果一组代理N处于共同的知识情况Sn（A），则它们的平滑推理对应物的相应组N'是在一个平行的情况下

'

n'

（a）如果，只有，每个人我，

（g

'

1

）我可以感知我可以感知的对应物。

（g

'

2

）G2-G6获得I'相对于A和N'，与对应于A和N的对应I相同。

（g

'

3

）我认为，所有代理商是顺利推理。

从这个定义来看，我们得到了以下立即后果：

命题2.21

如果将一组光滑的推理仪对应物在某种情况下，则处于某种情况下

'

n'

（a）平行于常见知识情况Sn（a）的n，然后

对于所有m∈n和任何我

'

1

，...，我

'

是

，ki

'

1

ki

'

2

... ki

'

是

（一）。

因此，k

是

n'

（a）对于任何m∈n。

吉尔伯特认为，给予

'

n'

（a），N的代理商的平滑推理对应者实际上满足了更强大的条件，即相互知识k

α

n'

（a）到任何序数α，有限或无限的水平。 当满足这种更强烈的条件时，据称将A据说是对N的代理人开放*。随着开放*的概念，Gilbert赋予她对共同知识的定义。

定义2.22

命题e⊆ω是吉尔伯特 - 常见的知识在Set n = {1，...，n}，如果且仅当，

（g

*

1

）E开放*到N的代理人。

（g

*

2

）每个i∈n，ki（g

*

1

）。

g

*

n

（e）表示g所定义的命题

*

1

和g

*

2

对于一个* -SYMMETRICRIC师的一个集合，所以我们可以说E是刘易斯 - Nω∈g的代理商的常见知识

*

n

（e）。

人们可能认为直接对吉尔伯特的定义的推论是吉尔伯特 - 常识意味着提出2.5的分层常见知识。 然而，本声明仅在假设代理人了解她的顺利推理的所有命令的所有命令的原因来遵循。 吉尔伯特并没有明确认识这个职位，尽管她正确地观察到刘易斯和Aumann致力于这样的东西。[17] 吉尔伯特认为，她对普通知识的说明表达了我们对刘易斯和Aumann的普通知识的看法，因为开放*的概念可能会明确表示，当一个命题是普通知识时，它是“在开放中”，所以说话。

3.相互和共同知识的应用

主要对共同知识的哲学应用感兴趣的读者可能希望关注没有分歧定理和公约章节。 对博弈论中共同知识应用的读者可以继续使用战略形式游戏和完美信息小节的游戏。

3.1“没有分歧”定理

3.2公约

3.3战略形式游戏

3.4完美信息的游戏

3.5通信网络

3.1“没有分歧”定理

AUMANN（1976）最初使用了他对共同知识的定义，以证明一个庆祝的结果，说明在某种意义上，如果他们从普通的先前信仰开始，代理商就不能“同意不同意”概率分布。 由于社区中的代理商往往具有不同的意见，并且知道他们这样做，因此可能会归因于具有不同私人信息的代理人的这种差异。 Aumann令人惊讶的结果是，即使代理人条件对私人信息的信念，仅仅是对其调节信念的共同知识，毕竟，他们的信仰也不是不同的