哥德尔的不完整定理（完结）

尽管如此，哥德尔似乎实际上通过不同的路线达成了关于不完整的第一个精确观察，在他试图向希尔伯特的计划做出贡献，而不是破坏它（见Dawson 1997：Ch。IV）。 即，1930年，哥德尔通过试图向算术资源证明分析（或二阶算术）的一致性来推进希尔伯特的计划，从而将前者的一致性降低到后者的一致性。 在他的尝试证据中，他需要真理的概念。 哥德尔很快就面临了各种悖论（如骗子帕拉德），不得不得出结论，算术中不能定义算术真理。 因此，哥德尔首先抵达了真理定理的不确定性的版本，通常与Tarski相关（CF.Mrawski 1998）。 这也很容易产生一个弱版本的不完整性结果：可以在算术语言中定义算术中可提供的句子集，但是这组真实的算术句子不能; 因此，两个不能一致。 此外，在假设所有可提供的句子都是真的时，它遵循必须有真正的句子，这是不可提供的。 但是，这种方法没有任何特定的这样的句子。

然而，哥德尔的智力环境是维也纳圈的思想，其彻底的反形状态度。 特别是，即使是真理的概念也被认为是当时的可疑甚至是荒谬的，至少由一些逻辑实证主义者（例如，神经大麻，血栓）。 因此，哥德尔努力消除对真理概念的任何吸引力，并试图没有它。 因此，他引入了ω-一致性的概念，可以严格地定义并纯粹句法。 这导致了他们现在已知的形式的不完整定理。

对于对角化引理的，实际上哥特特本人最初只展示了一个特殊的情况，即只针对可加速的谓词。 Carnap 1934显然首先发现了一般的雷姆玛（见Gödel1934,1935）。 对于具有自由变量的公式仍然更多的普通版本，始于Ehrenfeucht＆Feferman 1960和Montague 1962（见Smoryëski1981）。

哥德尔的结果接待是混合的。 逻辑领域的一些重要人物和数学的基础相当迅速同化了结果并理解了他们的相关性，但也有很多误解和抵抗（有关接待的详细说明，请参阅Dawson 1985; Mancosu 1999）。

哥德尔于1930年8月26日透露了他的成绩在维也纳查找，并在1930年9月7日的着名Königsberg会议上宣布了他的休闲讨论评论中的结果（第一个定理）.John von Neumann，他观众和在希尔伯特计划的背景下工作，立即理解了结果的重要意义。 11月20日，他为哥德尔的“非凡”的哥特的推论写了一封信，他发现了：一致性的无法动力（第二个定理）。 与此同时，吉尔本人已经发现了同样的想法，并已经发出了他的文章的最终版本，该文章也包含第二个不完整定理的声明，用于出版。 本文于1931年1月（Gödel1931;吉尔原版有用的介绍是Kleene 1986和Zach 2005）。 这个词很快就开始传播这些结果，这显然对数学基础来说非常重要 - 尽管对道德变化的真正是真正的看法。 Paul Bernays，也许是希尔伯特最重要的合作者，对结果感兴趣，但他首先在理解它们方面遇到了困难。 他与哥德尔的活跃对应也表明，哥特尔已经在充分意识到真理的不确定性。

由于Gödel的原始方法专注于他的具体虽然非常全面的系统P及其（原始递归）延伸，但有些怀疑哥特的结果的一般性。 例如，阿隆佐教堂在1932年7月至哥德尔的一封信中，建议哥德尔的结果不适用于他的λ-转换系统（系统后来被证明是Kleene和Rosser不一致）。 哥德尔急于概括他的发现，并将结果扩大到1932年和1934年的论文中的更广泛的制度。他还建议他的方法适用于集合理论的标准系统（但是，只有在候解性的满意性差异之后几年后教会论文稍后，有可能对不完整定理提供全面的制定（见上文）;这是在Kleene 1936中完成的。 杰出的理论主义者Ernst Zermelo针对哥德尔的工作指示了一些相当严厉的批评，但这两个问题也相应了。 Zermelo似乎在理解相关概念和结果方面存在严重困难。

1933年3月，哥德尔从苏黎世收到了Paul Finsler的一封信，他建议他已经早些时候（在Finsler 1926年）完成了密切相关的工作，而是更普遍的相关性。 Gödel回答说，Finsler的系统根本并没有真正定义。 在他加热的回应中，芬斯勒声称没有必要能够研究一个系统，因为他的想法和哥德尔之间的原则上没有差异。 回想起来，很明显，Finsler和哥德尔的方法非常不同：对于哥德尔的工作，形式化制度的概念至关重要，而Finsler则驳回了非常概念的人为限制。 事实上，芬萨勒的想法远远不清楚，无论它们之间可能存在什么含糊不清的类似物和哥德尔的证据。

另一方面，说埃米尔·帖子在某些方面预期的发现是公平的。 他在1922年获得了抽象版的不完整性结果。特别是，他观察到他的方法将在普林尼亚岛Mathematica中提供不可行的陈述。 然而，这些结果是基于邮政自己的“教会图论文”的版本，他不满意，他的工作被遗忘了。 据报道，在（1941年第1941章）之后。

Gödel定理的正确性仍然是在20世纪30年代全文中热闹的辩论的主题（见Dawson 1985）。 1939年，希尔伯特和伯尼亚伯尼亚二体积的Die Grundlagen der Mathematik出现了，包括第二个不完整定理的详细证明。 此后，严重反对哥德尔的结论消失了，至少在积极参与数学逻辑和数学基础的人中消失了。 然而，在更哲学的圆圈中，一些抵抗力仍然存在。 最着名的是，维特根斯坦对哥德尔的定理作出了关于数学基础的言论的一些重要评论。 主导的初始反应是Wittgenstein根本无法理解结果。 已经出现了更慈善的解释，辩论仍然非常活跃（参见哥特根斯坦的数学哲学哲学中的哥特尔和不可思议的主张。

6.哲学含义 - 真实和所谓的

6.1数学哲学

在哲学的各个领域，哥德尔的定理显然是对数学哲学最科的。 首先，他们为希尔伯特计划的严重问题造成了姿势（这个问题的严重问题（在本节中有关在希尔伯特计划中的条目中对不完整的影响的细节进行了详细讨论了）。 然后，他们对直觉主义的重要后果（见数学哲学中的直觉主义）（参见Gödel1933,1941; raatikainen 2005）。

关于哥德尔的定理是否最终反驳逻辑论（见逻辑论的条目）存在一些争议。 例如，Henkin（1962）和Musgrave（1977年）认为它; Sternfeld（1976）和Rodríguez-consuegra（1993）不同意（另见Hellman 1981; Raatikainen 2005）。

Gödel本人根据不完整结果（Gödel1953/9）制定了对逻辑实证主义的常规数学哲学的辩论哲学。 它是在Goldfarb和Ricketts 1992中讨论的; Ricketts 1995; Goldfarb 1995; Crocco 2003; 令人作知的＆carus 2003,2004; 2008年。

6.2不言而喻和分析真理

人们还可以给予哥特定理更普遍的认识论解释。 例如，Quine和Ullian（1978）考虑了传统的哲学图片，即所有真理都可以通过不言而喻的真理和观察来证明所有真理。 然后他们指出，即使是小学人数理论的真相也可能是由不言而喻的真理（Quine＆Ullian 1978：64-65）的不言而喻的步骤。对“分析”一定的自然理解，必须由哥德尔的定理，数学的综合真真因素。 事实上，哥德尔本人以非常相似的精神做出了言论，即使整数理论也是明显的非分析（Gödel1944）。

6.3'Gödelian'反对机制的论点

已经重复尝试申请哥德尔的定理来证明人类思想的权力超出任何机制或正式制度。 如果只是为了拒绝它，已经通过在20世纪40年代后期进行了拒绝它（见Piccinini 2003）。 不合格的反机主在不完整的定理中被广泛阅读的流行博览会，Gödel的定理，由Nagel和Newman（1958）中的不完整定理中得出。 之后不久，J.R. Lucas（1961年）着名宣称哥德尔的不完整定理

证明该机制是假的，即不能作为机器解释的思想。

他说

给定任何一致且能够进行简单算术的机器，有一个公式它无法产生真实......但我们可以看到这是真的。

最近，Roger Penrose（1989,1994）提出了非常类似的索赔。 John Searle（1997年）加入了讨论，部分捍卫了潘克罗斯，反对他的批评者。 Crispin Wright（1994年，1995年）从直觉的角度来赞同相关的思想（因为批评，见Detlefsen 1995）。 他们都坚持认为，哥德尔的定理意味着人类的思想无限地超越了任何有限机器或正规系统的力量。

然而，这些意大利士反机主论证是有问题的，并且有很多共识，他们失败了。 对此论点的标准响应沿着以下行（此异议返回Putnam 1960;另请参阅Booolos 1968，Shapiro 1998）：该参数假设对于任何形式化的系统或有限机器，存在无法实现的Gödel句子在该系统中，但这是人类的思想可以看到真实的。 然而，Gödel的定理实际上是一种条件形式，系统的盲目的真相依赖于系统的一致性的假设。 因此，反机主人的论点也要求人类思维总能看到一致的形式理论是否一致。 然而，这是非常难以置疑的（参见Davis 1990）。 卢卡斯，彭洛斯等人都试图回答这种批评（例如，参见，例如，Lucas 1996; Penrose 1995,1997）。 对于对PenRose的详细批评，请参阅Booleos 1990; 戴维斯1990,1993; Feferman 1995; Lindström2001; Pudlák1999; Shapiro 2003; 许多这些考虑因素也与卢卡斯说的）相关。

6.4Gödel和BenaCerraf机制和柏拉米派

有趣的是，哥德尔本人还提出了一个反机主论证，虽然它更加谨慎，但只出版了（在他收集的作品中，1995年）。 也就是说，在1951年的Gibbs讲座中，哥德尔从不完整定理中吸引了以下分离的结论：

要么......人类的思想（即使在纯数学的领域内）无限地超越了任何有限机器的力量，否则否则存在绝对无法解决的氯丹植物问题。

哥德尔谈到这一陈述作为“数学上成立的事实”（Gödel1951;有关吉尔的腐败索赔，请参阅，例如，Shapiro 1998）。 根据哥德尔，第二种替代方案

似乎对数学只是我们自己的创造......数学对象和事实......客观而独立于我们的心理行为和决策。

尽管如此倾向于否认绝对无法解决的问题的可能性，虽然他确实相信数学柏拉米主义，但他对这种信念的原因不同，他并没有保持独自的定理，而是独自建立柏柏兰主义的不完整定理。 因此，哥德尔认为，在第一次分开，人类的思想无限地超越了任何有限机的力量。 尽管如此，只有在德国否认，只有哥德尔那样拒绝，哥德尔本人的结论仍然是明确解释的。 这不是不完整定理的必要后果。

现在，与后来的大布尔的反机主论证的倡导者不同，敏感，足以承认这两个机制以及人类绝对无法解决的问题的替代方案与他的不完整定理一致。 他不喜欢后一种替代方案的根本原因更为哲学。 哥德尔以一种凯丽的方式思考，如果它就问了它无法回答的问题，人类的理由会是致命的非理性（用于关键讨论，见Kreisel 1967; Bookainen 2005; Raatikainen 2005）。

作为对卢卡斯的反应的反应，但在哥德尔·吉布斯讲座的出版物之前，Paul BenaCerraf（1967年）提出了更合格的结论，这些结论是有趣的类似于哥特的一些思想。 他认为，它与我确实是一个图灵机的事实一致，但我无法确定哪一个。 有关一些关键讨论，请参阅Chihara 1972和Hanson 1971。

6.5神秘主义和上帝的存在？

有时，从哥特的定理中得出了相当奇妙的结论。 它甚至甚至建议，如果不完全证明，哥德尔的定理，至少给予了神秘主义或上帝存在的强大支持。 这些解释似乎假设已经讨论过的一个或多个误解：假设哥德尔提供了绝对无法动制的句子，或者哥德尔的定理意味着谷仓或反机制，或两者。

有关不完整定理的哲学方面的更多讨论，请参阅raatikainen 2005和Franzén2005。

进一步阅读

不完整定理的标准参考是：

smoryński，C.，1977年，“不完整定理”，在数学逻辑，J.Barwore（Ed.），阿姆斯特丹：北荷兰，第821-866页[可用]。

数学逻辑有几本介绍性教科书，良好的阐述了不完整的定理和相关主题; 例如：

Boolecos，G.和R. Jeffrey，1989年，3号修订版，剑桥，剑桥大学新闻界。

Enderton，H.，1972年，纽约逻辑的数学介绍：学术出版社。

van dalen，D.，2004年，逻辑和结构，第4版，柏林：斯普林克。

致力于定理的两本书是：

摩尔兰，R.，1991，哥德尔的不完整定理，牛津：牛津大学出版社。

史密斯，P.，2007年，剑桥吉尔定理介绍：剑桥大学出版社。

关于不完整定理和相关主题的另一本有用的书是：

Murawski，R.，1999年，递归职能和元疗法：完整性和脱穷人的问题，哥德尔的定理。 DONDRECHT：KLUWER。

对这些主题的全面，更高级的书是：

Hájek，P.和Pudlák，1993年，一阶算法的Metamathematics，柏林：Springer。

另一本有用的书籍，包括一些更高级的主题是：

Franzén，T.，T.，2004，无穷无尽的辅助治疗，逻辑16，ASL，Wellesley：A.K. 彼得。

在以下两个来源中调查了不完整性定理周围的更哲学方面（Franzén是一个可访问的，非正式，但可靠的，解释不完整定理）：

raatikainen，P.，2005，“关于哥德尔的不完整定理哲学相关性，”Revue Internationale De Photosophie，59：513-534 [在线提供]。

Franzén，T.，2005年，Gödel的定理：它使用和滥用的不完整指南，Wellesley：A.K. 彼得。

以下两篇论文调查了第一个不完整性定理周围的各种问题：

Beklemishev，L. D.，2010年，“Gödel不完整的定理和适用性的极限。 我，“俄罗斯数学调查，65：857-898。

Buldt，B.，2014，“哥德尔的第一个不完整性定理的范围”，Logica Universalis，8：499-552。

最后，有一个开源电子书，包含不完整定理的演示：

Zach，Richard，2019，Open Logic项目发布的电子书的不完整性和计算性。