哥德尔的不完整定理（三）
（对于有限许多公理的理论，有一个列表形式的公理的独特表示，并且因此，相对于Provfol（x）的唯一一致性语句。）与确定衍生性条件是相反的满意，确定一个相对常规的任务，以确定形式化公理的给定公式确实是所需的形式（Σ
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）。
现在在1960年出现的第二个不完整性定理的版本是：
第二个不完整性定理的变种（Feferman 1960）
让F成为PA的一致扩展，让AXF（x）是σ
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1
- 弱代表F的公理的信息，缺点（f）是由AXF（X）和Provfol（X）构成的一致性语句。 然后缺点（f）在F中不可提供
对于第二个不完整性定理的仍然不同的方法，请参阅Feferman 1982,1989a; visser 2011.对于有关第二个定理的一些哲学并发症，请参阅Detlefsen 1979,1986,1990,2001; Auerbach 1985,1992; roper 2003; Franks 2009（另见贝尔伯特计划中的条目中的不完整部分）。
4.与不完整定理相关的结果
4.1 Tarski关于真理的未定义的定理
Gödel首先通过注意到系统中必须难以定义的真相（系统的语言）来抵达不完整的结果（见下文第5节），该结果通常归功于Tarski（Tarski呈现出某些真正的优点问题;见Gómeztorrente 2004）。 现在让我们在Tarski对真理方法的上下文中查看结果。
Tarski清楚地区明了对象语言，即，句子的判处的真实语言以及讨论前者的语言。 他还需要（参见Tarski的真相定义的条目），对于对象语言的真理真理（x）的任何满意定义都应满足他的“公约T”，即它应该具有其结果的所有等值（“T-Digitance”）的结果
为True（⌜a⌝）↔b，
其中⌜a⌝是对象语言的句子的名称，b在Metalangage中的翻译。 如果Metalanguage与对象语言相同，或者是对象语言的扩展，则B只是本身，而T-eptifations是表单：
为True（⌜a⌝）↔a。
未定义定理表明的是对象语言和金属语言不能一致，但必须是截然不同的。
tarski的无懈可击定理
让F成为一致的形式化系统，其包含足够量的算术。 然后，没有f的语言没有公式tr（x），这样对f的语言是f：
f⊢tr（⌜a⌝）↔a。
证明的想法：如果有F的语言的这种公式，则轻松地将对角化引理到其否定将导致矛盾的句子L（对于“骗子”;见骗子悖论），这样：
f⊢¬tr（⌜l⌝）↔l，
其中与假设可导出的T-等量一起将快速发出明确的矛盾，从而与F是一致的假设相矛盾。
同样，可以证明F的F-IN在现在标准的“可定定感”（见上文）的预期解释中，F的一组真正的句子是不可知的。
4.2未索引结果
用于证明Gödel定理的工具还提供了各种重要的不可缺陷性结果。 如果其定理集（IT中派生的句子）的集合是可判定的，则称为可判定的理论是可判定的，即（通过教会图论论文）递归。 否则，该理论是不可判定的。 非正式地，可判定意味着存在一种机械过程，使得一个人能够决定是否是任意给定的句子（理论语言的语言）是定理。
如果一个理论是完整的，它是可判定的（证明草图：给出一个句子A，系统地生成理论的定理;通过完整性，最终将在有限时间内产生或¬a。 但是，匡威并不总是保持：有不完整的理论是可判定的。 然而，不完整至少打开了不可思议的可能性。 此外，包含罗宾逊算术Q的所有理论（直接或Q可以在其中解释）都不完整和不可判定。 因此，对于一个非常广泛的理论，不完整和不可剥离性齐全。
粗略地说明Q的延伸的不可剥离性的优雅和简单的方式如下：让F成为包含Q的任何一致理论。那么它的定理集是可判定的，即（由教会绘制论文），递归。 然后，它将遵循F的定理的集合（Gödel编号）在F本身中是强烈的表示。 回想一下，这意味着F的语言有一些公式B（x），使得每当f⊢a（甚至缺乏吞吐率保证）时，也不只有f⊢b（⌜a⌝）。 然而，在第一个不完整性定理证明中使用的技术还表明，始终存在后者不保持的句子：可以为f的b（x）构建一个gödel句子gb，使得：
f⊢gb↔¬b（⌜gb⌝）。
如前所述，它遵循f⊬gb。 已经假设B（x）强烈代表定理集，因此这需要f⊢¬b（⌜gb⌝），因此，（D），f⊢gb，矛盾。 因此，必须不可取。
如果在F的语言中不可确定的每一贯延伸，那么理论F基本上是不可判定的。 实际上，上述验证草图建立了Q基本上是不可判定的。 （有些非常弱的理论是不可透明但不是基本上不可判定的。）
回想一下，Q只有许多公理，让AQ代表由Q的公理结合组成的单句。然后对于算术语言的任何句子B，
q⊢b如果它是AQ→B的一阶逻辑的定理。
但是，一阶逻辑的决策过程将为Q提供决策方法。然而，后者是不可能的，因为它已经显示出来。 因此，可以得出结论：
教堂的定理
一阶谓词逻辑是不可确定的。
（这种不可思议的结果是由教堂1936A，B的首先建立的;通过Q的不可逃号来源的方法是由于Tarski，Mostowski和Robinson 1953年。）
随后，已经证明了许多来自数学领域的理论和问题是不可估计的（参见，例如，戴维斯1977; Murawski 1999：Ch 3）。
4.3反思原则和Löb的定理
启发式，人们可以将哥特克判决GF视为表达自己的无法忍受 - 说“我不可否认” - 虽然，如已经强调的那样，应该用一粒盐来采取这种索赔。 莱昂亨金提出了表达自己可证明的判决（“我提供”）是真假的或虚假的，并提供（Henkin 1952）。 Georg Kreisel很快就指出，这取决于如何表达证明; 有不同的选择，一个人得到相反的答案（Kreisel 1953）。
由裁判的评论增强MartinHugoLöb（1955）的论文，为各种前沿提出了大量的进展。 首先，它介绍了现在在第二个不完整定理的上下文中讨论的现在标准的LÖB衍生能力条件。 其次，它包含Löb的Henkin解决问题关于“表达自己可证明的句子”的问题。 第三，它包含现在称为“Löb的定理”的概括，但这卢布实际上是匿名裁判（曾经是Henkin本人而言）的信贷;整个故事都是在Smoryński1991中讲述的。）
为了妥善了解Löb的定理，首先考虑所谓的“反思原则”是有用的。 以上，重点是在正式系统内表达，系统是一致的，即缺点（f）。 但自然这个理论不应该是一致的，而且也不是一致的，即，只证明真实的句子。 系统的声音如何，即声称系统中的所有甚至在系统中导出的所有索赔都是如此，表达？ 如果想要以系统本身的语言表达这一点，则无法通过单一的陈述来完成这一点，因为真理的不确定，没有合适的真理谓词。 然而，各种限制性和无限制的声音索赔可以以计划的形式表达，所谓的反射原则：
provf（⌜a⌝）→一个。
通过拍摄⊥，并注意到⊥在f中是反复化的，很容易看到反射原则需要一致性语句缺点（f），即¬provf（⌜⊥⌝）; 因此，在系统中通常不能证明它。
该方案也可以受到限制。 相当于1-一致性的假设，或σ
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- 例如，对-soundness
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- 要求（即，该方案中的句子A必须是Σ
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- entence。）或者，它可以限于通用π
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-sentences; 等等。
究竟在系统中实际可提供哪种反射方案的实例？ Löb的定理给出了这个问题的确切答案（假设Provf（x）满足衍生能力条件）：
Löb的定理
让A成为F的语言的任何句子
因此，系统中可证实的声音（反射原理）的实例正是涉及系统中可证明的句子的实例。 因此，这也解决了Henkin的原始问题：假设算术可加速谓词再次“正常”（即满足Löb的衍生条件），所有句子“归咎于他们自己的可证明”是可证明的。
实际上，由于第二个不完整性定理，Löb的定理可以得到很快。 Kreisel还注意到，在相反的方向，第二个不完整性定理也可以随着Löb的定理而容易地衍生出来的。
4.4希尔伯特的第十个问题和MRDP定理
1900年，希尔伯特在数学中的重要公开问题最重要的公开问题列表第十次要求出于所谓的二极管方程的决策方法。 尽管存在不熟悉的术语“蒸番啶，”在这里有什么问题真正小学。 考虑具有一个或多个变量和整数系数的任何等式，其涉及仅添加和乘法，例如x2 + y2 = 2，或3x2 + 5y2 + 2xy = 0。 如果寻求实数解决方案，人们通常就是“公式”的说法。 然而，在数字理论中，通常寻求仅由整数组成的解决方案。 这有很大差异。 上述等式的前者在实数之间具有无限的解决方案，但整数中只有四个。 等式x2 + y2 = 3也具有无限的许多真实解决方案，但没有整数解决方案。 当焦点在整数解决方案上时，一个关于“亚梦义的古号理论浏览器之后”（亚历山大的Diophantine方程）谈论。
对于Hilbert的第十个问题的积极解决方案，它已经表现出一种特定的具体方法，该方法将直观地是“机械”决策方法。 然而，决策方法的概念的先驱分析集中在消极解决方案的可能性。 从20世纪50年代初开始，朱莉娅罗宾逊和马丁戴维斯在这个问题上工作，后来加入了Hilary Putnam。 由于他们的合作，实现了这个方向的第一个重要结果。 如果它涉及指数，以及加法和乘法，则呼叫等式“指数辅助导流素方程”（即，可以将常量和变量作为指数）; 当然，焦点仍在整数解决方案中。 戴维斯，Putnam和Robinson（1961）表明，指数衍生灵氨酸方程的可溶性问题是不可透明的。 1970年，Yuri Matiyasevich增加了最终缺失的作品，并证明了衍生性方程的可溶性问题是不可透明的。 因此，整体结果通常被称为MRDP定理（对于博览会，参见，例如，戴维斯1973; Matiyasevich 1993）。
基本的技术成果是，所有半可解除的（递归令人令人难以置信）集合可以给予蒸氨定表示，即，它们可以由形式的简单公式表示，其中（s = t），其中（s = t）是一种蒸番啶方程。 更准确地说，对于任何给定的递归令人令人令人令人令人令人令人令人难以征收的SET，存在越野方程（S（y，x1，...，xn）= t（y，x1，...，xn），使得n∈soily any any anx1 ...∃xn（s（
n
_
，的x1，...，xn）= t（
n
_
，的x1，...，xn））。
由于存在不可解除的半解密（递归令人令人携带）集（递归），一般结论立即跟随：
MRDP定理
没有一般方法来决定给定的辅助线方程是否具有解决方案。
这还提供了处理促番茄方程的不完整定理的优雅变体：
推论
对于任何1一致的公理性正式系统F有没有解决方案的辅助线方程，但不能证明F f To Not Solutions。
（避免在这里避免1-一致性的问题是棘手的;请参阅Dyson，Jones和Shepherson 1982.）
4.5不可移动陈述的具体案例
由Gödel的证据提供的未定定句（如果撰写）非常复杂的公式，没有直观意义，仅供不完整证明的目的被解释。 然后，问题出现了是否存在任何简单和自然的数学陈述，这些陈述同样在所选择的基本理论中不可行，例如在PA中。 现在有各种特定的陈述具有清晰的数学内容，已知在某些标准理论中不可行（但是，即使这些是多么自然也是有争议的;见Feferman 1989B）。 下面列出了一些众所周知的自然的例子，从一些与PA独立的一些非常自然的数学陈述开始，并进行越来越强大的理论。 有时，这种结果称为哥德尔定理的变种，或者他们的独立替代证明证明是哥德尔定理的证据，但这是误导性：有趣，因为他们可能是哥德尔定理的普遍性，但只提供独立于特定理论的陈述。
通常表示，在庆祝的巴黎-Harrington定理之前（见下文），没有已知这样的自然独立的数学陈述。 然而，这不是严格来说，正确。 1935年大约是早些时候，Gerhard Gentenen（参见关于证明理论的开发）提供了此类声明。 概括了从自然数目的诱导概念到序数域的域。 在集合理论中，这种概括称为转铁矿诱导原理。 虽然一些建构主义者对全集理论的合法性可能是持怀疑态度的，但是有限且更具体的经细制诱导案例（只处理一些明确定义的可数顺序），即使从建构主义者或者也是完全可接受的直觉观点。 一个重要的案例是Transfinite诱导的原理达到称为ε0的顺序。 Gentzen表明，如果假设这种Transfinite诱导原理，可以证明PA的一致性。 因此，由于第二个不完整定理，原则本身不能在PA（Gentzen 1936）中提供。
Ramsey的定理是由Frank Ramsey（1930）建立的无限组合者，并对某些图表造成“着色”的可能性。 杰夫巴黎和莱奥哈灵顿制定了一个有关Ramsey的定理的合同变体，并显示了它在PA（巴黎和Harrington 1977）中不可提供。 这提供了与PA无关的有限组合学的相当自然的陈述。 也许甚至更清洁的例子是Goodstein的定理，由于Reuben Goodstein（1944），它在自然界中纯粹是虚构的。 第一个定义一定的自然类自然数，现在称为“Goodstein序列”。 定理指出，每个Goodstein序列最终终止于0. Goodstein的定理肯定是一个自然的数学陈述，因为它是由Goodstein的制定和证明（显然通过除PA超越PA）之前（即1944年）是在1982年显示定理在PA（Kirby＆Paris 1982）中不可提供定理。
现在移动到更强的PA超越PA，一个人可以提及，例如Kruskal的定理。 这是一个涉及某些有限树纹排序的定理（Kruskal 1960）。 Harvey Friedman表明，即使在比PA强大的二阶算术的子系统中，本定理也是无法形容的（参见SIMPSON 1985）。 特别是，在任何理论中不可提供的任何理论（在众所周知的“谓词”中，参见，参见数学哲学哲学中的替代主义部分）。
即使在来自所谓的描述性集合理论的较强的理论中，还有一些数学陈述的具体例子。 这个数学领域与拓扑有关，并由法国半直觉主义者发起（Lebesgue，Baire，Borel;参见描述性集合理论等的部分，在哲学中的直觉论中数学）。 IT研究套装具有相对简单的定义（与任意集的思想和各种更高的电力集合的思想，半直觉主义者被称为缺陷）称为投影或分析集。 经典上，这些被定义为可以通过持续图像和多次补充的连续图像和补充来从开放集的可数交叉点建立的集合; 它们与符合P2语言可定义的集合。 特别地，所谓的BOREL组可以简单地通过形式∃xa（x）的公式和形式∀xb（x）的公式来定义，其中a和b不包含任何设定变量（在逻辑员的术语中，Borel集是δ
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设置）。 BOREL功能类似地定义（参见，例如，Martin 1977）。
Harvey Friedman已经建立了以下定理：大致，如果S是BOREL集，那么就存在一个BOREL函数F，使得F的图表包括在S.FRIFEMS中，即使完整的简单探测定理也不可证明这种简单的声音定理二阶算术P2，但证明它一定需要ZFC的全部力量（见辛普森1999：23）。
此外，它是一种传统的描述性集合理论（一个问题可以用二阶算术语言配制）是否所有投影集（见上文）都是lebesque可测量的。 这在数十年中仍然是一个公开的问题，并且有一个充分的理由：事实证明，陈述是独立的，即使是完整的ZFC集理论（参见Solovay 1970）。 只有通过假设一些极大的红衣主教（所谓的Woodin Cardinals），可以证明所有投影集的假设都证明了所有投影套（所谓的伍德林）由伍德林，马丁的工作所取得的投影决定和钢;看伍德林1988;马丁和钢铁1988年，1989年）。
有时Paul Cohen的庆祝结果是，连续的假设（CH）独立于ZFC（Cohen 1963,1964;见独立和大型红衣主教的条目）。 但是，这种情况非常不同。 在上面的所有独立性方面，相关陈述仍然是数学的定理，如图所示（最后的情况，这需要超越ZFC超越ZFC的大型基本公理，更有争议;仍然，至少许多设法的理论家发现这样的公理合理的）。 与第一个不完整的定理本身，鉴于系统的一致性的假设确实是正确的，可以轻松地跟随不可移动的陈述的真实性。 然而，在Cohen的结果的情况下，绝对没有指示CH是否应被视为真实，假或可能缺乏真实价值。
5.历史和早期接收不完整定理
哥德尔的结果肯定令人惊讶，但某种不完整的现象并不完全出乎意料。 伯尼亚和塔斯基在1928年讨论了设定理论背景下的不完整性的可能性，与希尔伯特计划中的主导精神相比，冯·诺伊曼认为，逻辑和数学没有可判定。 Gödel本人提到了1929年论文中关于实际数量的不可思议问题的可能性（见Dawson 1985）。 另一方面，希尔伯特（1928年）假设Peano算术和其他标准理论完整。 显然哥德尔也受到Brouwer留下的印象，他在1928年的维也纳讲座中提出了数学是取之不尽的，不能完全正式化（见王1987,84;以及Brouwer观点的部分直观逻辑发展进入的形式学课程。
