哥德尔的不完整定理（二）

2.2可转烧性

吉尔的证据还要求在正式系统F中的集合和关系中的可爱概念更准确地说，需要两个相关的概念。

如果存在一个自然数n：每个自然数n：

n∈s⇒f⊢a（

n

_

）;

n∉s⇒f⊢¬a（

n

_

），

如果有f的语言的公式a（x），则自然数为每个自然数n：

n∈s⇔f⊢a（

n

_

）。

显而易见的是所有这些概念都是如何推广到多个地方的关系。 还有相关概念的函数。 由于特定地教导我们的不完整性，因此只有弱而不是强烈表示的集合（系统中可提供的陈述集）。

[警告：这里的文献中的术语变化很大：“强烈代表”有时被称为，例如“代表”，“数字表达”，“双重”，“定义”或“强烈定义”; “弱代表”又表示，例如，“代表”，“定义”，“弱定义”或“重量”。 一个人应该在这里小心并专注于相关的定义，而不是让词语误导。]

在两种可逗号（弱和强）的情况下，总存在一个简单的存在σ

0

1

- （弱或强）表示所讨论的所设定，通常这种公式用于代表S.

虽然这些概念是相对于正式系统的，但事实证明，强大而弱的可比性是非常稳定的。 完全独立于所选择的特定正式系统，完全是可判定的或递归，集合（关系）是强烈的可代表性的，并且完全是半可解密的或递归令人令人令人市集的集合（关系）是弱代表性的。 这适用于包含罗宾逊算术Q的所有正式系统，从罗宾逊算术本身到最强的结构理论的系统，如ZFC及更大（只要它们（递归）公理化）。 而不是使用“可夺取性”的概念，哥特采用了不同的方法，通过说出“在正式的系统f”（“entscheidungsdefinit”）中“可判定”。 如果系统地产生F的证据，则最终将确定任何给定的数字N，无论是否属于s或未给出s在f中都是强烈的表示。

总而言之，我们有：

可引起的定理

在包含Q的任何一致的正式系统中：

如果且仅当它是递归时，集合（或关系）是强烈的表示;

如果且仅当它被递归充值时，集合（或关系）是弱可表示的。

概念 - 强度和弱者的概念必须明确区分（在单词的标准意义上）。 如果语言中存在公式a（x），则算术语言是可定义的

n

_

）在自然数量（预期解释）的标准结构中是真的，如果且仅当n∈s时。 有许多集合可以以算术的语言定义，但在任何F中表示（甚至弱），例如该组一致的公式，在系统f中无法移动的一组句子，或者没有解决方案的一组辅助线方程（见下文）。

2.3正式语言的算术

Gödel证据的下一个必要步骤是采取正式系统的语言，总是精确定义（这是作为正式系统的一部分），并在那种语言的表达式与自然数字的表达式之间进行某种形式的对应关系，“算术”或“哥德尔编号”，语言。 有许多可能的方法可以实现这一目标，细节并不重要（对于一种非常标准方法的一些细节，请参阅补充文件Gödel编号）。 基本点是所选择的映射是有效的：始终可以从表达式到其代码号的表达式传递，并且从数字到相应表达式。 今天，当我们大多数人都熟悉计算机以及零可以编码了这么多的事实时，这种算术的可能性很难令人惊讶。

粗略地，一个收益如下：首先，语言的原始符号与不同的自然数字配对，“符号编号”。 然后，一点数字理论就足以通过单个数字代码编号序列。 因此，良好成形的公式，作为原始符号的序列，每个符号都分配了唯一的数字。 最后的衍生或证明是系统的序列，也是芳级化的，并且也被分配了特定的数字。 这样的代码，公式A的“Gödel号”，表示为⌜a⌝，并且类似地用于推导。

通过这种方式，在算术中反映了语法属性，关系和操作：例如，Neg（x）是将Gödel数量的算法发送到其否定的Gödel数量; 换句话说，neg（⌜a⌝）=（⌜¬a⌝）; 类似地，iclip（x，y）是将一对配方的Gödel数量映射到公式的含义的Gödel数量：iclip（⌜a⌝，⌜b⌝）=⌜a→b⌝; 等等。 有一个算术公式，称为FMLA（X），这是N IFF N的真实的，是系统良好的系统的Gödel数。 还有一个算术公式M（x，y，z），这是真的，如果一个有一些公式a和b的推理模式Ponens的有效应用，则为x =⌜a⌝，y =⌜a→b⌝和z =⌜b⌝; 这样，这种方式可以在数字水平上模拟所有语法特性和操作，此外，它们在包含Q的所有理论中都是强烈的表示。

由于它是可判定的（通过形式系统的定义），根据所选择的形式系统F的规则，给定句子的给定序列是否构成了给定句子的证据，其二进制关系“x是（Gödel数）的公式的证明（与Gödel号码）Y”可以在包含Q的所有系统中强烈表示，因此特别是在F. 让我们表示强烈地代表F本身的公式作为PRFF（X，Y）。 然后，在f中可执行的属性被定义为∃xprff（x，y）。 让我们将这种正式的可保释谓词缩写为Provf（x）。 所以跟随后者是弱代表性的（尽管如此，它就不强）：

f⊢a⇒f⊢provf（⌜a⌝）。

始终可以选择可保释的谓词Provf（x）是σ

0

1

-formula。

2.4对角化，或“自我参考”

下一个且可能有些令人惊讶的哥德尔证据的令人惊讶的成分是以下重要的引理（我们仍然认为F是一个包含Q）的正式系统：

对角化引理

让（x）是F的语言的任意公式，只有一个自由变量。 然后可以机械地构造句子D

f⊢d↔a（⌜d⌝）。

（对于证明的草图;见补充：对角化引理）

在文献中，这种引理有时也称为“自我参照lemma”或“固定点引理”。 它有许多重要的应用程序，超出了不完整定理。

常常说，给定由A（x）表示的属性，句子D是一个自称句子，它“本身”是属性A.这样的言论数字可能是一种启发式有用的，但它们也很容易误导并表达太多。 例如，注意，引理仅提供D和A（⌜d⌝）之间的（可提供的）物质等效（这两侧必须具有相同的真实值），并且没有声称任何意义的识别。 特别地，d和a（⌜d⌝）绝不是相同的 - 并且虽然⌜d⌝和⌜a（⌜d⌝）⌝。

2.5第一个不完整性定理完成

为了完成证据，对角化引理应用于否定的保证谓词¬provf（x）：这给出了一个句子gf

f⊢gf↔¬provf（⌜gf⌝）。

因此，即使在F内部也可以示出，如果它在f中不可提供，则GF是真的。

如果F仅为1一致，则并不难以证明GF在F中既不可证明也不是潜在的。

对于上半年，假设GF是可提供的。 然后，通过Provf（X）通过Provitaabity-F的弱可替代性，F将证明Provf（⌜gf⌝）。 但是，因为F实际上也证明了等价（G），即f⊢gf↔¬provf-provf（⌜gf⌝），F也将证明¬gf。 但这意味着f不一致。 总之，如果f是一致的，则在f中不可提供GF。对于这次上半场，假设F的简单一致性就足够了。

对于下半部分，必须假设F是1-一致的（如果已选择Provf（⌜gf⌝），使其是σ

0

1

-sentence; 否则，需要更一般的ω-一致性的假设）。

假设f⊢¬gf。 然后f不能证明gf，因为否则F会只是不一致。 因此，没有自然数N是GF证明的Gödel数，因为证明关系是强烈的代表性，对于所有N，f⊢¬prff（

n

_

，⌜gf⌝）。 如果另外，f⊢∃xprff（x，⌜gf⌝），则F不是1-一致的，反对假设。 因此F不证明∃xprff（x，⌜gf⌝），换句话说，通过Provf（x）的定义，f不证明provf（⌜gf⌝）。 通过关键等价（g），f也不证明¬gf。

哥德尔的第一个不完整定理

假设f是包含robinson算术Q的正式系统。然后可以从f这样机械地构造F的语言的句子GF：

如果f是一致的，则为f⊬gf。

如果f是1-一致的，则为f⊬¬gf

F的独立或“不可思议”（即F）陈述GF既不可证明的，也不可审议，也不是F的陈述GF。

事实上，在有利的情况下，可以表明GF是真的，条件是f确实是一致的。 如果已选择可保释谓词Provf（X）作为Σ

0

1

- Formula：然后将Gödel句子可被证实相当于通用公式∀x¬prff（x，⌜gf⌝）。 如果实际上它们是错误的，可以证明这种配方是错误的：如果是假的，则会有一个数字，这样f⊢prff（

n

_

，⌜gf⌝）（这已在Q中持有。 然而，这将与定理相矛盾。 因此，GF不能是假的，并且必须是真的。 因此，哥德尔判刑通常被称为“真实但无法移动”。

一个人不应该在这里混淆：“哥德尔的定理”是哥德尔的一般不完整结果，涉及大类正规系统，而“哥德尔句”是由一个正式系统变化到另一个。 这就是为什么在gf中包含下标f很重要。 此外，在这种情况下，人们不应该混淆两个不同的“未定定”的感官。 一方面，像Gödel句子一样的特定句子可能在独立的意义上不可思议，即，既不可证明在所选系统中都没有反驳。 另一方面，理论可能是不可判定的（见下文），因为不存在用于确定语言的任意句子的决定方法，无论是在理论中是否可导出（所以出现的“未定定感”的关注，所以，无限阶级的陈述）。

在对第一个不完整性定理的非正式解释中，常常说，哥特判决GF“本身就是不可否认的”。 然而，这种不精确的陈述应至少用一粒盐进行。 有许多原因得出结论，至少总的来说，哥德尔判刑并没有真正对自己的重大说法（MILNE 2007是对这些问题的仔细分析）; 例如，如前所述，在对角化引理的情况下，通常在此处使用Mere Imporated等效命令。

rosser的改进 - 从ω-一致性到一致性

1936年，J. Barkley Rosser进行了一个重要的改进，使人们能够摆脱吉尔第一个定理证明的ω-一致性的毫无笨拙的假设。 为此目的，ROSSER推出了一种新的，有点人工“可保释谓词”PROP *（x），非正式地建造，如下：

存在Y，使得Y是具有Gödel数x的公式的验证的Gödel次数，并且不存在小于Z，使得Z是Zödel数x的公式否定否定的Gödel次数。

更正式：

省*（x）=def∃y[prff（y，x）∧∀z＜y（¬prff（z，否定（x）））]，

其中prff（y，x）是更早讨论的标准证明关系。

正如它所说，如果正在考虑的正式系统F确实是一致的，则Rosser的可证明谓词与普通的可加速度谓词共同延伸。 将对角线化引理到Rosser的可证明谓词Prov *（x）给予：

rosser对第一个定理的修改（rosser 1936）

让F成为包含Q的一致形式化系统。然后，F的语言有一个句子RF，使得RF和¬RF都不可提供在F.

2.6不完整和非标准型号

它也从模型理论的角度反映了第一个不完整性定理 - 尽管定理本身并不是以任何方式要求这一点。 即，除了预期的解释或“标准模型”之外，任何满足定理条件的任何理论F必须拥有（在标准模型中）（在算术理论，自然数的结构），非预期解释或“非标准模型” - 没有这样的理论可以排除后者并确定唯一的预期解释。 即，如果存在独立的语句，例如GF，F必须具有满足GF和模型的两种型号，而不是满足¬GF。 由于¬gf等同于∃xprff（x，⌜gf⌝），后者型号必须具备满足公式prff（x，⌜gf⌝）的实体。 然而我们知道（因为PRFF（x，y）强烈代表了任何数字的证明关系）

n

_

，f可以证明¬prff（

n

_

，⌜gf⌝）。 因此，没有自然数N可以证明公式。 因此，除了自然数量之外，任何此类非标准模型必须包含（数字的表示）

n

_

），“无限”在自然数之后的非自然数。

对非标准模型的研究并未以哥德尔的结果 - Skolem开头，特别是在不同的背景下已经意识到了他们（他发现集合理论的一流理论有不自然小，即可数模型，在Skolem中1922年;参见Skolem的Paradox的条目） - 在算术的背景下，第一个不完整定理阐明了非标准模型的存在，而非标准模型阐明了第一个不完整定理。 非标准模型以来，此后成为数学逻辑的丰富研究区（参见，例如，Boolecos＆Jeffrey 1989：Ch。17; Kaye 1991）。

3.第二个不完整定理

3.1预备

非正式地，导致第二个不完整性定理的推理相对简单。 鉴于算术提供的可加素谓词，它也很容易呈现算术化一致性声明：选择一些明显不一致的公式（在算术理论中，标准选择是（

0

_

=

1

_

））; 让我们用♥; （算术化对应物）然后系统的一致性可以定义为¬provf（⌜⊥⌝）。 让我们缩写以下公式（f）。 然后，第一部分的第一部分的证明（即，上面的情况（I））可以推测在F内部正式化（实际上这肯定是复杂的）。 这给了：

f⊢cons（f）→gf，

其中gf是第一个定理提供的f的哥特句。 如果FID（F）可提供在F中，因此通过简单的逻辑将是GF。 这将矛盾的是哥德尔的第一个定理。 因此，缺点（f）不能在f中提供。

哥德尔的第二个不完整的定理

假设F是一个一致的形式化系统，其包含基本算术。 然后f⊬cons（f）。

这里应该提到的哲学重要性问题：正如它所说，哥德尔的第二次不完整定理只建立了一句话的无法动力，缺点（f）。 但这句话真的表达了f一致吗？ （将此与上面的评论相比，GF没有，严格来说，表达自己的无法忍受性。）此外，可能没有其他句子可以证明，也表达了F的一致性？

然而，以更一般的形式给出第二个定理的严格证明，这些形式涵盖了所有这些句子，结果证明是非常复杂的。 基本原因是，与第一定理不同，不仅仅是任何，仅基于任何基础的可加工谓词，以便在一致性索赔的形式化。 介绍方式都有所作为。 例如，上面提到的rosser的可证明谓词不会做; 如果在rosser的可加工谓词方面表达了一致性，则可以证明F中的“一致性”。 因此，必须为证明谓词添加一些进一步的条件，以便证明第二个不完整定理经历。 遵循Feferman（1960年），习惯于说，而第一个定理和亲属是扩展结果，而第二个定理是气密的：必须认为在某种意义上的缺点（f）表示F的一致性意味着它真的意味着它真的意味着它的一致性f是一致的。

3.2衍生性条件

第二个不完整性定理的证据要求F中的可加工谓词满足了许多条件，这些条件用于证明细节。 有几种不同的条件会这样做。

第二个不完整性定理的第一个详细证明（Hilbert＆Bernays 1939）（主要是伯尼撰写），但只针对一个特定的理论，PA。 它使用了一种相当尴尬的条件，以获得可加速的谓词。 这些是更具技术的lemmas，可满足特定证明的需求，而不是对“自然”可加素谓词的任何分析。 Löb（1955）提出了一个更优雅的，现在标准的“衍生性条件”列表 - 虽然它们的预期用途有些不同（见下文）。

Löb的衍生性条件

f⊢a⇒f⊢provf（⌜a⌝）。

f⊢provf（⌜a⌝）→provf（⌜provf（⌜a⌝）⌝）。

f⊢provf（⌜a⌝）∧provf（⌜a→b⌝）→provf（⌜b⌝）。

（D1）只是证明可证明是弱易于代表的第一定理证明的要求。 大致放置（D2）要求（D1）的整体演示，对于候选保证谓词Provf，本身可以在F中正式化。最后

如果算术证明谓词确实满足了这些条件，则可以证明第二种定理。 让GF再次成为第一个定理给出的f的哥特句。 使用衍生能力条件显示：

f⊢gf↔cons（f）。

考虑到第一个不完整定理，这立即产生缺点（f）的无法动力。

此外，Jeroslow（1973）以巧妙的伎俩展示，实际上它实际上可以建立第二定理（D3）。 然而，在某些其他情况下（例如，当妨碍Löb的定理时;见下文），并且在可保释逻辑中，仍需要所有三种条件。

3.3 Feferman对第二本定理的替代方法

在假设一个理论上的可加工谓词满足衍生性条件（或者，通过Jeroslow的诀窍，至少D1和D2）相对容易证明第二个不完整性定理的相关情况。 然而，在实践中，必须建立一个拟议的算术证明谓词真正满足条件案例，通常这是长而乏味的。

这种缺点在其他事情（见Feferman 1997）中，LED Solomon Feferman在20世纪50年代后期寻找替代攻击的攻击，对第二种定理（见260年）。 Feferman分两步接近该问题：首先，他分离了算法以一阶逻辑计算一些标准概念的公式Provfol（X），以便我们在逻辑中修复一个所选公式以用于可加速的可加速度。 在此阶段，展示了系统上的系统的非逻辑公理集合如何左转。 其次，Feferman寻找适当的约束来呈现公理。 在算术语言的公式中，他隔离了他所谓的，并重新公式; 前者对应于算术中的规范原始递归（PR）定义，并且后者对前者存在的概括。 每个递归可令人携带（重新）设置可以由后一个排序的公式定义; 这些只是σ

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1

-formulas。 这两种课程易于通过其语法形式歧视。 （实际上，通过MRDP定理（见下文），一个可以 - 而不是重新公式 - 焦点甚至更简单的存在量化的蒸氨定方程。）

我们上面有了上面的重要事实，即在包含Q的所有算术理论F中，如果它是递归，则在F如果且才能递归地令人易于令人易于识别的情况，则该集合在且仅当它才是弱即代表时，该集合是强烈的。 此外，人们可以始终将公式弱或强烈地代表设置为重新公式（即，σ

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-formula; 并且，通过MRDP定理，甚至是存在量化的蒸氨酸方程）。 然后，要求系统的非逻辑公理在问题上是自然的，由这种公式表示。 如果算术定义的Gödel的公理组的定义反映了公理方式，如果无限的，如果无限制，则得到的公式将是σ

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。