哥德尔的不完整定理（一）

哥德尔的两个不完整定理是现代逻辑中最重要的结果，对各种问题产生深刻的影响。 他们涉及正式公理理论的可证明性的限制。 第一个不完整性定理指出，在可以进行一定量的算术的任何一致的正式系统f中，存在F的语言陈述，它既不能证明也不会在F中被证明。根据第二个不完整定理，如此正式的系统不能证明系统本身是一致的（假设它确实是一致的）。 这些结果对数学和逻辑的哲学产生了很大影响。 还有试图在其他哲学领域应用结果，例如思想哲学，但这些未遂的应用程序更具争议。 目前的进入调查了两个不完整的定理和周围的各种问题。 （另见KurtGödel的条目，讨论了在更广泛地讨论他的数学和哲学工作的更广泛讨论中的不完整定理。）

1.简介

1.1概述

1.2一些形式化的理论

1.3教会图论论文的相关性

2.第一个不完整的定理

2.1预备

2.2可转烧性

2.3正式语言的算术

2.4对角化，或“自我参考”

2.5第一个不完整性定理完成

2.6不完整和非标准型号

3.第二个不完整定理

3.1预备

3.2衍生性条件

3.3 Feferman对第二本定理的替代方法

4.与不完整定理相关的结果

4.1 Tarski关于真理的未定义的定理

4.2未索引结果

4.3反思原则和Löb的定理

4.4希尔伯特的第十个问题和MRDP定理

4.5不可移动陈述的具体案例

5.历史和早期接收不完整定理

6.哲学含义 - 真实和所谓的

6.1数学哲学

6.2不言而喻和分析真理

6.3'Gödelian'反对机制的论点

6.4Gödel和BenaCerraf机制和柏拉米派

6.5神秘主义和上帝的存在？

进一步阅读

参考书目

学术工具

其他互联网资源

相关条目

1.简介

1.1概述

Gödel的不完整定理是现代逻辑中最重要的结果。 这些发现彻底改变了对数学和逻辑的理解，对数学哲学具有巨大影响。 还有试图将它们应用于其他哲学领域，但许多此类申请的合法性更具争议性。

为了理解哥德尔的定理，必须首先向其解释必不可少的概念，例如“正式系统”，“一致性”和“完整性”。 粗略地，正式系统是配备推理规则的公理系统，这允许一个人生成新的定理。 该组公理需要是有限的或至少可判定的，即，必须有一种算法（一种有效的方法），其使得可以机械地决定给定的语句是公理的。 如果满足这种条件，则该理论被称为“递归公理化”，或简单地，“公理化”。 推理规则（正式系统）也是有效的操作，使得它可以始终机械地决定一个人是否具有手头推理规则的合法应用。 因此，还可以决定任何给定的公式序列，它是否构成了系统中的真正推导，或证明，给定了系统的原理和推理的推断规则。

如果对于系统语言的每个语句，语句或其否定可以终止正式系统，可以在系统中导出（即，已证明）。 如果没有陈述使得语句本身及其否定遍及系统中，则正式系统是一致的。 只有一致的系统对此上下文有任何感兴趣，因为它是逻辑的基本事实，即在每个语句中遍出不一致的正式系统中，因此，这样的系统是琐碎的。

哥特建立了两种不同的相关不完整定理，通常称为第一个不完整定理和第二个不完整定理。 “Gödel的定理”有时用于指这两个的结合，但可以指的是通常是第一分别。 在1936年，由于J. Barkley Rosser而推动的改进，可以粗略地说明第一个定理，如下所示：

第一个不完整定理

任何一致的正式系统F可以进行一定量的基本算术是不完整的; 即，F的语言有陈述，它既不能证明也不能在F中讨论。

哥德尔的定理并不仅仅存在此类陈述：哥德尔证据的方法明确地产生了一个特定的句子，这些句子在f中既不可证明也不是细化; “未定定”声明可以从F的规范机械地找到。问题的句子是一个相对简单的数字理论陈述，纯粹的普遍算术句。

一个常见的误解是解释哥德尔的第一个定理，表明有没有证明的真理。 然而，这是不正确的，对于不完整的定理，不处理任何绝对意义上的可证明，而且只关注某些特定的正式系统中的衍生性。 对于在特定正式系统的任何不可移动的任何陈述中，有琐碎的其他正式系统，其中A可以证实（占AXIOM）。 另一方面，有Zermelo-Fraenkel集合理论的极其强大的标准Axiom系统（表示为ZF，或者选择Axiom，ZFC;参见集合理论的入口处的ZFC的公理部分）足以让所有普通数学的推导。 现在，Gödel的第一个定理，即使在ZFC中也不能证实的算术真理。 证明它们需要一个正式的系统，该系统包含超越ZFC的方法。 因此，有一种意义于，这种真理不可能使用今天的“普通”的数学方法和公理，也不能以数学家今天认为是非问题和决定性的方式证明。

Gödel的第二个不完整性定理涉及一致性证据的限制。 粗略的陈述是：

第二个不完整定理

对于任何一致的系统F可以进行一定量的基本算术，F本身不能证明F的一致性。

在第二本定理的情况下，F必须比第一定理的情况含有一点算法，该算法在非常弱的条件下保持。 重要的是要注意，这种结果，如第一个不完整性定理，是关于正式可预防性的定理，或衍生能力（这始终相对于某些正式系统;在这种情况下，到F本身）。 它没有说对于特定理论t符合定理的条件，声明“t是一致的”，可以证明是通过结论性的论点所示的意义，或者通过通常可接受数学家的证据。 对于许多理论，这是完全可能的。

1.2一些形式化的理论

不完全理论的存在几乎不令人惊讶。 采取任何理论，即使是完整的理论（见下文），并丢弃一些公理; 除非公理是冗余的，否则所得系统不完整。 然而，不完整的定理，处理更自然的不完整性现象。 与上述琐碎的不完整理论不同，这可以轻松完成，无法完成相关理论; 他们所有的延伸，因为它们仍然是正式的系统，因此是公正的，也是不完整的。 他们仍然存在，即使说话，永恒不完整，永远不会完成。 它们“基本上不完整”。

在上述不完整定理的第一个和松散陈述中，发生了“可以进行一定数量的基本算术”的模糊要求。 是时候让这种更精确。

1.2.1算术理论

通常考虑与不完全和不可删除性有关的最弱标准算术系统是所谓的罗宾逊算术（由于Raphael M. Robinson; Seeparyly，Perophael M.罗宾逊;表示为Q.作为公理，它具有以下七个假设：

¬（0 = x'）

x'= y'→x = y

¬（x = 0）→∃y（x = y'）

x + 0 = x

x + y'=（x + y）'

x×0 = 0

x×y'=（x×y）+ x

“X”的预期解释是继任者功能，显然，+和×，加法和乘法函数分别。 “0”是唯一的常量，表示数字零。

添加到这些基本公理的Axiom诱导方案：

φ（0）∧∀x[φ（x）→φ（x'）]→∀xφ（x），

结果（一阶）PEANO算术（PA）。 请注意，与Q不同，PA包含无限的许多公理，因为所有（无限多）的诱导方案的实例，对应于语言的每个公式φ（x）（具有至少一个自由变量）的一个，被视为公理。 但它是一个例程机械任务，用于检查给定的句子是否是该方案的实例。 PA通常被视为标准的算术系统。

另一种自然和多学习的算术系统，它在Q和PA的强度之间，是原始递归算术（PRA）。 它不仅包含上述Q控制后继继承人，加法和乘法的公理，还包含为所有原始递归函数定义公理（参见递归函数的条目），并且诱导方案的应用仅限于无量词的公式（即，不允许φ（x）包含任何（无界）的量词）。

然而，基本上可以获得相同的系统，如果一个人只采用Q的公理和限制，粗略，纯粹存在的公式（技术术语，Σ

0

1

-formulas; 见下文）（这是第一次由帕森斯1970展示）。 此外，σ

0

1

- 可以显示（巴黎和Kirby 1978）等同于诱导方案限制（大致）纯粹通用公式（π

0

1

-formulas）。 PRA还可以制定为“无逻辑”等级微积分。 PRA或相当于它的东西，足以开发正式理论的语法理论。 研究通常被视为未伪造的背景理论，其中各种其他系统，其合法性可能更具争议。

比PA更强大的系统，在数学的基础上重要，现在将在下面提到，然后是下面的二阶算术PA2（也经常由Z2表示）。 它足以开发所有普通分析和代数。 其语言是一种双排序的一阶语言（参见二阶和高阶逻辑的条目），即，它包含两种变量，数字变量x1，x2，...（或x，y，z，...）和属性变量x1，x2，...（或x，y，z，...），其中属性被构思。 作为公理，除了PA的基本公理之外，还包括二阶理解方案的所有实例：

∃x∀x[xx↔φ（x）]

其中φ（x）可以是pa2语言的任何公式，其中x不会自由发生。 （应该提到的是，也可以通过将SET成员资格（∈）的原始概念添加到语言，关于变量x，y，z，...的原始概念，与集合显式范围，并将二阶理解为∃x∀x。[x∈x↔φ（x）]。）

PA2是一个非常强大的理论。 通过解释方法（见下文），可以证明它在理论上是Zermelo-Fraenkel设置理论ZFC的证明，无需电动机构公理，称为ZFC-POM（而标准，首次PA是类似地证明 - 理论上是与无限的公理，ZFC-INF的ZFC相当于ZFC。 （CF. ZFC的公理在集合理论的条目中的部分。）

显然，假设我们的正式系统还配备了推断（以及可能一些逻辑公理）的规则系统，通常是一些古典逻辑的标准系统（尽管不完整定理并非基本上预先假定古典逻辑，但也适用于具有，例如直观逻辑的系统。 上述标准系统都带有古典逻辑。 标准符号f⊢a用于表达（在元级），即在f中可导出的，即，在f中存在证明，或者换句话说，换句话说，f⊬a表示a不是衍生的在F.

总结：当据说在不完整定理的上下文中，“一定量的基本算术可以在一个系统中进行”时，这通常意味着它包含PRA或至少Q.对于第一个不完整定理，Q就足够了 对于第二本定理的标准证明，需要至少需要PRA的东西。 Q有一个版本的第二个不完整性定理（参见Bezboruah＆Shepherdson 1976），但是关于Q中的相关陈述是否可以真正被采取一些辩论，以表达一致性，Q为如此薄弱（见kreisel 1958; Bezboruah＆Shepherdson 1976;Pudlák1996; Franks 2009）。

1.2.2未以算术语言制定的理论

当然，数学中存在许多重要和有趣的理论，甚至没有以算术语言制定的。 然而，当注意到所需的所有内容是诸如Q或PRA等所需的所有所需的理论中，可以大大扩展到一阶算术及其扩展的外面的应用程序的适用性。 最重要的是，这涉及各种设定理论系统。 例如，对ZFC-INF的不完整定理持有（即，没有无限的公理的ZFC）和其所有延伸，然而强烈（只要它们是公理的。）

粗略地，如果基于原始概念和T1变量的范围在T2中可定义，则在另一理论T2中可以解释理论T1，使得可以将T1的每个定理转换为T2的定理。 一个人不应该误解，因为提供了类似于直观同义的任何东西。 两个理论可能具有彻底不同的预期主题，但作为正式的系统，可以在另一个中解释一个。 （作为一个插图：一个简单的祖先理论可以作为正式的系统，以算术解释;显然这并不意味着祖母和这样的真正数字。）重要的是，可解释性保存理论的某些基本正式性质，最重要的是，最重要的是，一致性：如果T1在T2和T2中可以解释，则T1也是一致的。 和任何可以解释Q的系统都保证基本上不完整。 对于任何这种理论，其中Q是可解释的，也可以直接证明不完整性; 例如，在集合理论的各种理论中，一个可以通过Sets，“GödelSets”，然后像往常一样，然后像往常一样继续代码公式和派生（而不是数字）（参见，例如，拟合2007）。 然而，对于大多数目的，在发布理论中建立Q的可解释性就比更简单。

总之，当说“一定量的基本算术可以在系统内进行”时，含义是系统是Q的公理延伸，或者可以解释它。 （在（标准证明）第二个不完整定理的情况下，Q.）替代PRA

1.2.3一些例外：完整的理论

另一方面，并非所有的算术都是不完整的。 例如，仅添加自然数但没有乘法的理论（通常称为“预燃料算术”）是完整的（和可判定的）（Presburger 1929），正是正整数的乘法理论（Skolem 1930）。 然而，这些理论非常弱。 但在任何情况下，至少需要处理两种加法和乘法的理论。 更有趣的是，实数的天然数（偶然增加和乘法）的自然一阶理论，所谓的真实封闭字段（RCF）理论，都是完整和可判定的，如Tarski（1948）所示; 他还表明，欧几里德几何形状的一流理论是完全和可判定的。 因此，人们应该记住，哥德尔的定理不适用一些非琐碎和有趣的理论。

1.3教会图论论文的相关性

哥德尔最初仅建立了特别是非常全面的形式化理论P，这是一个罗素类型理论系统PM的变种（对于Principia Mathematica）的变种，看看悖论和罗素在类型理论的条目中的课程中的部分和Principia Mathematica），以及P的所有语言的所有延伸，其一组公理是原始递归。 他还建议，虽然没有证明，但证明可以适用于ZFC等设定理论的标准公理系统。 虽然事实证明，事实上已经存在了非常一般的结果，但是当时还不清楚这一般的一般情况（另见第5节）。

仍然缺少的是分析了在任意正式系统概念的表征中所需的直观辨识性的分析。 回想一组公理和形式化系统的证明关系是可判定的。 数学家和逻辑学人们隐含地利用了自古以来的决策方法的直观概念，只要一个人要求积极的解决方案，就足以提出了一种直观地袭击了每个人作为机械方法的具体方法就足够了。 然而，对于一般限制性结果，例如一般不完整定理，或未脱可可力结果（见4.2），所以需要精确的数学解释概念。 而不是可判定的集合或属性，经常考虑有效或可计算的功能或操作，但实际上这些只是同一硬币的两侧可以很容易地转录到另一个谈话。

Gödel（1934年），Alonzo Church（1936A，B）和Alan TING（1936-7）独立上来，以不同的建议为可计算功能的确切数学定义，因此，可解除的集合（数字）。 但是，这些提案都结果等同于。 图灵的仔细概念分析，使用虚构和抽象计算机（现在传统上称为“图灵机”;看到图灵机上的条目）尤为重要，因为哥特本人强调（参见，例如，Gödel1963）。 直观概念的等式和这些数学的一些数学概况通常被称为“教会图论文”。 出于历史原因，标签“递归函数”具有占主导地位的逻辑文学。 因此，可判定的集合通常被称为“递归集”。 （请参阅计算性，递归函数和教会图中的条目。）

为了适当地了解不完整性和不可思议的结果，了解关于集合的两个关键概念之间的差异至关重要。 首先，可以存在一种机械方法，该方法决定是否属于在问题上的集合上（在这种情况下，该组被称为“可解析”或“递归”），并且第二，可以存在生成或列出集合的元素的机械方法，通过数量，数量。 在后一种情况下，该组被称为“递归枚举”（R.E.），也就是说，可以有效地生成，或者它是“半解密” 它是具有半可解除的集合的可计算性理论（或“递归函数理论”）的基本结果，即可以有效地生成的集合（即，递归令人令人携带），但是不是可判定的（即，而不是递归）。 事实上，这是在非常抽象的水平，第一个不完整性定理的本质。 但是，如果一个集合及其补充是递归令人令人携带的，则该组是递归，即可判定。

2.第一个不完整的定理

在本节中，速写了第一个不完整性定理的证明的主线。 对更多细节感兴趣的读者可以咨询补充剂（Gödel编号和对角化引理）。

2.1预备

正规术语（“数字”）规范表示自然数n的缩写为

n

_

。 在这里使用的算术的标准语言中，数字n由术语0'⋯'表示，其中继承者符号'''迭代n次。 也就是说，名称1,2,3，...为0'，0“，0‴，...并缩写为1,2,3，..

在他的原始证据中，哥德尔使用了他对ω-一致性的具体概念，而对于一些目的，仍然是遵循哥特尔的原始方法。 正式的理论F是ω-Consionent，如果不是对于某些公式A（x），则f⊢¬a（

n

_

）对于所有n，而f⊢∃xa（x）。 当然，这意味着正常的一致性，并且从假设自然数字满足F的原理之后

实际上，这里的一个简单的特殊情况在这里足够了; 即，仅需要对逻辑学家呼叫Σ的假设

0

1

-formulas; 这些粗略地是纯粹存在的公式; 更确切地说，形式∃x1∃x2...∃xna的公式，其中a不含任何未绑定的量子（a可包含有界万向量子∀x＜t和有界存在量子∃x＜t）。 这种受限制的Ω-一致性称为1-一致性。

ω-一致性和1一致性纯粹是语法概念。 如果允许使用真相和虚假的概念，则可以直观地表达1-一致性的假设，因为要求正式系统不证明任何错误σ

0

1

- 森特（即，至少在这些句子的情况下至少是系统的声音）。 从现在开始，假设所考虑的正式系统包含Q，并且假设除非另有说明，否则假定为至少1倍。